基于熵權(quán)的集對分析在地下水質(zhì)量評價中的應(yīng)用

魯婷婷,俞 淞,王紅瑞,丁建新

(北京師范大學(xué)水科學(xué)研究院,北京 100875)

地下水是水資源的重要組成部分,對經(jīng)濟(jì)和社會的可持續(xù)發(fā)展具有不可替代的作用,特別是在地表水缺少或污染嚴(yán)重的地區(qū),地下水常常被用作人們的飲用水源。地下水污染趨勢日益嚴(yán)重,正面臨著由點(diǎn)到面、由淺到深、由城市到農(nóng)村不斷擴(kuò)展的趨勢[1]。2011年,中國工程院與中國環(huán)保部聯(lián)合發(fā)布的中國環(huán)境宏觀戰(zhàn)略研究報告指出,中國地下水污染嚴(yán)重,其中118個大中城市地下水已普遍遭到污染,嚴(yán)重污染的城市占64%,平原區(qū)約有54%的地下水不符合生活飲用水水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)。

近幾年,隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,地下水質(zhì)量綜合評價方法也越來越多,主要包括單因子評價法[2]、灰色聚類法[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[4]和支持向量機(jī)[5]等,這些方法都取得了良好的效果。在1994年實(shí)施的GB/T 14848—93《地下水質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》中明確給出地下水質(zhì)量分類指標(biāo),但由于影響地下水質(zhì)量的因素眾多,評價指標(biāo)與評價因子之間仍存在模糊、非線性的復(fù)雜關(guān)系,使得各種方法在應(yīng)用中有其優(yōu)點(diǎn)和弊端。例如單因子評價法,評價方法簡單、明了,能清晰的判斷出主要污染因子及其分布區(qū)域,但不能全面反應(yīng)水質(zhì)的整體狀況。模糊綜合評價法能充分考慮邊界的模糊性,但是它的計算比較復(fù)雜,在評價面積較大、評價對象數(shù)量較多的情況下,應(yīng)用比較困難,需要借助計算機(jī)輔助編程完成[6]。支持向量機(jī)雖然評價精度高,能簡化評價過程,但在相關(guān)參數(shù)選擇方面有待完善[7]。為解決水質(zhì)評價中評價指標(biāo)與評價因子之間模糊、非線性的復(fù)雜關(guān)系,將趙克勤[8]提出的集對分析理論應(yīng)用于地下水水質(zhì)評價中。

1 基于集對分析的地下水質(zhì)量評價模型的建立

1.1 集對分析基本原理

集對分析是趙克勤于1989年在包頭召開的全國系統(tǒng)理論會上提出的一種新型的處理模糊和不確定知識的系統(tǒng)分析方法,目前已廣泛應(yīng)用于地表水環(huán)境質(zhì)量評價中[9],其核心思想是對不確定性系統(tǒng)中有一定聯(lián)系的2個集合構(gòu)建集對,再對集對的特性做同一性、差異性、對立性分析,并加以度量刻畫,建立集對的同異反聯(lián)系度表達(dá)式。

設(shè)有聯(lián)系的集合X和Y,X有n項(xiàng)表征其特征,即X=(x1,x2,…，xn),Y亦有n項(xiàng)表征其特征,即Y=(y1,y2,…，yn)。X和Y構(gòu)成集對H(X,Y)。描述H(X,Y)間關(guān)系的聯(lián)系度定義為

(1)

式中：μX～Y為集合X和Y的聯(lián)系度,S為集對H(X,Y)中特性同一的個數(shù);F為特性差異的個數(shù);P為特性對立的個數(shù);S+F+P=n。I為差異度系數(shù),取值[-1,1]。當(dāng)I取1時,差異性轉(zhuǎn)化為同一性；當(dāng)I取-1時,差異性轉(zhuǎn)化為對立性；當(dāng)I在(-1,1)取值時,反映了同一性與對立性所占的比例,I越趨于0,不確定性越明顯。J為對立度系數(shù),規(guī)定其恒取值為-1。

μX～Y=a+bI+cJ

(2)

式中:a,b,c滿足a+b+c=1。a,b,c分別為集對H(X,Y)的同一度、差異度和對立度。當(dāng)a越接近于1時,表示這2個集合的特性越傾向于同一;當(dāng)c越接近于1時,表示這2個集合的特性越傾向于對立;當(dāng)b越接近于1時,表示這2個集合的特性越傾向于差異(既不同一也不對立)。

在地下水質(zhì)量評價中,地下水質(zhì)量分類及分類指標(biāo)是確定的,實(shí)際采用的評價因子是不確定的,基于集對分析的原理,將實(shí)際采用的評價因子與地下水評價標(biāo)準(zhǔn)之間構(gòu)成一個集對,通過計算2個集合的聯(lián)系度,評判地下水的環(huán)境質(zhì)量。

