地鐵網絡無標度特性分析

王志如 梁作論 袁競峰 李啟明

(1東南大學土木工程學院,南京210096)(2中國電子科技集團公司南京第十四研究所,南京210031)

網絡的標度特性是復雜網絡研究的一個重要領域[1-4].網絡的標度特性決定網絡演化的連接機制[2].對地鐵網絡標度特性的研究是了解地鐵網絡的內在演化機制、建立地鐵網絡演化模型及研究地鐵網絡動力學問題的基礎.

目前對地鐵網絡標度特性的研究,主要有數學歸納法和數理統計法.基于數學歸納法的地鐵網絡節點度分布模型的假設條件比較嚴格,如Angeloudis 等[5]構造的地鐵網絡節點度(節點被連接次數)均為偶數,與實際并不相符.基于數理統計的地鐵網絡標度特性研究分為以節點(地鐵車站)被連接次數作為節點度計算指標和以經過節點的線路數目作為節點度計算指標.前者指該車站連接到其他車站的次數,經實證分析得到地鐵網絡度分布服從指數分布[6-7]、Possion分布[8]、冪律分布[9-10].后者指經過該車站的地鐵線路數目,Derrible 等[1，11]通過實證分析得到15個地鐵網絡度分布服從冪律分布.

在以線路為演化單位的交通網絡中,“節點被連接次數”不能夠反映實際網絡的演化機理,而以“經過車站的線路數目”作為評價度分布的指標才具有實際意義.雖然Derrible 等[1，11]提出的“經過車站的線路數目”的評價方法有很大改進,但由于因變量“給定節點度對應的節點數目”因網絡規模而異,不同網絡之間不具有可比性,頻次不同于概率值,運營線路數目不具有唯一性.基于以上不足,本文提出基于經過車站拓撲線路數目的節點度分布評價方法,通過改進線路計量方法、函數因變量方面的不足,增加擬合回歸樣本,改進擬合方法,得到地鐵網絡節點度分布函數.

1 地鐵網絡標度評價方法

1.1 拓撲線路定義

節點度定義為經過車站的拓撲線路數目.拓撲線路是指網絡中存在的有固定的、物理形態上的復線軌道(復線是指含有雙向獨立軌道的線路),不同于運營中所指的線路.運營線路依賴與拓撲線路,相同的拓撲線路可以有不同的運營方式,例如,在圖1所示的拓撲網絡中,最多可以產生6條運營線路,分別是:運營線路1-4,4-2,4-3,1-2,1-3,2-3,6條線路通過不同的組合可以產生多種運營方式.因此,拓撲線路具有唯一性,而運營線路不具有唯一性.

圖1 含有2條拓撲線路的網絡

1.2 標度評價指標

給定地鐵網絡中含有拓撲線路L1,L2，…，La,節點i的度Li定義為經過該節點的拓撲線路數目,令Lj=1,j=1,2,…,a,節點i的度表示為

(1)

地鐵網絡節點度的分布用分布函數P(L)來描述,P(L)表示一個隨機選定的節點度恰好為L的概率,viL表示如果節點i的度為L,則記為1,否則為0;V表示地鐵網絡節點數目,基于經過節點線路數目的度分布函數表示為

(2)

將被解釋變量P(L)作為函數的因變量,是基于如下2個原因:① 原始的解釋變量和被解釋變量的函數形式與其累計分布一般都不相同[12],也就是說,無法通過累計的度分布函數得到地鐵網絡的演化機制.② 雙對數化過程會導致殘差的增加,影響擬合效果.

1.3 回歸檢驗方法

最大似然估計(MLE)和普通最小二乘法(ordinary least squares,OLS)是最為常見的統計擬合準則.Goldstein等[13]認為MLE結合Kolmogorov-Smirnov (KS)檢驗更加適用于冪律分布的參數估計.然而,MLE適用于大樣本參數估計,在小樣本中會低估殘差值.由于52個地鐵網絡樣本中,數據點最大為6個,因此MLE不適用于本研究.而OLS無論樣本大小都是取殘差平方的最小值,因此本文選取OLS作為參數估計方法.

擬合效果檢驗通過非線性回歸的擬合優度系數R2和殘差平方和SSE檢驗[12],當R2接近于1,且SSE接近于0時,認為擬合效果很好.

2 案例分析及討論

2.1 基礎數據

地鐵網絡按照單模式網絡L-Space建模方式[14];采用人工識別方法統計拓撲線路數目;節點度由線路搜索算法計算;52個地鐵網絡樣本節點度分布部分基礎數據見表1.

2.2 節點度分布函數擬合

在52個地鐵網絡樣本中,10個地鐵網絡樣本含有大于3個數據點(見表1),21個地鐵網絡樣本含有3個數據點,21個地鐵網絡樣本有2個數據點.由于度分布函數至少含有1個回歸系數、1個常量,所以在52個地鐵網絡樣本中,剔除含有2個數據點的21個樣本.含有大于3個數據點的10個地鐵網絡樣本的度分布折線圖如圖2所示.

