一道常規數學題的一波三折

李九紅

案例背景

課堂教學本來應是有計劃、有目的、有組織的教學活動，教師在教學之前要對課堂進行精心預設。而實際的課堂是師生、生生不斷交往互動的場所，是教師與學生個體或群體之間的知識、個性、情感不斷碰撞、整合、調適的場所。所以，課堂的變化卻是無

常的。

這節課教師設計的再完美、再合理、時間的分配再恰到好處，也比不上學生的學習所需。因此，實際課堂的教學往往是“變化無常”的，教師只能“隨波逐流”。但是，教師是舵手，要根據課堂的情況，調整課堂的結構，發揮智者的智慧，巧妙和諧地解決課堂中的“突發”事件、“意外”事件，有時會有意想不到的效果。

案例描述

初二下學期的期末工作特別緊張，首先面臨的是生物、地理的小中考，學校做了這樣一個規定：小中考前，各科的作業盡量少，以至于最后一個星期規定不允許其他學科布置任何課外作業，所以對于我們理科特別是數學的復習來說，帶來了新的挑戰。又加之小中考結束后孩子們還沒有來得及喘氣、沒來得及放松、

沒來得及整理，緊接著期末考試又來臨了。所以，我們的復習只能用課堂時間，而且內容多任務重。這一節課的任務是解決上一課做的綜合練習上面孩子們存在的問題，為了節約時間，也為更好地互助學習，先讓孩子們在小組內交流討論，解決通過合作能解決的問題，然后再集體解決重點難題。孩子們在交流后提出了如下問題（填空題的最后一題）！

如圖，將邊長為9 cm的正方形紙片ABCD折疊，使得點A落在邊CD上的E點，折痕為MN。若CE的長為6 cm，則折痕MN的長度是__________。

本來我想找個學生講講或我來點撥一下也就結束了，可是意外卻發生了。有同學說，“老師讓我們再想想吧！”可是這樣一來本節課的任務就完成不了了，心里默默地著急，可又不能不滿足學生的心愿呀！（矛盾重重，還是從學生的意愿出發，發揮學生的主體作用，試一試吧！不試，我怎能知道學生就不會呢？我是這樣想的。）

孩子們先是沉默，后又竊竊私語，悄悄地交流各自的想法。突然有一同學有想法了，“老師，我有想法了，能說說嗎？”“當然可以！”我用鼓勵的眼神，微笑著對她說。

“我的想法是：求線段MN的長度就是構造一個直角三角形使MN成為直角三角形的一邊，求出另兩邊，再利用勾股定理就可求出線段MN的長度，故我想這樣添加輔助：作NF⊥AD，垂足為F，連接AE，NE，構造直角三角形MNF。”

“有道理！”我們班的一位同學點著頭說。

我們知道NF=CD=AB=4 cm，可是MF的長度又該如何求呢？

問題又來了！

有的同學點頭，有的同學看得云里霧里，直搖頭“老師，太煩了，我還是不會！”

說著說著，解題的思路一下子被打開了，又有同學直接走上前去，“是不是可以過M點作MP垂直于BC，垂足為點P，只加這一條輔助線，然后證明△MNP≌△AED（AAS），得到DE=NP=3 cm，再利用勾股定理求MN的長。”好像較上一種方法略簡單一點了。

“還是麻煩！”

“我們有部分同學平時能吃苦，不怕煩，只求解出來，還有愛動腦經，喜歡投機取巧的孩子們，你們還有捷徑可走呀？”

孩子們想著、看著、等著，終于有同學說，“老師，剛才同學們已經證得△MNP≌△AED（AAS），那么就有MN=AE，直接在直角三角形ADE中求出AE的長度就行！”

又有同學補充說，“其實這一題可以化歸為我們以前研究過的這樣一道題‘只要點E、G和M、N分別在正方形的兩組對邊上，且滿足EG垂直于NM，MN=EG都是成立的，對于選擇題，可以直接用前面所學的結論，這樣既快又準確，何樂而不為呢！”

“太棒了！”教室里一下子像炸開了鍋似的，有的在梳理思路，有的在自我表揚，有的在稱贊別人！……

不知不覺地一節課悄然逝去！

案例反思

1.課堂教學需重視學生的思維訓練，激發學生的學習興趣

愛因斯坦說：“興趣是最好的教師。”所謂興趣就是對事物喜好或關切的情緒。心理學認為人們力求認識某種事物和從事某項活動的意識傾向，它表現為人們對某件事物、某項活動的選擇性態度和積極的情緒反應。興趣在人的實踐活動中具有重要的意義，可以使人集中注意，產生愉快緊張的心理狀態。如果從開始就打斷了學生的思緒，也許就能很快地結束本節課的教學任務。但是，學生思維的積極性就扼殺了！又何談提高思維能力、激發學生的學習興趣呢！

2.課堂教學要充分發揮學生的主體作用、教師的主導作用

目前，全國都在推行教育的改革，早已把素質教育推向教育改革的前沿，而素質教育的核心是“以人為本”，課堂教學當然應以學生為主，充分調動他們的積極性，充分體現他們的主體地位，才能回歸教育的本質，才能培育出創造性的人才，才能培育出勝任新時代任務的公民。當然，教師不只是一個簡單的秩序的維護者、表演時的報幕員，更應是一位優秀的指揮家，和突發事件的處理的智者，學生思維簡單要帶領他們深入思考；學生想深了，要幫助他們走出泥潭，陷入困境要幫他們解放自己……

如果當時只考慮自己的感受，而忽視學生的想法，“怎么這么繁？有沒有誰會簡單點的方法？”也許長期下去，學生就不會去想，不會自己學著解決問題，總想與我無關，老師會講的。本來自己是主人，他也像客人一樣彬彬有禮，只等坐享其成。因此，教師要給學生充分思考的時間和空間，適時有度地做好領路人！

3.正確處理好課堂的“突發”，提高教學的有效性

鐘啟泉教授說：“課堂教學不應該是一個封閉系統，也不應拘泥于預先設定的固定不變的程式。預設的目標在實施過程中需要開放地納入直接經驗、彈性靈活的成分以及始料未及的體驗，鼓勵師生互動中的即興創造，超越目標預定的要求。”同學們的執著雖然沒有能有計劃地完成這節課的教學任務，但是卻給學生的學習多了份意外的收獲——從繁到減優化學習，品嘗了思考的樂趣！這比做十道題更有樂趣！更有效！因此，只有將課前預設與課堂教學中的突發事件處理好，讓課堂教學因預設而有序，因意外而精彩。這樣，我們的課堂才更有活力，才更有效！

（作者單位 南京外國語學校仙林分校）