基于交叉口多相位信號控制的路網容量

王 建 鄧 衛

(東南大學交通學院,南京210096)

信號控制路網容量問題是指在考慮用戶路徑選擇條件下,如何選擇信號配時參數使路網容量達到最大[1]．路網容量研究具有重要的現實意義,可以減少不必要的道路建設，幫助決策者進行信號參數優化選擇，使得路網能承載高峰時段居民出行需求，還可以預先決定城市各片區土地利用強度，以充分挖掘現有路網的通行能力．

Wong等[2]首次探討了用戶均衡條件下的路網備用容量問題,建立了雙層規劃模型,模型采用靈敏度分析法求解．Gao等[3]拓展了路網容量的定義,改進了Wong等[2]設計的模型,認為路網O-D需求乘子的增長倍數不一定相同,具體算例顯示在該定義下路網可以獲得更大的備用容量.張鵬等[1,4]將信號延誤引入交通分配模型中,探討了考慮信號延誤下的路網容量問題,并且進一步研究了車道分配對路網容量的影響,通過分配道路雙向車道數、優化信號配時參數等措施,達到增大路網容量的目的.Chiou[5]研究了信號控制路網總延誤最小目標下的路網備用容量問題,并利用投影擬牛頓法進行求解．在上述研究中,用以描述駕駛人擇路行為的交通分配模型都是以簡單的兩相位信號控制為基礎的,而在實際城市道路網絡中,為了減少交叉口左轉車流與對向直行車流的沖突,交叉口大都采用三相位以上的信號進行控制,故上述研究中的交通分配模型不能描述多相位信號控制路網中駕駛員的路徑選擇行為,即對于交叉口多相位信號控制的城市道路網絡,上述容量模型欠缺實用性．

為了提高路網容量模型的實際可操作性,本文建立了一種描述多相位信號控制路網容量的雙層規劃模型．其中,下層模型是交叉口多相位信號控制路網交通分配模型,該模型遵循Wardrop用戶均衡條件;上層模型是信號控制參數優化模型,通過優化各個交叉口綠信比、周期時間以及O-D需求量,達到路網容量最大化的目標．雙層規劃模型采用基于靈敏度分析的啟發式算法求解．

1 多相位信號控制路網容量模型

1.1 多相位信號控制路網用戶均衡分配模型

傳統的信號控制路網交通分配模型雖然考慮了路段的信號延誤,但都假設路網中各個交叉口由簡單的兩相位信號進行控制．在多相位信號控制路網中,由路段進入交叉口的各個流向流量和對應的信號延誤均不相同,交通分配模型需要對各相位下的流量和延誤加以區分．根據文獻[6-7]中交叉口多相位信號控制路網的駕駛員擇路行為,構建出多相位信號控制路網的用戶均衡交通分配模型，即

(1)

文獻[7-8]證明了模型(1)滿足Wardrop用戶均衡條件,是一種用戶最優的交通均衡分配模型,存在唯一的極值．可采用罰函數和逐步回歸等方法對該模型求解．

根據文獻[9],目標函數中信號交叉口各相位的信號延誤可表示為

(2)

式中,Cj(a)為交叉口j(a)的信號周期;Sai為路段a中第i相位放行車道的飽和流量．

1.2 信號控制交叉口約束模型

假設進入交叉口存在左轉交通量的路段都設有左轉相位以及左轉專用車道．對單個信號控制交叉口進行優化配時時,各相位的有效綠燈時間應滿足交叉口相應流向流量的通行需求,信號控制設置必須使路段各相位的流量不超過該相位放行方向上設置車道的通行能力,即

(3)

式中,nai為路段a中第i相位的放行車道數;ci(λij(a))為路段a中第i相位放行方向單個車道的通行能力．由于xai是在給定路網O-D需求量、周期時間以及綠信比下模型(1)的均衡分配結果,因此可以將其表示為路網O-D需求量、周期時間和綠信比的函數,則式(3)可以寫成

(4)

式中,q為所有O-D需求向量;C為路網交叉口周期時間向量;λ為綠信比向量．

此外,信號周期時間和綠信比必須滿足如下的邊界約束:

Cmin≤Cj(a)≤Cmax?j(a)∈J

(5)

λmin≤λij(a)≤λmax?i∈Ij(a),j(a)∈J

(6)

式中,Cmin,Cmax分別表示周期時間的下限和上限;λmin,λmax分別表示綠信比的下限和上限．

一般而言,隨著經濟、人口的增長,各個小區的用地強度也會出現相應變化．假設這種O-D需求的變化不存在極端情況,即某個O-D對之間的需求為0,則各O-D出行需求量必須滿足如下的下界約束:

(7)

由于交叉口損失時間的存在,對一個信號交叉口j(a),有

(8)

式中,Lj(a)為交叉口j(a)一個周期的損失時間;Nj(a)為交口j(a)的相位總數．

1.3 雙層規劃模型

多相位信號控制路網容量可以表示為

Cmin≤Cj(a)≤Cmax?j(a)∈J

λmin≤λij(a)≤λmax?i∈Ij(a),j(a)∈J

(9)

式中,Q表示路網出行需求總量．xai(q,C,λ)可通過求解多相位信號控制路網用戶均衡分配模型(1)得出．

2 模型求解算法

多相位信號控制路網容量模型是一個雙層規劃模型．鑒于雙層規劃模型的非凸性,全局最優解難以求得．此外,在最大路網容量模型中,上層模型xai(q,C,λ)是一個非線性模型,并且函數形式未知,因而不能直接求解約束規劃方程．文獻[1-4]采用靈敏度分析方法求解類似雙層規劃模型,即在路網變量(O-D需求量、周期時間以及綠信比)相互獨立的條件下,對下層用戶均衡交通分配模型進行靈敏度分析,得到路段均衡流量對路網變量的導數,從而將上層模型中路段流量函數轉換成線性函數進行求解．但是,對于用戶均衡分配模型(1),需要考慮各相位下路段流向流量,并且路徑-路段連接關系矩陣是一個三維矩陣,故傳統靈敏度分析方法并不適用．