圖2 含有大于3個數據點的10個地鐵網絡樣本的度分布折線圖

表1 52個地鐵網絡樣本的標度分析部分基礎數據

由圖2可見,在地鐵網絡中,只有1條拓撲線路經過的節點概率為0.743～0.946,有2條拓撲線路經過的節點概率急速下降到0.054～0.176,節點同時被3條及以上拓撲線路經過的概率就更加小.這種現象與冪律分布中“大多數節點只有比較少的連接,而少數節點有大量的連接”性質[15]一致,因此,初步估計地鐵網絡度分布形式為冪律分布.本文選取3種函數對地鐵網絡度分布進行擬合,分別是一般形式的冪律函數[16]f(x)=axb、漂移冪律(shifted power law,SPL)[17]f(x)=(x+a)b,及縱軸平移(longitudinal shifted power law,L-SPL)的f(x)=axb+c冪律函數,擬合回歸參數及檢驗結果見表2.

表2 3種函數對含有大于3個數據點的10個樣本的擬合回歸參數及檢驗結果

由表2可見,在置信度為95%的情況下,3種分布函數擬合得到的R2都接近于1,SSE接近于0,這說明擬合效果非常好.對于含有大于3個數據點的10個地鐵網絡樣本,L-SPL分布函數擬合得到的R2和SSE要優于SPL分布函數和一般形式冪律函數,SPL分布函數擬合結果優于一般形式冪律函數.以紐約地鐵網絡為例,6個數據點都較好地落在了3條擬合曲線上(見圖3).

圖3 3種分布函數對紐約地鐵網絡度分布擬合曲線

為了進一步證明L-SPL分布函數能夠很好地描述節點度分布,本文對3種度分布函數的預測值與真實值進行分析,并比較殘差大小.以紐約地鐵網絡為例,取該樣本中的前5個數據點,通過對3種分布函數擬合,得到3種度分布函數的回歸參數,由擬合得到的回歸方程預測第6個數據點.第6個數據點的預測數據與真實值的殘差見圖4.

由圖4可見,與SPL和一般冪律形式的分布函數擬合得到的殘差值相比,L-SPL度分布函數擬合得到的殘差值更加接近于零.但是,從預測值來看,L-SPL度分布函數預測的節點度L=6的度分布值P(L=6)=-0.003 97,小于0(見圖5),而度分布為頻次的百分比值,不可能出現負值.從L-SPL解析式可知,解析式中包含的參數c是一個加性誤差項,由表2給出的10個地鐵網絡樣本的3種度分布函數擬合得到的回歸參數可以看出,參數c在10個樣本中只有2個為正值,其余都為負值,所以會導致度分布隨著節點度的增加而出現負值.因此,L-SPL函數不適用于地鐵網絡度分布擬合.

圖4 3種冪律函數擬合殘差圖

圖5 3種分布函數預測結果

SPL分布和一般形式冪律分布對節點度為6的度分布預測值都為正值,當節點度增大時,2種分布函數的預測值都無限接近于0,且SPL分布的收斂速度要大于一般形式冪律分布(見圖5).在實際建設中,若一個地鐵車站同時有多條線路經過,則車站容量及換乘設施必須滿足大客流需求,因此會增加施工難度并導致建設成本過高;同時,一個車站發生故障,經過該車站的線路越多,受影響的范圍越大,同時還會產生嚴重的社會影響;因而在規劃地鐵站時,會避免多條線路同時經過一個地鐵車站,所以,地鐵網絡中不可能出現擁有幾十條線路的站點.因此,當節點度趨向于100時,收斂速度快的分布函數更適合于地鐵網絡度分布;其次,通過R2和SSE比較,SPL分布要優于一般形式冪律分布.由此認為，SPL分布形式更加符合地鐵網絡度分布,即地鐵網絡度分布為漂移冪律SPL分布,由于漂移程度參數的a值非常小,故不影響其冪律分布的實質.

2.3 結果分析及討論

在大于等于3個數據點的31個地鐵網絡樣本中,香港地鐵網絡的SPL函數擬合得到的非線性回歸的擬合優度系數R2=0.967 5,在31個樣本中的擬合程度最低;相比其他30個樣本,香港地鐵網絡的殘差平方和為SSE=0.005,大了1個數量級,因此認為,香港地鐵網絡度分布擬合效果最差.究其原因,香港地鐵網絡中存在大量共線拓撲線路,導致共線段的車站都有2條線路經過,從而增加了節點度為2的車站數目,使節點度為1的車站數目到節點度為2的節點數目平緩下降,因而產生“肥尾”特征,標度系數b=-2.312,然而,同時有3條線路經過的車站的增長速度遠小于有2條線路經過的共線車站增長速度,導致節點度為3的車站數目稀少,無法落到肥尾曲線上.除香港地鐵外,其他30個城市地鐵網絡的擬合優度系數R2都大于0.99,擬合效果良好.

