雙星TDOA／FDOA定位系統的目標定位精度分析

常新亞 謝斌 張曉敏 蘭丁

（航天東方紅衛星有限公司，北京 100094）

1 引言

雙星時差／頻差（TDOA／FDOA）定位，利用兩臺處于不同位置的接收機（衛星）分別接收同一個輻射源發射的信號，通過測量信號分別到達兩臺接收機的時差（TDOA）和頻差（FDOA），采用相應的定位算法，實現對輻射源的高精度定位。雙星TDOA／FDOA 聯合定位的方式，相對于三星、四星定位系統而言，減少了衛星數量，降低了系統實現難度和發射成本，其實時性和定位精度又高于單星定位方式，因此可簡化衛星設計，提高可靠性。

目前，國內已對雙星TDOA／FDOA 的目標定位精度進行了研究，獲得了定位精度解析解。文獻［1］通過計算TDOA 和FDOA 的測量精度，以及衛星運動引起的TDOA 和FDOA 的變化，提出了雙星TDOA／FDOA 定位的信號最佳采樣時間為10～100ms，系統可實現的定位精度為1～3km。文獻［2］提出了一種獲得目標三維解析解的方法，分析表明，為了減小定位誤差大的區域，雙星運動方向最好與衛星基線方向一致或接近。文獻［3-4］分別描述了三星TDOA 定位精度的模型，對TDOA／FDOA的模型建立具有參考價值。文獻［5-9］分別利用最小二乘融合估計、互模糊函數等方法建立了TDOA／FDOA 測量體制的數學模型。不過，上述文獻都沒有對TDOA／FDOA 定位的誤差鏈及誤差源的影響權重進行較系統的分析。本文通過分析雙星TDOA／FDOA 的定位原理，給出了系統目標定位精度的解析解，解析解中包括星座構型、測量因素誤差、輻射源因素等多種誤差源。

2 TDOA／FDOA 定位的基本原理

雙星TDOA／FDOA 定位系統由一主一副兩顆低軌衛星組成，每顆衛星上都配置接收和處理模塊。雙星同時接收到一個有相對運動的輻射源所發射的信號，該信號到達兩臺接收機（衛星）的時間差確定了一個雙曲面，而到達兩臺接收機的多普勒頻移差則確定了一個類似于輪胎的曲面，這兩組曲面與發射機所在曲面（通常為地球表面）的交點，即為輻射源的位置。由于雙曲面和類輪胎面都是以接收機連線為對稱軸，一般情況下，所得的解在衛星地面軌跡線的另一側有鏡像點，通過雙天線比幅測量，可以去掉虛假點。TDOA／FDOA 定位原理見圖1。

圖1 雙星TDOA／FDOA 定位原理Fig．1 Principle of dual-satellites location via TDOA and FDOA

如圖1所示，目標輻射源的位置坐標記為u＝（x，y，z）T，兩顆衛星Sat1和Sat2的位置坐標分別記為s1＝（x1，y1，z1）T和s2＝（x2，y2，z2）T，與輻射源的距離矢量分別為r1和r2，飛行速度矢量分別為V1和V2，對應速度分量大小分別記為v1＝（vx1，vy1，vz1）T和v2＝（vx2，vy2，vz2）T。TDOA／FDOA 定位原理的幾何表示為

式中：TDOA為到達時間差；FDOA為到達頻率差；f為輻射源射頻頻率；c為光速。

式（1）轉換成代數方程，則為

式中：R為地球半徑。

3 TDOA／FDOA 定位精度分析

3．1 定位精度評定模型

在雙星TDOA／FDOA 定位原理的基礎上，可以進一步推導出目標定位精度模型。對式（2）中的變量TDOA，FDOA，（x，y，z），（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（vx1，vy1，vz1），（vx2，vy2，vz2）進行一階線性近似展開，可得

將式（3）記為

根據雙星位置測量方式，將副星的位置測量精度［dx2dy2dz2］T拆分成絕對位置測量精度和相對位置測量精度，即［dx2dy2dz2］T＝［dx1dy1dz1］T＋［dx′2dy′2dz′2］T，其中，［dx′2dy′2dz′2］T為副星與主星的相對位置測量精度，［dx1dy1dz1］T為主星的絕對位置測量精度（近似認為是雙星整體的絕對位置測量精度）。因此

