四元數調制重疊變換及其在雙彩色圖像數字水印中的應用

陳北京 田翠翠 戴 慧 王定成 舒華忠

(1南京信息工程大學計算機與軟件學院,南京 210044)

(2南京信息工程大學江蘇省網絡監控工程中心,南京 210044)

(3南京工程學院計算機工程學院,南京 210013)

(4東南大學影像科學與技術實驗室,南京 210096)

著名數學家Hamilton[1]提出的四元數(quaternions)是傳統復數的推廣, 1個四元數包含1個實部和3個虛部.20世紀90年代,國內外部分學者開始將四元數的相關理論引入到彩色圖像處理中[2-6],將彩色圖像的每個像素值采用1個純四元數來表示,3個分量作為其3個虛部.基于四元數彩色圖像表示方法,很多經典的針對灰度圖像的算法和工具都已經有效推廣應用于彩色圖像處理中,特別是一些常用的數學變換,如Fourier變換[2]、小波變換[3]、Gabor變換[4]、Curvelet變換[5]和矩變換[6]等.研究結果表明,該表示方法維護了三通道的整體性,考慮了色彩關聯,能夠有效避免現有彩色圖像常用處理方法(灰度化和三通道分別處理)的不足,即丟失了色彩信息和破壞了三通道的整體性.

復數調制重疊變換(modulated complex lapped transform, MCLT)是將調制重疊變換(modulated lapped transform, MLT)由實數域向復數域擴充得到的[7].MCLT系數與MLT系數具有相同的幅度,但前者較后者增加了相位信息.MCLT具有完全重建、無邊界效應和較高的編碼增益等優良特性,已廣泛應用于音頻處理、數字水印、去噪和身份鑒別等諸多領域[7-8].

本文定義了一種四元數調制重疊變換(modulated quaternion lapped transform, MQLT),將MCLT變換由復數域向四元數域擴充,以處理四元數信號(特別是彩色圖像).通過建立彩色圖像MQLT系數和三通道MCLT系數之間的關系,提出針對MQLT變換的有效計算方法.通過分析MQLT系數的相關性質,將MQLT變換應用于彩色圖像數字水印中,提出魯棒的雙彩色圖像盲水印算法.

1 四元數及MCLT

1.1 四元數及四元數彩色圖像表示方法

一個四元數q可以表示為

q=a+bi+cj+dk

(1)

式中,a,b,c,d∈R;i, j, k為虛數單位,且滿足如下運算法則:

i2=j2=k2=-1
ij=-ji=k
jk=-kj=i
ki=-ik=j

(2)

以RGB顏色空間為例,彩色圖像f(m,n)可以表示為

f(m,n)=fR(m,n)i+fG(m,n)j+fB(m,n)k

(3)

式中,fR(m,n),fG(m,n),fB(m,n)分別為彩色圖像的紅、綠、藍3個分量.

由式(3)可知,1幅彩色圖像可表示為1個純四元數矩陣.對于采用其他顏色空間表示的彩色圖像,比如CIE XYZ，HSV，YUV等,只需替換式(3)中相應的3個虛部即可.

1.2 MCLT

令f(x,y)為1個2M×2N的二維圖像密度函數,其MCLT定義為[7]

jpS(x,y,U,V)]

(4)

式中

(5)

(6)

令FC(U,V)和FS(U,V)分別表示F(U,V)的實部和虛部,由式(4)～(6)易得如下的對稱性或反對稱性公式:

fC(2M-1-U, 2N-1-V)=(-1)M+NFC(U,V)

fC(2M-1-U,V)=(-1)M+1FC(U,V)

fC(U,2N-1-V)=(-1)N+1FC(U,V)

fS(2M-1-U,2N-1-V)=(-1)M+NFS(U,V)

fS(2M-1-U,V)=(-1)MFS(U,V)

fS(U,2N-1-V)=(-1)NFS(U,V)

U=0,1,2,…,M-1;V=0,1,2,…,N-1

(7)

因此,逆變換IMCLT可定義為

jpS(x,y,U,V)]

(8)

2 四元數調制重疊變換及其應用

2.1 定義

根據灰度圖像MCLT的定義式(4)和四元數代數理論,令大小為2M×2N的彩色圖像f(m,n)的右邊型四元數調制重疊變換MQLT變換及其逆變換IMQLT分別為

μpS(m,n,U,V)]

(9)

μpS(m,n,U,V)]

(10)

由式(2)可知,四元數的乘法不滿足交換律,因此交換式(9)累加項中兩項的位置,將pC(m,n,U,V)-μpS(m,n,U,V)移到f(m,n)的左邊,可以定義左邊型MQLT及相應的左邊型IMQLT.本文中討論的都是右邊型MQLT,左邊型MQLT可以類似分析.

