哈密頓體系下正交各向異性板彎曲的求解

王麗麗

(溫州大學 數學與信息科學學院，浙江 溫州325035)

哈密頓體系下正交各向異性板彎曲的求解

王麗麗

(溫州大學 數學與信息科學學院，浙江 溫州325035)

運用哈密頓求解體系來求解正交各向異性板的彎曲問題，由板的撓度基本方程出發求得本征值，并根據本征值本身特點得到本征向量，進而求得問題的解，并討論了該方法的特點。

哈密頓體系；正交各向異性；板彎曲

0 引言

目前很多文獻討論各向異性板的彎曲問題的方法。如張福范[1]用三角級數解正交各向異性板彎曲問題，馮立華[2]用利茲法求解正交各向異性矩形板的彎曲，王克林[3]用級數和疊加解得到正交各向異性板彎曲問題的解，張承宗[4]用復級數展開法求解了各向異性板的橫向彎曲問題，王 震[5]用傅立葉級數法求解了各種邊界條件下的正交各向異性板彎曲問題。上述一些方法中在求解不同矩形板的問題時不夠系統而且要硬性事先選取彎曲撓度。本文將基于哈密頓體系來對正交各向異性板的彎曲問題進行推理直接可以獲得彎曲解的表達方式進而獲取一種較普遍適用的解法。

本文首先由板彎曲方程導入哈密頓體系，將問題的求解轉入求解推導出的哈密頓對偶方程，將問題的解通過本征值和本征函數來表示，在求解本征向量時會依據本征值特點選取簡潔的本征向量，并能夠有規律并簡潔的表述問題的解。

1 哈密頓體系的導入

本文在彈性力學基本方程的基礎上來進行導入哈密頓體系。

1.1 板彎曲的撓度函數方程為：

其中，w表示板的撓度，q為橫向外載荷，D11，D22，D12，D66為板的彎曲剛度。板內彎矩扭矩、剪力以及等效剪力分別表示

1.2 以[w，φx，T，Mx]T為對偶變量的方程

設v=[w，φx，T，Mx]T，對x求偏導，并結合(1.2)我們得到：

其中，

v=[w，φx，T，Mx]T為板的狀態向量,f=[0 0 q 0]T為外力向量.“·”表示對x求偏導。矩陣H滿足HT=JHJ，H是一個哈密頓算子矩陣,問題已經導入哈密頓體系。式子(2.3)是求解薄板的哈密頓對偶方程。

2 求解薄板的哈密頓對偶方程

2.1 求解式子(2.3)的齊次方程為

其中，Y(y)=[w(y)，φx(y)，T(y)，Mx(y)]T.ξ與Y(y)為需求非零本征值與本征向量。令ξ=0，解出Y(y)=0.對于問題求解無意義故不需要考慮ξ=0的情況。本征解轉化為求解如下的特征方程：

可得到方程(2.5)根：λ1，2=±iβ1ξ，λ3，4=±iβ2ξ，(β1＜β2)，相應的通解形式：

其中，M11=cos(β1ξy)，M12=sin(β1ξy)，M21=cos(β2ξy)，M22=sin(β2ξy)

而由式(2.4)得到：

Ai，Bi，Ci，Di(i=1-4)為常數但之間有關聯，可由式(2.4)來確定它們之間數量關系。

2.2 以對邊簡支作為求解示例

對于對邊簡支板，y方向的簡支邊界條件為：

將式(2.6)代入條件(2.11)得關于A1，B1，C1，D1的齊次線性方程組

其中，m11=cos(β1ξb/2)，m12=sin(β1ξb/2)，m21=cos(β2ξb/2)，m22=sin(β2ξb/2)

因為A1，B1，C1，D1不可全部為零而需要取得非平凡解，故(2.12)系數行列式為零。得到關于ξ的超越方程。不考慮ξ=0.得到：

sin(β1ξb)sin(β2ξb)=0.解得非零本征值：

將求得的根ξn代入方程(2.12)可以得到系數的特點，進而得出

A1，B1，C1，D1簡潔的非平凡解。具體方法如下：

（1）特征值ξn

取A1=1，B1=0，C1=0，D1=0，再由(2.10)求得Ai，Bi，Ci，Di(i=2-4)

取A1=0，B1=1，C1=0，D1=0，再由(2.10)求得Ai，Bi，Ci，Di(i=2-4)

（2）特征值ξn=-ξn

n=1，3，5…取A1=-1，B1=0，C1=0，D1=0

n=2，4，6…取A1=0，B1=1，C1=0，D1=0(此處取B1=1是根據后面本征向量來取得)

（3）特征值ξn*

注：這里的是Ai，Bi，Ci，Di(i=1-4)簡單符號表達具體問題中與本征值和n有關。它們的選取完全依據本征值做了全面的選取，而不是隨便解得。故對后面的求解更全面。

由(2.4)得

3 算例

以四邊簡支的正交各向異性的邊長為1的方板為例。

D22=3.9D11，D66=0.85D11，D12=v2D11，v2=0.3。代入式子(2.5)，(2.13)解得非零本征值。取滿足非齊次方程(2.3)的特解

x方向的邊界條件為：

［1］張福范.彈性薄板[M].北京：科學出版社，1984.

［2］馮立華，楊加明，戴良忠，王旭.利茲法求解正交各向異性矩形板的彎曲[J].失效分析與預防，2012，7(4)：207-212.

［3］王克林，劉俊卿，趙東.平板的彎曲振動和屈曲[M].北京：冶金工業出版社，2006.

［4］張承宗，楊光松.各向異性板結構橫向彎曲一般解析解[J].力學學報，1996，28 (4)：47-48.

［5］王震，張為民，劉新東.傅立葉級數法求解正交各向異性板彎曲問題[J].山西建筑，2008，34(29)：12-13.

［6］姚偉岸，鐘萬勰.辛彈性力學[M].北京：高等教育出版社，2002.

［7］鐘萬勰，彈性力學求解新體系[M].大連：大連理工大學出版社，1995.

［8］徐芝綸.彈性力學[M].北京：高等教育出版社，2002.

［9］蘇濱.哈密頓體系在各向異性板彎曲問題中的應用[D].大連理工大學，2000.

［10］鐘陽，周純秀，劉 偉.求解彈性矩形薄板問題的辛幾何法[J].哈爾濱工業大學學報，2004，36(4)：505-507.

［11］李銳.矩形板問題的Hamilton求解方法[D].大連理工大學，2012.

Orthotropic Anisotropic Plate Bending Under Hamiltonian System

WANG Li-li
(College of mathematics and information science,Wenzhou University,Wenzhou Zhejiang 325035,China)

The Hamiltonian solution system to the bending problem of orthotropic plates,the basic equations of deflection plates to obtain eigenvalues and Intrinsic value itself,according to the characteristics of the eigenvector,and then get the solution of the problem,and discusses the characteristics of the method.

Hamiltonian system；Orthotropic anisotropic；Plate bending

湯靜］