仿生柔性并聯(lián)機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)與優(yōu)化設(shè)計(jì)

孫黎霞 宋洪剛 高丙團(tuán) 湯 奕

(1河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院,南京 210098)(2東南大學(xué)電氣工程學(xué)院,南京 210096)

在生化試驗(yàn)、戰(zhàn)爭和搶險(xiǎn)救災(zāi)等特殊情境下,人們需要穿戴防化服和防毒面具等個(gè)人防護(hù)裝置(PPE)以及通訊設(shè)備進(jìn)行作業(yè),PPE在人頭頸動(dòng)作時(shí)會(huì)產(chǎn)生噪聲[1-3]．為了提高在此類噪聲情況下人們的通訊質(zhì)量,需開發(fā)一種低運(yùn)動(dòng)噪聲的仿人頭頸機(jī)器人．基于文獻(xiàn)[1-3]提出的仿人頭頸系統(tǒng),本文給出一種簡化的以壓縮彈簧模擬頸椎和3根繩索模擬頸部肌肉的仿人頭頸并聯(lián)機(jī)器人．

仿人頭頸作為仿人機(jī)器人中的一個(gè)重要部分,其驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)類型可分為兩大類:串聯(lián)式和并聯(lián)式．與傳統(tǒng)串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比,并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有運(yùn)動(dòng)慣性小、承載能力高、動(dòng)態(tài)響應(yīng)快等優(yōu)點(diǎn)[4],而繩索驅(qū)動(dòng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)除具有上述優(yōu)點(diǎn)外,還具有工作空間大、精度高、可遠(yuǎn)程驅(qū)動(dòng)等特性[5],因此近年來得到越來越多的研究者關(guān)注．SAYA機(jī)器人的頸部由一根彈簧和幾根氣動(dòng)的人工肌肉組成,其中彈簧支撐人頭模型,氣動(dòng)的人工肌肉驅(qū)動(dòng)頭部運(yùn)動(dòng)[6]．iCub機(jī)器人頸部有2種并聯(lián)結(jié)構(gòu)形式[7]:① 由1個(gè)壓縮彈簧和3根相隔120°驅(qū)動(dòng)繩索組成;② 1個(gè)球副脊柱和3根雙向驅(qū)動(dòng)腿組成．在James仿生機(jī)器人中也有一種類似于第一種結(jié)構(gòu)形式的頭部模型[8]．但是,上述文獻(xiàn)中未對系統(tǒng)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行定量分析．

由于繩子只能產(chǎn)生單方向的拉力而不能產(chǎn)生推力,因此對于具有n個(gè)自由度的繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人一般至少需要n+1根驅(qū)動(dòng)繩索[5]．文獻(xiàn)[3]給出的4繩索驅(qū)動(dòng)的柔性仿人頸系統(tǒng)在實(shí)現(xiàn)仿人頸的Pitch和Roll兩自由度運(yùn)動(dòng)時(shí)存在一個(gè)冗余度,從而使得系統(tǒng)成本增大．理論上,并聯(lián)機(jī)構(gòu)中實(shí)現(xiàn)仿人頸的兩自由度運(yùn)動(dòng)只需要3根120°分布的繩索,且3根繩索驅(qū)動(dòng)的仿人頸并聯(lián)機(jī)構(gòu)是研究多繩索驅(qū)動(dòng)的仿人頭并聯(lián)機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)．鑒于此,本文針對3根繩索驅(qū)動(dòng)的柔性仿人頭系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)進(jìn)行深入的研究,在此基礎(chǔ)上對3根繩子在基座和動(dòng)平臺(tái)的端點(diǎn)位置進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)．

1 機(jī)構(gòu)描述

本文研究的并聯(lián)結(jié)構(gòu)基本組成如圖1所示,其主要包括4個(gè)部分:

1) 基座．它是機(jī)構(gòu)的固定部分,在其上定義一個(gè)全局坐標(biāo)系OXYZ．坐標(biāo)系的原點(diǎn)在彈簧底部的幾何中心處,Y軸沿OA1方向,X軸與Y軸垂直;Z軸由右手法則確定．

