具有3個公共值的亞純函數的唯一性

薄朝升，夏生虎

(1.桂林醫學院數理教研室，桂林 541004;2.重慶大學數學與統計學院，重慶 401331)

1 主要結果

設f(z)是開平面上的非常數亞純函數，S是具有不同元素的集合。令記重數不記重數。

1976年，Gross［1］提出以下問題:能否找到2個(甚至1個)有限集合 Sj，j=1，2，使得對任何2 個非常數的整函數f與 g，只要滿足E(Sj，f)=E(Sj，g)，j=1，2，必有 f≡g。

1994年，儀洪勛［2］完全解決了該問題，得到對任意2個非常數整函數f與 g，E(Sj，f)=E(Sj，g)，j=1，2，就有f≡g，則S1、S2的最小基數分別是1和3。Li和Yang在文獻［3］中推廣到了亞純函數。得到以下定理:

定理1 存在一個具有15個元素的集合S，使得對任意2個非常數亞純函數f和g，只要滿足E(S，f)=E(S，g)，E(∞，f)=E(∞，g)，就有f≡g。

2002年易洪勛在文獻［4］中證明了定理2。

秦春燕在文獻［5］中進一步得到定理3。

定理3 存在一個具有6個元素的集合S，使得任意2個非常數亞純函數f和g，只要E(S，f)=，則f≡g。本文證明了如下定理:

2 引理

設

其中:n≥7，是一個整數;a與b是2個非零復數，滿足abn-2≠2。令

這里a1，a2是n(n-1)ω2-2n(n-2)bω+(n-1)(n-2)b2=0的2個判別的根，計算得到:

其中 p(ω)有 n個不同于0和1的單零點，記為 ω1，ω2，…，ωn。

引理1［6］設f(z)是非常數亞純函數，ai(i=0，1，…，m)，bj(j=0，1，…，n)為有窮復數且am≠0，bn≠0，則

引理2［7］設f(z)是非常數亞純函數，k為正整數，則

引理3 設F和G為非常數亞純函數，Ek(1，F)=Ek(1，G)，令

設 z0∈Ek)(1，F)。Ek)(1，F)=Ek)(1，G)，且經計算得 H(z0)≠∞，再根據，有:

引理4［8］設 f1和 f2為非常數亞純函數，c1、c2、c3是3個非零常數。如果 c1f1+c2f2≡c3，則

證明 因為V≡0，由式(5)得

其中A≠0是一個積分常數。從式(6)得T(r，F)=T(r，G)+Ο(1)，所以有

因為T(r，f1)=nT(r，f)+ Ο(1)，所以 nT(r，f)≤5T(r，f)+S(r，f)，與 n≥7 矛盾，所以 1-A=0，得到F≡G。

引理6F，G 被式(2)給出，如果 Ek)(1，F)=Ek)(1，G)且({0}，f)=({0}，g)，則

引理7 V由式(5)給出，并且V不恒等于零，則

故

設z0是f的p重極點，g的q重極點，則z0既是F的(n-2)p重極點，也是G的(n-2)q重極點。計算得z0是V的至少(n-3)重零點。故

引理8H 被式(4)給出，若 H≡0，則 E(1，F)=E(1，G)。

3 定理4的證明

由Ek)(S，f)=Ek)(S，g)及F、G的定義知:Ek)(1，F)=Ek)(1，G)，若H不恒等于零，由第二基本定理得

由于

故

當k≥3時，更有

所以當k≥3時，將式(15)代入式(12)得到:

因此可得:

由引理7得

當k＜3時，結合引理6、7及式(14)得

進一步整理得

若 k=3，則 n≥7，與式(16)矛盾;若 k=2，則 n≥9，或若 k=1，則 n≥11，與式(17)矛盾，所以 H≡0。由引理8知E(1，F)=E(1，G)，從而 E(1，f)=E(1，g)，于是根據定理2，使定理4得證。

［1］Gross F.Factorization 0f meromorphic functions and some open problems［M］.Berlin/Heidelberg/New York:Springer-Verlag，1977.

［2］Yi H X.On a question of Gross concerning uniqueness of entire functions［J］.Bull Austral Math Soc，1998，57:343.

［3］Li P，Yang C C.On the unique range sets for meromorphic functions［J］.Proc Amer Math Soc，1996，124:177.

［4］儀洪勛.具有兩個公共分擔值集的亞純函數［J］.數學學報，2002，45(1):75.

［5］秦春燕.具有三個公共值集的亞純函數唯一性［J］.四川大學學報，2008，45(3):45.

［6］Mokhon KO A Z.On the Nevanlinna characteristics of some meromorphic functions，in“Theory of functions，functional analysis and their applications”［Z］.Izd-vo Khar’kovsk.Un-ta，1971，14:83-87.

［7］YI H X.Uniqueness of meromorphic functions and a question of C C Yang［J］.Complex variables，1990，14:169-176.

［8］儀洪勛.具有三個公共值的亞純函數［J］.數學年刊:A，1998，9(4):434-439.