設K1＝B1＋B2，K2＝B2，K3＝B3，K4＝B4，并認為兩顆衛星的位置測量精度、速度測量精度、TDOA 測量精度、FDOA 測量精度互不相關，則利用矩陣相關運算得到

式中：M為TDOA 和FDOA 測量精度的相關矩陣；Ei為位置測量精度和速度測量精度的相關矩陣，i＝1，2，3，4。

目標定位精度σ用式（6）計算出的3個正交方向上的測量精度σx，σy，σz表示，即

從上面的分析結果可以看出，計算定位精度要用到M，Ei，即要計算TDOA 和FDOA 測量精度相關矩陣、位置測量精度及速度測量精度相關矩陣。

假設信號TDOA 及FDOA 的測量精度均值都為0，且互不相關，則TDOA 和FDOA 的測量精度相關矩陣為

這里認為絕對位置測量精度分量dx1，dy1，dz1是各自獨立的隨機變量，因此雙星的絕對位置測量精度相關矩陣為

式中：σas為絕對位置測量精度。

綜合考慮相對位置測量精度和測距精度，測量精度矩陣為

式中：σbs為相對位置測量精度，σd為雙星測距精度。

雙星的速度測量精度相關矩陣為E3和E4，表示為

3．2 定位精度影響因素

根據TDOA／FDOA目標定位原理和定位精度評定模型，可知目標定位精度受多種因素影響，如圖2所示。

圖2 定位精度影響因素分類Fig．2 Sort of location accuracy influencing factors

4 仿真分析

以雙星幾何中心星下點為圓心，計算覆蓋區域內按極坐標均勻分布的每一點（共900點）的定位精度值。目標位置分布如圖3所示。

根據目前星載電子設備的研制水平和三星TDOA測量星座的在軌飛行數據，按照以下基本參數進行仿真計算：高度為700km、星間距離為70km的太陽同步軌道，雙星同軌同向飛行。各項測量精度指標為：TDOA 測量精度為100ns，FDOA 測量精度為10Hz，速度測量精度為1m／s，絕對位置測量精度為150m，相對位置測量精度為50m，星間測距精度為3m，這里認為各個測量量彼此相互獨立。滿足目標定位精度小于或等于目標斜距0．5%的區域為定位有效區域，定位因子為在此區域內滿足定位要求的區域面積占總面積的比值。

圖3 目標位置分布Fig．3 Distribution of target position

4．1 目標定位精度與軌道高度的關系

軌道高度分別為500km、1000km 的目標等定位精度曲線及滿足定位有效區域的分布見圖4。在2000km 的覆蓋半徑內，定位有效區域的定位精度均值、定位因子與軌道高度的關系曲線見圖5。由圖4、5可以看出：隨著軌道高度的增加，可定位區域變小；在一定的軌道高度范圍內，軌道越低，定位性能越好；對于同軌同向飛行的雙星星座，在沿軌跡方向的定位效果較差，在穿軌跡方向的定位精度較好，且基本對稱。

圖4 兩種軌道高度的等定位精度曲線Fig．4 Location accuracy curves at two orbit altitudes

圖5 軌道高度與目標定位精度及定位因子的關系Fig．5 Relationships between orbit altitude and location accuracy and location gene

4．2 目標定位精度與星間基線長度的關系

隨著星間基線長度的變化，覆蓋半徑2000km范圍內的目標定位精度均值、定位有效區域的定位精度均值、定位因子與星間基線長度的關系，見圖6。由圖6可以看出，目標定位精度的大小與星間基線長度有關，在一定的星間基線長度（50～300km）范圍內，星間基線越長，可定位的區域越大，覆蓋區域的目標定位精度值越小，定位性能越好。其中：當星間基線過短時（小于50km），雖然定位有效區域的定位精度均值較好，但是定位有效區域急劇減?。ㄈ鐖D6所示，在星間基線小于等于30km 時，定位因子為0，即定位有效區域為0，不能實現定位）。

圖6 星間基線長度與目標定位精度及定位因子的關系Fig．6 Relationships between length of base line and location accuracy and location gene

