景彩霞,周立芳
(湖州師范學院 理學院,浙江 湖州313000)
設D是復平面上的開單位圓盤.符號dA=(1/π)dxdy表示單位圓盤D上的正規(guī)化的Lebesgue測度,即A(D)=1.Lp(D)(1≤p<∞)是有所有滿足

的函數(shù)f組成的Lebesgue空間.L∞(D)表示由所有的本性有界函數(shù)組成的空間,即對任意的f∈L∞(D)有:

Bergman空間(D)是由Lp(D)中所有的全純函數(shù)組成的空間.可以看出,Bergman 空間(D)是Lp(D)的閉子空間.在(D)中,對任意的z∈D,在點z處的點賦值泛函是有界線性泛函.因此由Riesz引理知,對任意的f∈(D),存在函數(shù)Kz∈(D)滿足


正規(guī)化的Bergman核kz為kz=Kz/‖Kz‖2[1].
對任意f∈L1(D),定義函數(shù)f的Berezin變換

Berezin變換是F.A.Berezin[2]在研究K?hler流形的量子化時首先引入的.后來Berezin變換在Bergman空間上的Toeplitz算子理論中發(fā)揮了重要作用[3~6].
Berezin變換在Lp(D)上是有界的,當且僅當1<p≤∞,這一事實很早就已經(jīng)知道[5].但是直到2008年,Dostanic才給出了其精確范數(shù).在文獻[7]中,Dostani證明了:
定理A 設1<p≤∞,則有:

并且,當p=∞時,等號右邊的式子理解為1,其中‖B∶Lp(D)→Lp(D)‖ 表示Berezin變換B從空間Lp(D)映到Lp(D)上的算子范數(shù).
本文主要以超幾何函數(shù)的性質(zhì)及Schur檢驗為工具,給出了上述定理的一個新的證明.這與Dostani在文獻[7]中的方法是完全不同的.首先,我們介紹了超幾何函數(shù)的性質(zhì)及Schur檢驗等預備知識.其次,我們給出了定理A 的一種新的證明方法.
本文將會用到超幾何函數(shù)的知識.我們用傳統(tǒng)符號2F1(α,β;γ,z)定義超幾何函數(shù)

這里γ≠0,-1,-2,…,(α)0=1,(α)k=α(α+1)…(α+k-1).其中:k≥1.
為方便參考,我們列出幾個超幾何函數(shù)的相關公式[8]:

引理1 若Reδ>0,且Re(λ+δ-α-β)>0,則有:

證明 注意到,公式(5)左右兩邊在z=1連續(xù)的,令z→1,兩邊取極限,再利用(2)即得此引理.
下面的引理可由文獻[9]中的定理1.4.10直接得到.
引理2 設α是一實數(shù),γ>-1,則有:

下面的結……