1.2 聯(lián)系度的確定

聯(lián)系度是對不確定系統(tǒng)中有一定聯(lián)系的2個集合關(guān)系的量化,能清晰定量的顯示2個集合之間的復(fù)雜關(guān)系。在確定聯(lián)系度之前,首先要進(jìn)行單因子評價,將樣本的實(shí)測值與地下水質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行對比,分別得出每個指標(biāo)所屬的水質(zhì)級別,然后再計算單個指標(biāo)所處的水質(zhì)級別與其他水質(zhì)級別的聯(lián)系度。確定準(zhǔn)確的聯(lián)系度是進(jìn)行集對分析的關(guān)鍵,具體確定方法是:將單因子評價的結(jié)果與5類水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行對比,若單因子評價結(jié)果與該評價級別相同,聯(lián)系度為1;當(dāng)單因子評價結(jié)果與該評價級別相隔,聯(lián)系度為-1;當(dāng)單因子評價結(jié)果與該評價級別相鄰,根據(jù)評價指標(biāo)與評價標(biāo)準(zhǔn)距離遠(yuǎn)近確定聯(lián)系度。具體量化公式為

a.樣本i第j項(xiàng)評價指標(biāo)與Ⅰ級水質(zhì)聯(lián)系度

(3)

式中：xij為樣本i第j項(xiàng)評價指標(biāo)實(shí)測值;s1j,s2j為各評價標(biāo)準(zhǔn)中分類指標(biāo)的限值。

b.樣本i第j項(xiàng)評價指標(biāo)與Ⅱ級水質(zhì)聯(lián)系度

(4)

式中：s3j為評價標(biāo)準(zhǔn)中分類指標(biāo)的限值。

c.樣本i第j項(xiàng)評價指標(biāo)與Ⅲ級水質(zhì)聯(lián)系度

(5)

式中：s4j為評價標(biāo)準(zhǔn)中分類指標(biāo)的限值。

d.樣本i第j項(xiàng)評價指標(biāo)與Ⅳ級水質(zhì)聯(lián)系度

(6)

e.樣本i第j項(xiàng)評價指標(biāo)與Ⅴ級水質(zhì)聯(lián)系度

(7)

式中：s5j為各評價標(biāo)準(zhǔn)中分類指標(biāo)的限值，是一個不確定的值,為了便于計算樣本單因子位于Ⅴ級時與Ⅳ級評價標(biāo)準(zhǔn)之間的聯(lián)系度,將s5j賦值為2s4j-s3j。

1.3 確定指標(biāo)權(quán)重的熵權(quán)法

在信息論中,熵是對不確定性的一種度量,信息量越大,不確定性就越小,熵也就越小;信息量越小,不確定性越大,熵也就越大。根據(jù)熵的特性,可以根據(jù)評價指標(biāo)值構(gòu)成的矩陣判斷各指標(biāo)的權(quán)重,避免人為給予權(quán)重的主觀性。主要的計算步驟如下:

a.假定有m個評價對象,每個評價對象有n個評價指標(biāo),構(gòu)成矩陣R

R=(Cij)m×n

i=(1,2,…,m),j=(1,2,…,n)

(8)

式中:Cij是第i個評價對象的第j個評價指標(biāo)的實(shí)測值。

b.將判斷矩陣R歸一化,得到歸一化矩陣B,歸一化公式:

(9)

式中:bij為矩陣B中的元素；Cmax，Cmin分別為同指標(biāo)下,不同方案中最滿意者和最不滿意者的值(本文評價為越小越滿意)。

c.根據(jù)傳統(tǒng)的熵的概念可以定義各評價指標(biāo)的熵為

(i=1,2,…,m;j=1,2,…，n)

(10)

d.計算各指標(biāo)的熵權(quán)

W=(wj)1×n

(11)

式中:wj為第j個評價指標(biāo)的權(quán)重;wt為第t個評價指標(biāo)的權(quán)重。

1.4 地下水環(huán)境質(zhì)量等級的確定

根據(jù)式(3)～(7),計算樣本與各評價等級之間的聯(lián)系度,并加權(quán)處理:

(12)

式中:uik為樣本i對評價等級k級之間的聯(lián)系度;uijk為樣本i中評價指標(biāo)j對k級評價標(biāo)準(zhǔn)的聯(lián)系度。

依據(jù)集對分析基本原理,選取聯(lián)系度最大的評價等級為該樣本地下水環(huán)境質(zhì)量等級,即

(13)

判定地下水水質(zhì)級別為p級。

2 實(shí)例應(yīng)用

為了驗(yàn)證集對分析方法的合理性,本文采用山東省聊城市東昌府區(qū)5個辦事處地下水監(jiān)測數(shù)據(jù)[10],以鐵、錳、總硬度、氯化物、高錳酸鹽指數(shù)和硫酸鹽為評價指標(biāo),以GB/T14848—93《地下水水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)》為水質(zhì)分級原則,進(jìn)行地下水水質(zhì)評價。地下水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)見表1。

表1 地下水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn) mg/L

現(xiàn)以東昌府區(qū)新區(qū)辦事處為例,根據(jù)水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)和地下水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn),確定單因子評價結(jié)果和聯(lián)系度,見表2和表3。

