一類非自治混沌系統的自適應時滯反饋同步控制

葉志勇，吳 用，劉 原

(重慶理工大學數學與統計學院，重慶 400054)

混沌控制與同步是目前非線性科學研究的一個重要內容。近幾十年，混沌系統的控制與同步吸引了很多專家學者的重點關注。經過科學家們努力的研究，多種研究混沌控制的方法被提出來了，如自適應同步控制法［1-4］、參數變分控制法、狀態反饋控制法、時滯反饋控制法［5-8］、最優控制法、魯棒控制法等，這些方法已被應用到了信息科學、醫學、生物等領域，并且取得了很多的成果。到目前為止，混沌控制的研究都集中非時滯和時滯的反饋控制這2個方面［9-10］。由于控制系統中考慮時滯會使得證明的過程具有一定的復雜性，所以對含時滯的研究還比較少。然而，在實際的應用中，時滯現象是普遍存在的，因此不能忽視。本文提出了一種n維非自治系統自適應時滯反饋控制的方法，通過選取一個合適的自適應反饋控制器，構造特殊形式的Lyapunov函數，給出了一類非自治混沌系統的全局自適應同步的判據。最后把理論的結果應用于有名的杜芬振子，用數值模擬驗證結論的正確性。

1 問題的提出

1.1 預備知識

1)A＞0表示A為正定矩陣，A≥0表示A為半正定矩陣。

2)λmax(A)表示矩陣A的最大特征值，λmin(A)表示矩陣A的最小特征值。

5)引理1(Barbalat’s Lemma)［11-12］假設函數f(t)是一個一致連續函數存在且有界，因此當t→+∞時，f(t)→0。

6)定義1 Lip(G)指一類含有利普希茨常數G的利普希茨連續函數。

7)定義 2［13］令 P=diag{ pp…，p}是一個正定的對角矩陣，Δ =diag{ δ，δ，…，δ}是一個對角矩1，2，n12n陣。QUAD(Δ，P)指一類連續函數 f(t，x):[0，+∞)× Rn→Rn滿足:對某一個 ε ＞0，所有的 x，y∈Rn和t＞0，有(x-y)TP {[f(t，x)-f(t，y )]-Δ[ x-y]}≤-ε(x-y)T(x-y)成立。

1.2 數學模型及控制器設計

給定n維非自治混沌系統:

其中:x(t)∈Rn，x(t)=(x1(t)，x2(t)，…，xn(t))T是系統(1)的狀態變量;A為n階常數方陣;f(t，x)為[0，+∞)×Rn→Rn的非線性連續函數;f(t，x)是一個非線性函數。

現在考慮主系統具有方程(1)這樣的表達式，且主系統是一個混沌系統。再給出一個從系統的表達式:

其中:y(t)=y1(t)，y2(t)，…，yn(t)是從系統的狀態變量;u是一個時滯自適應控制器;τ＞0為常數時滯;A為n階常數方陣。

研究的目標就是給從系統(2)設計一個合適的控制器，使得從系統(2)能和主系統(1)達到同步。

2 混沌系統的同步

令時滯自適控制器為這里的增益函數矩陣 K(t)=diag{k1(t)，k2(t)，…，kn(t)}，P=diag{ p1，p2，…，pn}是一個正定的對角矩陣，e(t)=y(t)-x(t)，e(t-τ)=y(t-τ)-x(t-τ)分別為主系統(1)和從系統(2)的不含時滯同步誤差和含時滯的同步誤差。假設存在n個正常數使得是一個正定的對角矩陣，則有以下定理:

定理1 令控制器u=K(t)(2e(t)-e(t-τ))，這里的增益函數矩陣為K(t)=diag{k1(t)，k2(t)，…，kn(t)}，且為同步誤差，θi(i=1，2，…，n)為任意的正常數，且f(t，x)∈QUAD(Δ，P)。假設存在n個正常數使得，且是一個正定的對角矩陣，使得H=(PA)s+PΔ-εIn-K*為負定矩陣，那么從系統(2)能和主系統(1)達到同步。

證明 通過主系統(1)和從系統(2)做差，可以得到

這里的 e(t)=e1(t)，e2(t)，…，en(t)T。

構造李雅普洛夫函數

通過引理可知:當t→+∞時，ei(t)→0，i=1，2，3…n。因此，從系統(2)和主系統(1)達到了同步，定理1證明完畢。

推論 1 如果 f(t，x)為[0，+∞)×Rn→Rn的非線性連續函數，且f(t，x(t))=(f1(t，x1(t))，…，f(t，xn(t)))T∈Rn，則滿足fi(t，xi(t))∈Lip(Gi)，i=1，…，n，這里利普希茨常數 Gi＞0。假設存在n個正常數使得，且H=PA+Gi-K*為負定矩陣，則從系統(2)和主系統(1)達到同步。

推論1的證明的方法和定理1的證明方法相同，因此省略。

3 數值模擬

例1 考慮杜芬振子［13］:

把主系統變為

取參數a=0.1，r=10，ω=1，數值模擬得到系統(7)的解軌線產生的混沌吸引子相圖如圖1所示。

圖1 杜芬振子產生的混沌吸引子相圖

考慮從系統

其中

圖2 杜芬振子同步誤差e1的穩定狀態

圖3 杜芬振子同步誤差e2的穩定狀態

4 結束語

本文提出了一種n維非自治系統自適應時滯反饋控制的方法。運用此方法，確定了一個滿足一定條件的主系統，只要選擇一個合適的控制器，就能讓主從系統達到全局漸進同步。該方法的優點在于控制器含有時滯。最后用數值模擬驗證了結論的正確性。

［1］Gonzalez G A.Controlling chaos of an uncertain Lozi system via adaptive techniques［J］.Int J Bifur Chaos，1994，4:559-562.

［2］Bernardo M.An adaptive approach to the control and synchronization of continuous-time chaotic systems［J］.Int J Bifur.Chaos，1996，6:557-568.

［3］Cao Y J.A nonlinear adaptive approach to controlling chaotic oscillators［J］.Phys Lett A，2000，270:171-176.

［4］Wu X Q，Lu J A.Adaptive control of uncertain Lii system［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2004，22:375-381.

［5］Bleich M E，Socolar J E S.Stability of periodic orbits controlled by time-delay feedback［J］，Phys Lett A，1996，210:87-94.

［6］Nakajima H.On analytical properties of delayed feedback control of chaos［J］.Phys Lett A，1997，232:207-210.

［7］Chen G，Yu X.On time delayed feedback control of chaotic systems［J］.IEEE Trans on Circu Syst，1999，46:767-772.

［8］羅曉曙，方錦清，孔令江，等.一種基于系統變量延遲反饋的控制混沌方法〔J］.物理學報，2000，49:1423-1427.

［9］Gopalsamy K.Stability and Oscillations in Delay Differential Equations of population Dynamics［M］.USA:Kluwer Academic Publishers，1992.

［10］葉志勇，鄧存兵，江華南.非自治混沌系統中時滯的反饋控制和應用［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2011(1):85-90.

［11］胥紅星.一個簡化Lorenz混沌系統的全局吸引集及應用［J］.四川兵工學報，2011(7):143-146.

［12］Wang X Y，Meng J.Generalized synchronization of hyperchaos systems［J］.Acta Phy Sinica，2007，56:6288-6293.

［13］Ueda Y.Steady motions exhibited by Duffing’s equation:a picture book of regular and chaotic motions［C］//Holmes P J.New Approaches to Nonlinear Problems in Dynamics.SIAM，Philadelphia:［s.n.］，1980.