52個地鐵網絡樣本的標度系數-b在2～5范圍內，且在只含有2個數據點的21個樣本中,標度系數-b隨著節點度為1的度分布值與節點度為2的度分布值的比值的增大而增大,標度系數-b越接近5,換乘車站在網絡中占的比例越小,吸引力強的點越少,網絡的異質程度越低;標度系數-b越接近2,換乘車站在網絡中占的比例越多,吸引力強的點越多,網絡的異質程度越高.標度系數最大的日本Sapporo地鐵網絡,為典型的星型網絡結構,共含有2個換乘車站,一個位于城市中心,有3條徑向線路同時經過,另一個車站有2條徑向線路同時經過.因此,同等規模的地鐵網絡中,星型結構的標度系數最大.

在節點數目大于300的紐約、巴黎、倫敦、柏林4個大規模網絡中,標度系數-b落在了2～3之間(見表2),表明在規模較大的地鐵網絡中,存在較多吸引力強的節點,如在紐約地鐵網絡中,存在6條線路同時經過的節點,換乘站點在網絡中所占比例較高,度分布曲線呈“肥尾”.在8個發達城市(地鐵網絡站點數目大于200的城市),除上海地鐵網絡之外,標度系數都小于3,說明地鐵網絡隨著網絡化程度的提高,標度系數會同其他大多數大規模網絡一樣,落在2～3范圍內,這也表明連接偏好現象存在于地鐵網絡中.

3 結語

本文提出的基于經過站點的拓撲線路數目的地鐵網絡節點度分布評價方法,能夠反映地鐵網絡的內在演化機制,突出以線路為演化單位的公共交通網絡與以節點為演化單位的社會網絡、航空網絡、WWW網絡等的區別,且拓撲線路數目的量化標準相比運營線路,其結果具有唯一性;通過3種分布函數對52個地鐵網絡樣本節點度分布的擬合,證明了漂移冪律SPL分布函數對地鐵網絡度分布擬合效果最好,SPL函數實質上是一種介于指數和冪律之間的分布,當常數項a=0時,SPL函數為冪律分布;當a→∞時,SPL函數趨于指數分布;由于擬合結果中52個地鐵網絡樣本a分布在0～1范圍內，說明了地鐵網絡度分布是介于冪律和指數分布之間的漂移冪律函數,這與實際現象相吻合.

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[1] Derrible S,Kennedy C. The complexity and robustness of metro networks [J].PhysicaA,2010,389(17): 3678-3691.

[2] Albert R,Barabsi A L. Statistical mechanics of complex networks [J].ReviewsofModernPhysics,2002,74(1): 47-97.

[3] 汪小帆,李翔,陳關榮. 復雜網絡理論及其應用 [M]. 北京:清華大學出版社,2006: 8-14.

[4] 張君超. 基于復雜網絡的城市公交網絡特性分析與演化研究[D].成都:西南交通大學交通運輸規劃與管理學院,2010.

[5] Angeloudis P,Fisk D. Large subway systems as complex networks [J].PhysicaA,2006,367: 553-558.

[6] 汪濤. 城市公交網絡的拓撲結構和演化模型研究[D].南京:南京航空航天大學經濟與管理學院,2009.

[7] 王燚,楊超. 上海市軌道交通網絡的復雜網絡特征研究[J]. 城市軌道交通研究,2009(2)：33-36.

Wang Yi,Yang Chao. Characteristics of the complex network in shanghai urban rail transit [J].UrbanMassTransit,2009(2): 33-36. (in Chinese)

[8] Han C,Liu L. Topological vulnerability of subway networks in China [C]//IEEEManagementandServiceScience. Wuhan,China,2009: 1-4.

[9] 王志強,徐瑞華. 基于復雜網絡的軌道交通道路網可靠性仿真分析[J]. 系統仿真學報,2009,21(20): 6670-6674.

Wang Zhiqiang,Xu Ruihua. Reliability simulation analysis of urban rail transit networks based on complex network [J].JournalofSystemSimulation,2009,21(20): 6670-6674. (in Chinese)

[10] 王云琴. 基于復雜網絡理論的城市軌道交通網絡連通可靠性研究[D].北京:北京交通大學交通運輸學院,2008.

[11] Derrible S,Kennedy C. Characterizing metro networks: state,form,and structure [J].Transportation,2010,37(2): 275-297.

[12] 何曉群,劉文卿. 應用回歸分析 [M]. 2版. 北京: 中國人民大學出版社,2007: 294-295.

[13] Goldstein M L,Morris S A,Yen G G. Problem with fitting to the power-law distribution [J].EuropeanPhysicalJournalB,2004,41(2): 255-258.

[14] 葉青. 基于復雜網絡理論的軌道交通網絡脆弱性分析[J]. 中國安全科學學報,2012,22(2): 122-126.

Ye Qing. Vulnerability analysis of rail transit based on complex network theory [J].ChinaSafetyScienceJournal,2012,22(2): 122-126. (in Chinese)

[16] 何大韌,劉宗華,汪秉宏. 復雜系統與復雜網絡[M]. 北京: 高等教育出版社,2009: 267-269.

[17] Chang H,Su B B,Zhou Y P,et al. Assortativity and act degree distribution of some collaboration networks [J].PhysicaA,2007,383(2): 687-702.