2) 動(dòng)平臺(tái)．它是機(jī)構(gòu)的非固定部分,在其上定義一個(gè)局部坐標(biāo)系oxyz．坐標(biāo)系的原點(diǎn)在彈簧頂部的幾何中心處,y軸沿oB1方向,x軸與y軸垂直,z軸由右手法則決定．

4) 彈簧．連接基座和動(dòng)平臺(tái),利用其產(chǎn)生的力或力矩支撐機(jī)器人頭部負(fù)荷并實(shí)現(xiàn)頭部運(yùn)動(dòng)．圖2中O點(diǎn)和o點(diǎn)之間是一條曲線．在O點(diǎn)處,曲線的切線方向垂直于基座所在平面;在o點(diǎn)處,曲線的切線方向垂直于動(dòng)平臺(tái)所在平面．

圖1 繩索驅(qū)動(dòng)的柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)原理圖

圖2 彎曲平面內(nèi)等效力系統(tǒng)

在上述假設(shè)成立的情況下,動(dòng)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)可量化出4個(gè)參數(shù):θs為s軸與X軸的夾角;θp為基座平面與動(dòng)平臺(tái)平面之間的夾角;t0為動(dòng)平臺(tái)原點(diǎn)到基座平面的垂直距離;s0為基座原點(diǎn)O與o′之間的距離．當(dāng)然也可以設(shè)置其他參數(shù)來描述動(dòng)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)配置．對于上述4個(gè)參數(shù),其中只有3個(gè)是獨(dú)立的．一般把s0看作是其他3個(gè)參數(shù)的依賴性參數(shù),即一旦給出θs,θp,t0的值,便能求出s0,此時(shí)s0一般被看作由其他3個(gè)參數(shù)決定的伴隨運(yùn)動(dòng)[3]．機(jī)構(gòu)中動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)可以用θs,θp來描述,在其值給定的情況下,可得到動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)變換矩陣．

全局坐標(biāo)系下,基座上Ai(Oa1,Oa2,Oa3)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為

類似地，給出動(dòng)平臺(tái)上的Bi(ob1,ob2,ob3)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，即

利用羅德里格斯公式[9-10],得到從局部坐標(biāo)系至全局坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)矩陣ORo，即

從而得到局部坐標(biāo)系至全局坐標(biāo)系下的齊次坐標(biāo)變換矩陣OTo，即

2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)分析

在逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析中,已知機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)矩陣,求解繩子的長度li．令x=[θs,θp,t0]T∈R3,q=[l1,l2,l3]T∈R3,則兩者之間的關(guān)系可表示為

q=f(x),f:R3→R3

如果通過x求出s0,則OTo可完全確定且各繩長由li=‖Oai-OToobi‖求得．由于s0是彈簧側(cè)彎時(shí)發(fā)生的一種伴隨運(yùn)動(dòng),其值不能隨意設(shè)定．因此,為了獲得解決方案,將結(jié)合機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)進(jìn)行分析．

2.1 力和力矩平衡方程

由上文假設(shè)可知,所有繩子中的拉力均可轉(zhuǎn)化成平面Ost內(nèi)的力和力矩,否則說明彈簧不在該平面內(nèi)彎曲．如圖2所示,將繩子的拉力等效成Ost平面內(nèi)2個(gè)互相垂直的力F1,F2及過o點(diǎn)且垂直于Ost平面的力矩M．

一般情況下假設(shè)動(dòng)平臺(tái)不受其他外力的作用,此時(shí),動(dòng)平臺(tái)可被看作o點(diǎn)處一個(gè)質(zhì)量為m的點(diǎn),則力和力矩平衡方程為

(1)

(2)

在式(1)、 (2)中共有7個(gè)未知量,分別為T1,T2,T3,F1,F2,M和s0．消除T1,T2,T3后可得到只含有F1,F2,M和s0四個(gè)未知量的方程,再結(jié)合由彈簧側(cè)向彎曲方程導(dǎo)出的3個(gè)方程,便可求解上述4個(gè)未知量．方程(1)和(2)可分解為

