計算Lp 空間上Berezin變換范數(shù)的一種新方法＊

景彩霞，周立芳

（湖州師范學院 理學院，浙江 湖州313000）

0 引 言

設D是復平面上的開單位圓盤.符號dA＝（1／π）dxdy表示單位圓盤D上的正規(guī)化的Lebesgue測度，即A（D）＝1.Lp（D）（1≤p＜∞）是有所有滿足

的函數(shù)f組成的Lebesgue空間.L∞（D）表示由所有的本性有界函數(shù)組成的空間，即對任意的f∈L∞（D）有：

Bergman空間（D）是由Lp（D）中所有的全純函數(shù)組成的空間.可以看出，Bergman 空間（D）是Lp（D）的閉子空間.在（D）中，對任意的z∈D，在點z處的點賦值泛函是有界線性泛函.因此由Riesz引理知，對任意的f∈（D），存在函數(shù)Kz∈（D）滿足

正規(guī)化的Bergman核kz為kz＝Kz／‖Kz‖2［1］.

對任意f∈L1（D），定義函數(shù)f的Berezin變換

Berezin變換是F.A.Berezin［2］在研究K?hler流形的量子化時首先引入的.后來Berezin變換在Bergman空間上的Toeplitz算子理論中發(fā)揮了重要作用［3～6］.

Berezin變換在Lp（D）上是有界的，當且僅當1＜p≤∞，這一事實很早就已經(jīng)知道［5］.但是直到2008年，Dostanic才給出了其精確范數(shù).在文獻［7］中，Dostani證明了：

定理A 設1＜p≤∞，則有：

并且，當p＝∞時，等號右邊的式子理解為1，其中‖B∶Lp（D）→Lp（D）‖ 表示Berezin變換B從空間Lp（D）映到Lp（D）上的算子范數(shù).

本文主要以超幾何函數(shù)的性質(zhì)及Schur檢驗為工具，給出了上述定理的一個新的證明.這與Dostani在文獻［7］中的方法是完全不同的.首先，我們介紹了超幾何函數(shù)的性質(zhì)及Schur檢驗等預備知識.其次，我們給出了定理A 的一種新的證明方法.

1 預備知識

本文將會用到超幾何函數(shù)的知識.我們用傳統(tǒng)符號2F1（α，β；γ，z）定義超幾何函數(shù)

這里γ≠0，－1，－2，…，（α）0＝1，（α）k＝α（α＋1）…（α＋k－1）.其中：k≥1.

為方便參考，我們列出幾個超幾何函數(shù)的相關公式［8］：

引理1 若Reδ＞0，且Re（λ＋δ－α－β）＞0，則有：

證明 注意到，公式（5）左右兩邊在z＝1連續(xù)的，令z→1，兩邊取極限，再利用（2）即得此引理.

下面的引理可由文獻［9］中的定理1.4.10直接得到.

引理2 設α是一實數(shù)，γ＞－1，則有：

下面的結……