4．3 目標定位精度與測量精度因素的關系

4．3．1 目標定位精度與位置、速度測量精度的關系

位置測量精度因素主要包括雙星的絕對位置測量精度、相對位置測量精度和速度測量精度等。圖7和圖8反映了目標定位精度與上述因素的關系。

雙星在星座構型、輻射源因素不變的情況下，位置測量精度、速度測量精度對目標定位精度、定位因子有一致性的影響，即測量精度提高時，定位精度提高，可定位區域增大。

位置測量精度中的絕對位置測量精度、相對位置測量精度、測距精度對目標定位精度影響較小，而速度測量精度對目標定位精度影響較大。在絕對位置測量精度從200m 提高到50m，相對位置測量精度從150m 提高到10 m 時，覆蓋區域定位精度均值變化不超過3km。其中，星間測距精度對頂層定位精度影響較小，在星間測距精度變化為10m 時，定位有效區域的定位精度均值變化約6 m，相對于頂層定位精度指標（千米量級）是小量，其變化趨勢有非線性變化的可能。在速度測量精度從2m／s提高到0．1 m／s時，定位精度均值從487km 變化到171km，有效定位區域的定位精度均值從5km 提高到3．4km，定位性能提高約1倍。

圖7 位置測量精度與定位精度的關系Fig．7 Relationships between position accuracy and location accuracy

圖8 速度測量精度與定位精度及定位因子的關系Fig．8 Relationships between velocity accuracy and location accuracy and location gene

4．3．2 目標定位精度與TDOA、FDOA測量精度的關系

在其他因素不變的情況下，單獨分析TDOA測量精度的變化對目標定位精度的影響，見圖9。單獨分析FDOA 測量精度對目標定位精度的影響，見圖10。綜合分析TDOA 測量精度、FDOA測量精度對目標定位精度和定位因子的影響，見圖11。

在TDOA 和FDOA測量精度中，FDOA 測量精度對目標定位精度影響較大，TDOA 測量精度對目標定位精度影響較小。TDOA 測量精度從10ns變化到200ns，覆蓋區域定位精度均值僅有1．8km的變化；FDOA 測量精度從2 Hz變化到30 Hz時，覆蓋區域定位精度均值變化了320km。

僅考慮測量精度的影響因素，各個測量因素誤差源對定位精度的影響所占比例約為：衛星速度測量精度為51%；FDOA 測量精度為38%；絕對位置測量精度為6%；相對位置測量精度為2%；星間測距精度為2%；TDOA 測量精度為1%。

圖9 TDOA 測量精度與定位精度及定位因子的關系Fig．9 Relationships between TDOA accuracy and location accuracy and location gene

圖10 FDOA 測量精度與定位精度及定位因子的關系Fig．10 Relationships between FDOA accuracy and location accuracy and location gene

圖11 TDOA 和FDOA 的測量精度與定位精度及定位因子的關系Fig．11 Relationships between TDOA／FDOA accuracy and location accuracy and location gene

4．4 目標定位精度與信號頻率的關系

在其他因素不變的情況下，單獨分析目標不同發射頻率時的目標定位精度變化，見圖12。

目標定位精度與信號源本身的發射頻率有關，頻率越高，定位精度越高，定位因子越大，定位區域越廣。實際上，對應不同的發射頻率，FDOA 測量精度是不同的，因此在不同的發射頻率下，要設定不同的FDOA 測量精度仿真計算。對于寬頻段的定位系統來說，低頻段的定位精度較差，因此必須采取相應措施來保證整個頻段的定位精度要求。

圖12 不同信號頻率情況下定位精度及定位因子的變化Fig．12 Change of location accuracy and location gene at different frequencies

5 結束語

本文在雙星TDOA／FDOA 定位原理的基礎上推導了目標定位精度的評定模型；結合定位精度模型及算例，分析了常見誤差源與目標定位精度之間的關系。仿真結果表明：在一定的范圍內，軌道高度越低、星間基線越長，定位性能越好。測量因素中的FDOA 測量精度和衛星速度測量精度是影響目標定位的關鍵因素，而TDOA 測量精度和位置測量精度的影響相對較小，因此，在工程實際中要盡量提高衛星的FDOA 和速度的測量精度。

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