2.2 系數特性及有效計算

MQLT和IMQLT可由單通道傳統的MCLT及其逆變換IMCLT表示.下面分別給出μ=k和μ=μLum時的關系式,并據此提出MQLT的有效快速計算算法以及分析MQLT系數的相關特性.

當μ=k時,將式(3)代入式(9)可得

fB(m,n)k][pC(m,n,U,V)-kpS(m,n,U,V)]=

fG(m,n)pS(m,n,U,V)]+

fR(m,n)pS(m,n,U,V)]+

A(U,V)+B(U,V)i+C(U,V)j+

D(U,V)k

(11)

式中

A(U,V)=-Im(MCLT(fB)(U,V))

B(U,V)=Re(MCLT(fR)(U,V))+
Im(MCLT(fG)(U,V))

C(U,V)=Re(MCLT(fG)(U,V))-
Im(MCLT(fR)(U,V))

D(U,V)=Re(MCLT(fB)(U,V))

(12)

式中,MCLT(fR), MCLT(fG),MCLT(fB)分別為紅、綠、藍通道傳統的MCLT系數.

式(11)和式(12)提供了一種關于MQLT變換的有效快速計算方法,即將MQLT變換的計算轉換為3個通道MCLT變換的計算.目前,對于MCLT變換的快速計算已有廣泛研究[8-9],將這些快速算法與式(11)和式(12)相結合即可實現MQLT變換的有效快速計算.

另外,由式(11)可知,MQLT頻域空間是一個四維空間.由式(12)和MCLT系數的對稱性可得MQLT系數4個分量的對稱性和反對稱性分別為

A(2M-1-U,2N-1-V)=(-1)M+NA(U,V)

A(2M-1-U,V)=(-1)MA(U,V)

A(U,2N-1-V)=(-1)NA(U,V)

B(2M-1-U,2N-1-V)=(-1)M+NB(U,V)

C(2M-1-U,2N-1-V)=(-1)M+NC(U,V)

D(2M-1-U,2N-1-V)=(-1)M+ND(U,V)

D(2M-1-U,V)=(-1)M+1D(U,V)

D(U,2N-1-V)=(-1)N+1D(U,V)

U=0,1,2,…,M-1;V=0,1,2,…,N-1

(13)

對于IMQLT,類似可得

C(U,V)j+D(U,V)k][pC(m,n,U,V)+

pC(m,n,U,V)-D(U,V)pS(m,n,U,V)]+

C(U,V)pS(m,n,U,V)]+

B(U,V)pS(m,n,U,V)]+

A(U,V)pS(m,n,U,V)]=

(14)

式中

(15)

式中,IMCLT(·)表示傳統的MCLT逆變換.

由頻域系數的實部A(U,V)和其中一個虛部D(U,V)具有如式(13)所示的(反)對稱性可知,Re(IMCLT(A))=0,Im(IMCLT(D))=0,以及

(16)

如果式(9)中取μ=μLum,采用如上所述類似的方法推導可得

fB(m,n)k][pC(m,n,U,V)-

μLumpS(m,n,U,V)]=A(U,V)+

B(U,V)i+C(U,V)j+D(U,V)k

(17)

式中

Im(MCLT(fG)(U,V))+

Im(MCLT(fB)(U,V))]

B(U,V)=Re(MCLT(fR)(U,V))+

Im(MCLT(fB)(U,V))]

C(U,V)=Re(MCLT(fG)(U,V))+

Im(MCLT(fR)(U,V))]

D(U,V)=Re(MCLT(fB)(U,V))+

Im(MCLT(fG)(U,V))] (18)

系數A,B和C同樣具有如式(13)所示的(反)對稱性.系數D則具有如下特性:

D(2M-1-U,2N-1-V)=(-1)M+ND(U,V)

U=0,1,2, …,M-1;V=0,1,2,…,N-1

(19)

經過IMQLT變換后可得

C(U,V)j+D(U,V)k][pC(m,n,U,V)+

(20)

式中

Im(IMCLT(C))+Im(IMCLT(D))]