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

假設(shè)a≠b或者s0sinθp+t0(cosθp-1)≠0,且θs≠kπ/2(k=0,1,2,3,…),綜合式(3)～(8)可得

asinθpcos2θst0)F1-absinθpsinθs(a-

(9)

2.2 彈簧側(cè)向彎曲方程

由文獻(xiàn)[2]中對彈簧側(cè)向彎曲問題的分析可知,F1,M均可表示成s0的函數(shù),即

F1=D1s0+E1

(10)

M=D2s0+E2

(11)

式中

將式(10)、(11)代入式(9),可得到一個(gè)關(guān)于s0的二次方程，即

(12)

式中

本文需要找到一個(gè)s0∈R≥0．一旦s0確定,其他所有未知量都可以求出．

2.3 特例分析

在2.1節(jié)中,假設(shè)a≠b或s0sinθp+t0(cosθp-1)≠0,且θs≠kπ/2,得到方程(9)．

對于假設(shè)a≠b或s0sinθp+t0(cosθp-1)≠0是為了得到如下等式：

(13)

當(dāng)?shù)仁?13)不成立時(shí),則要求a=b且s0sinθp+t0(cosθp-1)=0;而對于這一情況只有在θp=0時(shí)才成立,但由于其代表頭頸沒有做彎曲動(dòng)作,因而研究意義不大,故假設(shè)θp≠0,從而保證式(13)恒成立．

當(dāng)θs=kπ/2時(shí),由2.1節(jié)可知，θs在區(qū)間[0,2π]內(nèi)存在4個(gè)特殊的點(diǎn),即θs=0,π/2,π,3π/2．本文僅對θs=π的情況進(jìn)行推導(dǎo)說明,其他特殊情況與其推導(dǎo)過程類似．

結(jié)合式(10)、(11)可得到一個(gè)類似于式(12)的關(guān)于s0的二次方程,從而可求出此時(shí)s0的值．

2.4 數(shù)值實(shí)現(xiàn)

壓縮彈簧的參數(shù)如表1所示,其中,l0為彈簧原長,h0為彈簧螺距,G為剪切模量,E為彈性模量,r為彈簧半徑,d為彈簧絲的直徑,K為彈簧彈性系數(shù)．由此可計(jì)算出彈簧的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I和抗彎剛度β0,即

表1 壓縮螺旋彈簧的參數(shù)

其他參數(shù)選擇為a=0.06m,b=0.05m,m=0.05kg．因在實(shí)際應(yīng)用中,t0用來調(diào)整3根繩子的預(yù)緊力,故仿真時(shí)t0取固定值0.085m．通過改變?chǔ)萷∈[0,π/9]和θs∈[0,2π],得到如圖3所示的結(jié)果．

由圖3可知,每根繩子的拉力和長度互補(bǔ),即繩子長度較小時(shí),繩子的拉力就較大;θp越大,繩子的長度和拉力變化范圍就越大;當(dāng)θp一定時(shí),所有繩子的長度和拉力隨θs在0～2π內(nèi)的變化曲線是對稱的,為了更清楚觀察這一特點(diǎn),繪制了θp=π/9,t0=0.085m時(shí)所有繩子長度和繩子拉力隨θs∈[0,2π]的變化曲線,如圖4所示．

圖3 逆位置和靜力學(xué)

圖4 θp=π/9,t0=0.085m時(shí)繩長與拉力隨θs的變化曲線

3 繩子的優(yōu)化布局

基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)綜合分析,可以對繩子的布局進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)以得到最小的繩子驅(qū)動(dòng)力,從而減小驅(qū)動(dòng)器的規(guī)模,降低成本．為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo),首先要確定優(yōu)化變量．根據(jù)以上推導(dǎo)可知,除變量a和b外,其余變量已給出或需要求解,故選擇a和b為優(yōu)化變量,兩者分別表示繩子在基座和動(dòng)平臺(tái)上的端點(diǎn)位置．