靈敏度分析的目的是為了獲得均衡狀態下路段流量對各個路網設計變量的導數．導數是函數在自變量變化處的變化率,可以看作函數的微分與自變量的微分之商即微商,而微商是差商的極限形式[10],因此可通過差商的方法近似估計出路段流量對設計變量的導數．這種方法不需要假設路阻函數是路段流量的單調遞增函數,相比于經典的靈敏度分析方法,其應用范圍更為廣泛．利用差商的方法求解均衡狀態下信號控制路段各流向流量對設計變量導數的過程如下:假設xai是模型(1)在控制參數(q*,C*,λ*)處的一個均衡解,將路網變量qw在初始值的基礎上增加Δqw,其他變量不變,求得變量qw變化后模型(1)的均衡解．設此時xai的均衡解相比于初始值增加了Δxai,則xai在控制參數(q*,C*,λ*)處對變量qw的導數可以估計為Δxai/Δqw．采用類似的方法可求出xai對其他路網設計變量的導數.則路網容量上層模型中未知函數xai(q,C,λ)可近似表示為如下的線性形式:

xai(q,C,λ)≈xai(q*,C*,λ*)+

(10)

將式(10)代入上層模型中,則上層模型變為一個以O-D需求量、周期時間和綠信比為變量的普通非線性優化模型,可以采用序列二次規劃法求解．根據上層模型求得的最優解,再一次求解下層交通分配模型,得到新的路段均衡流量；重復上述過程,就可以得到新的路網容量.如此反復計算,有望收斂于路網容量雙層規劃模型的最優解.這種基于靈敏度求解雙層規劃模型的方法稱為BLABD算法,算法過程參見文獻[10]．

3 算例分析

圖1為信號控制路網結構圖．由圖可知,該路網包含6個節點、3個O-D對(A-B,B-A,C-D)和10個路段．其中,節點E和節點F為信號控制交叉口,每個O-D對之間有2條可選的路徑.由于路徑A-F-E-B以及B-E-F-A需要在相應的路口左轉,故在路段2和路段8上設置專用左轉車道以及專用左轉相位．C-D方向沒有左轉車輛,故只設置1個相位放行直右方向的車輛.交叉口E和交叉口F的相位設置如圖2所示．路段2和路段8設置2個車道,分別為左轉專用車道和直右車輛放行車道,其他所有路段均只設置1個車道,單個車道的通行能力為1 800 pcu/h．路段行駛時間可表示為

(11)

圖1 信號控制路網結構圖

圖2 交叉口E和F的相位設置

利用Matlab編程求解圖1所示的基于多相位的最大路網容量問題,取收斂精度ε1=ε2=ε3=0.001,O-D出行需求量、周期時間以及綠信比的增加量分別設為10,5,0.05．經過7次迭代,計算結果滿足收斂精度要求.各次迭代結果見表2．

由表2可知,第4次迭代結果已經接近均衡解,說明BLABD算法收斂速度較快.到達穩定解時,路網容量為2 338.687 pcu/h,即在現有O-D出行總量下,路網可以多容納 94.89%的O-D出行量．最大路網容量下,O-D對A-B之間的最大出行量為994.518 pcu/h,較初始值增加98.90%;O-D 對B-A的最大出行量為1 074.580 pcu/h,即在到達路網容量前,B-A出行量還可以多容納114.92%的O-D出行量;最大路網容量狀態下,O-D對C-D之間的出行需求量為269.589 pcu/h,較初始值增加34.79%．達到路網最大容量時,交叉口E各信號相位的有效綠燈時間分別為33.08,5.87,9.77 s;交叉口F各信號相位的有效綠燈時間分別為33.39,13.90,22.26 s.表3給出了最大路網容量下的路徑流量和行駛時間．由表可知,O-D對A-B和B-A之間的各條路徑具有相同的行駛時間,而O-D對C-D之間的出行需求量全部分布在最短路徑C-E-F-D中,即所有使用的路徑具有相同的行駛時間，未使用路徑的行駛時間大于使用路徑的行駛時間,因此分配結果符合用戶均衡準則．需要注意的是,BLABD算法中每一次迭代都需要多次求解下層用戶均衡分配模型,故對于設計變量較多的大型路網,該算法的實用性會相應降低．

表1 各交叉口信號參數和O-D需求量的初始值

表2 各次迭代中O-D需求量、周期時間、綠信比的計算結果

表3 最大路網容量下的路徑流量和行駛時間

4 結語

本文建立了一種交叉口多相位信號控制路網容量的雙層規劃模型．為了克服傳統靈敏度分析方法的局限,采用BLABD算法來求解路網容量模型．該算法通過差商的方法近似估計均衡狀態下信號控制路段各流向流量對設計變量的導數,將上層模型中的車道飽和度約束方程轉化為線性方程,進而求解．算例分析結果表明,BLABD算法可有效求解多相位信號控制路網容量問題．但是在計算中發現,利用差商方法進行靈敏度分析時需要多次求解設計變量變化后的用戶均衡解,模型計算量較大,計算速度相對較慢,因此對于大型路網容量問題,有必要研究新的求解多相位信號控制路網模型的方法．

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