Im(IMCLT(C)(m,n))-

Im(IMCLT(D)(m,n))]

Im(IMCLT(B)(m,n))+

Im(IMCLT(D)(m,n))]

Im(IMCLT(B)(m,n))-

Im(IMCLT(C)(m,n))]

(21)

2.3 基于MQLT的雙彩色圖像數字水印

2.3.1 嵌入水印前提條件

而對于μ=μLum,由式(21)以及Re(IMCLT(A))=0可知,如果按照式(13)的對稱性同時修改系數A(u,v)及其對稱系數而不修改其余3個系數,即可滿足式(16)的前提條件.因此,只可將水印數據嵌入到MQLT系數的1個分量A中.

2.3.2 數字水印算法

結合MQLT變換、Arnold置亂變換以及冗余嵌入策略,將彩色水印重復嵌入到載體圖像中,水印算法框圖見圖1.下面分別從水印嵌入和提取2個方面進行詳細闡述.

1) 水印嵌入

令嵌入到彩色載體圖像中的彩色圖像水印為

圖1 彩色圖像水印算法框圖

w.為了增強算法的魯棒性(特別是裁剪攻擊),采用冗余嵌入策略通過如下步驟重復嵌入KT個水印:

① 水印圖像預處理.為了增強水印安全和水印算法的魯棒性,將KT個水印w進行KI次周期為KP的Arnold置亂,然后將置亂后彩色水印的每個分量十進制像素值轉換為8位二進制數據,最終將彩色水印轉變為一個比特流水印b.

② 載體圖像分塊MQLT變換.將彩色載體圖像重疊劃分成16×16的單位小塊,相鄰塊之間有50%的重疊,然后分別對這些小塊進行MQLT變換得到8×8的MQLT系數小塊.

③ 水印嵌入.對于每一個8×8宏塊,隨機選擇圖2所示的中頻候選位置中的部分位置作為水印嵌入區域KM.對于KM中任意一個位置(U,V),針對不同的單位純四元數(如μLum和k),選擇頻域系數4個分量(Ah,Bh,Ch和Dh)中的1～4個分量,通過量化索引調制算法[10]嵌入比特流水印b,即

圖2 8×8宏塊中用于水印嵌入的中頻候選位置

(22)

④ 分塊IMQLT變換.對所有的單位小塊進行IMQLT變換,得到含水印圖像.

由此可知,所提算法中的密鑰Key主要包括Arnold置亂變換的置亂次數KI和周期KP、中頻嵌入位置信息KM、冗余嵌入個數KT以及量化步長KΔ.

2) 水印提取

依據密鑰Key,按如下步驟提取水印:

① 測試圖像分塊MQLT變換.將測試圖像按50%區域重疊分成16×16的單位小塊,并分別對這些小塊進行MQLT變換.

② 提取嵌入的比特流水印.利用密鑰Key中的中頻嵌入位置信息KM和量化步長KΔ,采用量化解碼公式

(23)

提取KT個冗余嵌入的比特流水印bs(s=1,2,…,KT).然后,獲取最終比特流水印b′,即

(24)

由此可知,水印提取無需原始載體和原始水印,故該操作為盲提取.

3 實驗結果與分析

為了驗證本文算法的有效性,下面通過一系列實驗從不可見性和抗攻擊魯棒性2個方面進行測試.將本文算法與Zhang等[11]提出的基于MCLT的算法進行對比.該算法首先對載體圖像進行8×8分塊MCLT變換,然后在變換后每個4×4系數宏塊的直流系數中嵌入1個比特水印.實驗對比中,將本文算法和文獻[11]算法分別運用于彩色圖像的3個通道中.

3.1 性能評價參數

為了更好地評估算法性能,引入如下2個客觀評價參數.

1) 峰值信噪比(peak signal to noise ratio,PSNR).用于評估嵌入水印的不可見性.PSNR值越大,表明嵌入信息的不可見性越好.大小為Mh×Nh的彩色載體圖像h和含水印圖像h′之間PSNR的計算公式為

PSNR=

(25)

NC=

(26)

3.2 不可見性測試

采用6幅大小為512×512像素的標準圖像作為載體圖像集,包括經典的Lena、Woman和Peppers等圖像(見圖3).彩色水印圖像則采用了大小為32×32像素的東南大學校徽和Mandrill圖像(見圖4).