本節(jié)將基于不同的目標(biāo)函數(shù),通過數(shù)值方法來獲得最佳的a和b．由于機(jī)構(gòu)中共有3根繩子的拉力,需定義適當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)來評(píng)估力的大?。旅娑x2種目標(biāo)函數(shù)分別為3根繩子的拉力之和Tsum與最大繩子拉力Tmax:

式中,Tsum和Tmax分別表示電動(dòng)機(jī)平均出力和最大出力．因繩子只能產(chǎn)生單向驅(qū)動(dòng)力,故繩子拉力均為非負(fù)值．因此,定義中含有的絕對值可以去掉．用T表示以上2種目標(biāo)函數(shù)．則T是θs,θp,a,b的函數(shù)(t0=0.085m),即

T=ξ(θs,θp,a,b)ξ:R4→R

由2.1節(jié)可知,求出Ti的表達(dá)式,從而可求得T的解析表達(dá)式．由于T的解析表達(dá)式一般非常復(fù)雜,因此本文將采用數(shù)值迭代法推算其最優(yōu)解．

定義一個(gè)關(guān)于a和b的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)g(a,b),g:R2→R,則最小化問題可表示為

g(a,b),al≤a≤au,bl≤b≤bu,Ti≥0

式中,al,au,bl和bu分別是a和b的下限和上限,均可由人頸的大小和彈簧的外直徑推導(dǎo)得出．令al=bl=0.03m,au=bu=0.08m,Ti≥0表示繩子拉力不為負(fù)．優(yōu)化后結(jié)果可表示為

3.1 最小平均值

最小平均值是指最小化區(qū)域W={(θs,θp)|θs∈[0,2π)且θp∈(0,π/9]}內(nèi)T的平均值．因此,將W內(nèi)T的平均值定義為目標(biāo)函數(shù):

表2 最小平均值目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化結(jié)果

3.2 最小-最大值Tmin-max

最小-最大值是指最小化區(qū)域W內(nèi)T的最大值．因此,將W內(nèi)T的最大值定義為目標(biāo)函數(shù):

由于難以得到gmax(a,b)的解析表達(dá)式,將θp和θs離散化并估測目標(biāo)點(diǎn)的值,并通過密集離散化的方法得到gmax(a,b)的函數(shù)值．對應(yīng)于上述2種目標(biāo)函數(shù),最小-最大值Tmin-max的優(yōu)化結(jié)果如表3所示．從表3中可以看出,同一目標(biāo)函數(shù)下,對應(yīng)于不同的初始點(diǎn),其優(yōu)化結(jié)果基本相同．而對應(yīng)于不同的目標(biāo)函數(shù),其優(yōu)化結(jié)果不完全相同．

表3 最小-最大值目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié)語

本文對繩索驅(qū)動(dòng)壓縮彈簧支撐的柔性并聯(lián)機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了分析,解決了3根繩索驅(qū)動(dòng)該機(jī)構(gòu)的逆位置問題,并通過Matlab仿真驗(yàn)證了其數(shù)學(xué)模型的正確性．基于該機(jī)構(gòu)逆位置和靜力學(xué)分析,對3根繩子的布局進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)．研究結(jié)果表明,不同目標(biāo)函數(shù)下優(yōu)化結(jié)果不盡相同．若想使繩子的拉力平均值最小,最好使繩子端點(diǎn)靠近中心點(diǎn)處;若想使繩子的最大拉力最小,則最好使繩子端點(diǎn)遠(yuǎn)離中心點(diǎn)．本文分析方法將有助于進(jìn)一步研究具有柔性脊柱的并聯(lián)機(jī)構(gòu)．研究成果對于復(fù)現(xiàn)人頭頸的運(yùn)動(dòng)將起到重要參考作用,同時(shí)可促進(jìn)仿人機(jī)器人和繩索驅(qū)動(dòng)技術(shù)的發(fā)展．

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