表2 新區(qū)辦事處單因子評價結(jié)果

表3 各評價因子與評價等級之間的聯(lián)系度

根據(jù)熵權(quán)計算公式,得出各指標(biāo)在地下水環(huán)境質(zhì)量評價中的權(quán)重分別為(0.20,0.18,0.13,0.16,0.15,0.18)。由式(12)計算出新區(qū)辦事處地下水水質(zhì)與Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ 5類評價等級之間的綜合聯(lián)系度分別為(-0.55,-0.14,-0.08,-0.06,-0.37),由式(13)可判定該地區(qū)地下水水質(zhì)屬于Ⅳ類。同理可得北城辦事處、柳園辦事處、鳳凰辦事處、湖西辦事處地下水水質(zhì)與各評價等級之間的綜合聯(lián)系度分別為(-0.61,-0.11,-0.05,-0.60,-0.34)、(-0.47,-0.21,0.10,-0.06,-0.63)、(-0.34,-0.17,-0.03,0.05,-0.63)、(0.31,0.37,-0.31,-0.85,-1)。相應(yīng)的地下水水質(zhì)等級分別為:Ⅲ類,Ⅲ類,Ⅳ類,Ⅱ類。

3 評價結(jié)果的比較與分析

根據(jù)上述方法,將所得的結(jié)果與文獻(xiàn)[11]中模糊綜合評價結(jié)果進(jìn)行比較,評價結(jié)果見表4.

表4 集對分析方法與模糊綜合評價法評價結(jié)果比較

從表4可以看出,新區(qū)辦事處、柳園辦事處和湖西辦事處2種評價方法的評價結(jié)果相同,鳳凰辦事處水質(zhì)評價結(jié)果相差一級,北城辦事處評價結(jié)果相差較大。產(chǎn)生這種差異的原因可能有2個方面：第一方面是2種評價方法之間的差異。2種方法都是通過建立函數(shù)進(jìn)行質(zhì)量評價,但模糊綜合評價法是通過計算隸屬度確定評價等級,隸屬度在[0,1]取值,沒有對水質(zhì)等級之間的過渡性進(jìn)行詳細(xì)描述,而集對分析方法是通過計算聯(lián)系度確定評價等級,不僅將跨越區(qū)間擴(kuò)大至[-1,1],而且從同一性、對立性、差異性3個方面進(jìn)行分析,特別是將差異度引入函數(shù)中,描述水質(zhì)等級之間的模糊過渡性,使評價結(jié)果更加精細(xì)、合理。另一方面的原因是評價過程中權(quán)重確定的方法不同。在模糊綜合評價過程中,權(quán)重的求法是根據(jù)該地區(qū)指標(biāo)的實(shí)測值與該指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)限值的算術(shù)平均值的比值求得。在計算過程中,權(quán)重的大小只與該指標(biāo)實(shí)測值有關(guān),這就會出現(xiàn)因?yàn)槟骋粋€指標(biāo)實(shí)測值偏高而導(dǎo)致評價結(jié)果偏高的現(xiàn)象,如北城辦事處鐵值明顯高于其他地區(qū),最后的結(jié)果也使模糊綜合評價法的結(jié)果高于集對分析評價方法結(jié)果。而且模糊綜合評價法只是根據(jù)一個單一的數(shù)值確定指標(biāo)的權(quán)重,誤差較大。本文在確定權(quán)重的過程中引進(jìn)信息論中熵的概念,根據(jù)評價指標(biāo)值構(gòu)成的矩陣來判斷各指標(biāo)的權(quán)重,權(quán)重的大小與每個地區(qū)的實(shí)測值都存在關(guān)系,既減少了單一數(shù)值確定權(quán)重產(chǎn)生的誤差,又能夠反應(yīng)各指標(biāo)的集中趨勢。

4 結(jié) 語

本文通過構(gòu)建評價因子的實(shí)測值與水質(zhì)評價標(biāo)準(zhǔn)之間的集對關(guān)系計算聯(lián)系度來確定地下水的質(zhì)量等級。在計算過程中,引用信息論中的熵值理論確定各個評價指標(biāo)的權(quán)重,避免人為賦予權(quán)重的主觀性,使評價結(jié)果更趨合理性。集對分析方法的主要優(yōu)點(diǎn)在于不僅能夠通過構(gòu)建同、異、反聯(lián)系度將評價過程量化,而且評價的原理易懂、計算簡便、結(jié)果直觀,適合大部分地區(qū)的地下水的質(zhì)量評價。但是集對分析方法在評價過程中也有不成熟的地方,例如水質(zhì)分級時s5的確定,本文雖然根據(jù)水質(zhì)分級的一般規(guī)律將s5賦值為2s4j-s3j,但水質(zhì)分級的指標(biāo)限值并不是標(biāo)準(zhǔn)線性關(guān)系,在確定過程中存在一定的主觀性。這也需要對集對分析方法不斷改進(jìn)優(yōu)化,使其能客觀有效地對地下水質(zhì)量進(jìn)行評價。

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