圖3 彩色載體圖像

圖4 彩色水印圖像

文獻[11]基于MCLT的算法在每個分量的4×4系數宏塊中只嵌入1個比特數據,因此最多可在512×512的載體圖像中冗余嵌入1.9個32×32的彩色水印.而采用不同單位純四元數的基于MQLT變換的算法則具有更大的水印容量:對于采用k的算法(記為算法1),如果將圖2中所有58個中頻位置都選為嵌入區域,則MQLT頻域中每個8×8宏塊可以嵌入232比特數據,最大可重復嵌入37.4個水印;而對于采用μLum的算法(記為算法2),由于只能在分量A中嵌入水印,故最多可重復嵌入9.3個水印.其他參數設置為:Arnold變換的置亂次數KI=10,量化步長KΔ=80.

采用3種算法在6幅載體圖像內嵌入2個不同水印后,所得含水印圖像與載體圖像之間的PSNR值見表1.采用不同算法將圖4(a)嵌入到圖3(a)后,所得的含水印圖像以及提取的水印見表2.由表可知,不管是從含水印圖像的質量還是從算法本身的穩定性來看,算法1和算法2均優于文獻[11]算法,這主要是因為后者采用了四元數彩色圖像表示方法將彩色載體圖像作為一個整體進行處理,而且還考慮了通道之間的關聯.此外,算法1的性能優于算法2,可以獲取更高質量的含水印圖像,并具有更小的PSNRSTD值.這主要是因為算法1完全利用了MQLT系數的4個分量;而算法2只考慮了1個分量,為了嵌入相同的水印數據,需要在每個宏塊中修改更多系數,故圖像質量退化更厲害.在沒有攻擊的情況下,算法1和算法2能夠完全正確地提取水印,而文獻[11]算法則存在偏差.

表1 不同載體圖像和不同水印圖像的PSNR值

表2 含水印圖像和提取的水印

3.3 魯棒性測試

不可見性和魯棒性之間相互制約.為了更好地對比和分析不同算法的魯棒性,選取PSNR值相近的含水印圖像進行魯棒性測試.以表2中文獻[11]算法得到的含水印圖像(PSNR=31.759 6)為基準,采用算法2嵌入3.2個水印圖像4(a)后,得到PSNR值為31.721 5的含水印圖像;采用算法1則嵌入4.1個水印,得到PSNR值為31.815 7的含水印圖像.對這3幅圖像進行各種攻擊(包括JPEG壓縮、添加噪聲、裁剪、濾波以及幾何變換等),以測試算法的魯棒性.表3和表4給出了3種算法針對各種攻擊后的實驗結果.需要說明的是,這3種算法本身并不抗幾何變換攻擊,故轉而測試其對由幾何校正帶來的截斷誤差的魯棒性;目前已有很多工作是通過估計幾何變換參數來進行幾何校正的[12-13].實驗中,先將含水印圖像進行前向幾何變換,然后通過逆變換進行校正,從而得到測試圖像集.這里主要考慮的幾何變換是旋轉和縮放.

表3 各算法針對圖3(a)提取的彩色水印及其NC值

表4 各算法針對測試載體圖像集的結果

由表3和表4可以看出,算法1和算法2較文獻[11]算法具有更強的魯棒性,提取水印圖像質量更高,這歸功于四元數彩色圖像表示方法處理彩色圖像的整體性.算法1的性能優于算法2,這是因為前者將水印嵌入到所有4個分量中,而后者只嵌入到1個分量中.對于裁剪攻擊,由于采用了冗余嵌入策略和Arnold置亂變換,基于算法1和算法2所提取的水印都能較好識別.算法1和算法2都具有很小的NCSTD值,是比較穩定的算法.

4 結語

基于四元數彩色圖像表示方法和四元數代數理論,將傳統的MCLT變換推廣應用于彩色圖像處理中,并通過分析為避免水印能量損失問題需要注意的系數對稱條件,基于MQLT變換、Arnold變換和冗余嵌入策略,提出了一種魯棒的雙彩色圖像盲水印算法.實驗結果表明,所提算法明顯優于采用傳統三通道分別處理思想的MCLT算法,針對濾波、JPEG壓縮、添加噪聲和裁剪等攻擊具有更強的魯棒性.這主要是因為四元數彩色圖像表示方法將一幅彩色圖像視為一個整體進行處理,并且考慮了色彩之間的關聯性.特別是對于算法1,它充分利用四維MQLT頻域,將水印嵌入到頻域系數的全部4個分量中.

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