Gauss多項式環的理想和商環＊

郭紅紅，劉 東

（湖州師范學院 理學院，浙江 湖州313000）

0 引 言

整數環? 與數域F上的多項式環是兩類最重要且應用最廣的環，這是因為這兩類環上有所謂整除的概念.近年來，許多論文研究了理想和商環［1～2］，但關于Gauss多項式環?［x，i］＝｛f（x）＋g（x）i∶f（x），g（x）∈?［x］｝的理想和商環的相關研究卻很少.本文在Gauss整環理想和商環一般結構的基礎上，主要討論了Gauss多項式環?［x，i］的理想和商環的性質.給出了Gauss多項式環的理想中次數最低元素的相伴元及一般表示，商環?［x，i］／〈u（x）＋v（x）i〉中元素的一般表示，以及在特殊情況下Gauss多項式環理想和商環的形式和性質.

為了方便后面說明，我們先作如下定義：

定義1［3～4］設?［x］是有理數域? 上的一元多項式環，f（x），g（x）∈?［x］.如果f（x）｜g（x），且g（x）｜f（x），則稱f（x）與g（x）相伴，記作f（x）～g（x）.

1 主要結果及證明

1.1 Gauss多項式環的理想

在給出Gauss多項式環?［x，i］的理想的一般表示前，先確定其理想中次數最低的有理系數多項式，這將有助于后面有關Gauss多項式環的商環的討論.

給定u（x），v（x）∈?［x］，為敘述方便，本文一直使用如下記號，d（x）＝（u（x），v（x））為u（x），v（x）的首項系數為1的最大公因式，且u1（x）＝u（x）／d（x），v1（x）＝v（x）／d（x），N＝〈u（x）＋v（x）i〉是Gauss多項式環?［x，i］中由u（x）＋v（x）i生成的主理想.對于任一非零多項式f（x），?（f（x））表示其次數.

定理1 記號如前所述，則多項式環?［x］中屬于N的次數最低的有理系數多項式t（x）與d（x）（x）＋（x））相伴.

證明 設t（x）是多項式環?［x］中屬于N的次數最低的有理系數多項式，則存在f（x），g（x）∈?［x］，使得

t（x）＝（f（x）＋g（x）i）（u（x）＋v（x）i）.

有：

因為

所以d（x）｜t（x）.于是令t（x）＝d（x）t1（x）.有：

解得：

因而

從而我們知：

又

所以

由t（x）的次數最低知t1（x）次數最低.因而

即

得證.

定理2 記號如前所述，則理想中元素的一般表示如下：

或

證明 任意a（x）＋b（x）i∈〈u（x）＋v（x）i〉，存在f（x），g（x）∈?［x］，使得

則

因為

所以

于是令

有：

解得……