船—冰碰撞幾何概率計算方法及影響因素研究

張 健，萬正權，張充霖，尹 群

（1江蘇科技大學 船舶與海洋工程學院，江蘇 鎮江212003；2中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫214082）

1 引 言

據美國地質調查局的2008年的評估顯示[1]，北極圈地區蘊藏著尚未開發的30%天然氣資源和13%的石油資源，被譽為是下一個波斯灣。可以預言，極地海域的開發將成為未來世界追逐的焦點。近一個世紀以來，由于溫室效應導致全球氣候變暖，南北兩極的冰川大量融化，一方面使得開辟具有更短航程的航線成為可能，但一方面又使散落于海上的冰山及浮冰碎片大量增加，給航行于其間的船舶帶來極大的困難和潛在的威脅，船只與包括冰山在內的浮冰碰撞事故屢有發生，往往造成船體損壞，并引起貨物泄露和環境污染，乃至釀成重大人員傷亡。而對于不同海域，受風、浪、流等各種因素的影響，船舶與浮冰的分布密度往往差別較大，因此有必要對具體航道下的船-冰碰撞概率問題進行研究。這對于預報高緯度海域船舶與浮冰的碰撞風險，保障船舶在冰區中的航行安全具有重要的實際意義。

2 船—冰碰撞問題場景描述

對于某海域來說，設其面積為S1。一定時期內，若海況穩定，則浮冰的數目可看作是不變量，設為n。對于往來于各個港口之間的遠洋船隊來說，其航跡并不是雜亂無章的，即航線往往是遵循一定路線，航行其中的船舶沿一定航線形成的航跡范圍稱為航道，設航道在該海域的面積為S2。海域與航道的示意圖如圖1所示，假設在某種情形下，n個浮冰中有m個進入該航道，則此情形出現的概率為：

式中：a=S2/S1，為單塊浮冰由海域的其他地區進入設定航道的概率，由于浮冰是自由漂浮在海面上的，因此等于航道面積與海域面積之比。

圖1 航道側視圖Fig.1 Long shot of the channel

圖2 航道坐標系Fig.2 Coordinate of the channel

在某一時刻點，由于浮冰運動的速度很小，可看作是相對靜止的，因此將航道“封閉”起來作為進一步的研究對象，而海域內其余部分的浮冰則不會對航道內部的船—冰碰撞概率產生任何影響。對于n個浮冰本文采用上述二項分布進行研究，即（1）式只是眾多情況當中的一種，對于浮冰進入選定航道的概率，顯然有n種情況，即m值的變化范圍為0到n。因此，得到的概率是基于以上n種情況的總和。可表示為：

由此，將目標海域的船舶與浮冰碰撞概率問題轉化成設定航道上船舶與m個浮冰（m∈［0,n］）的碰撞概率問題。

3 船—冰碰撞概率計算模型

3.1 航道坐標系的定義

正確的定義航道坐標系是建立概率計算模型的基礎，不僅能夠減少計算量，而且可以提高計算精度和效率。本文將航道所處的坐標系定義如下：原點位于海域中某航道的左側下方端點處，X軸水平指向正東方向，Y軸垂直指向正北方向，如圖2所示。

3.2 二維隨機變量的概率密度

為了能更直觀、清晰地闡述推導思路，下面的推導先僅對一艘船舶和一塊浮冰的碰撞問題進行分析，而后再考慮船舶與多塊浮冰碰撞的情況。在不考慮船、冰尺度的前提下，先將二者質點化，并設定船舶與浮冰的航道坐標，船舶（質點A）的坐標為（x1，y1），浮冰（質點B）的坐標為（x2，y2），同時規定這四個變量是相互獨立的。設質點A在x方向的概率密度函數為f（x1），y方向的概率密度函數為F（y1），質點B在x方向的概率密度函數為g（x2），方向的概率密度函數為G（y2）。

對于二維連續性隨機變量Z=X+Y的分布，若X和Y相互獨立，設X、Y關于x和y的邊緣密度分別為fX（x），fY（y），根據二維隨機變量的卷積公式，有[2]：

同理，對于隨機變量X=x1-x2，設X的概率密度為φX（x），可以表示為：

設航道的平均長度為L，約束范圍如下：

因此，對于隨機變量X的概率密度函數，根據上述條件可以表示為：

同理，對于Y=y1-y2，設Y的概率密度為φY（y），航道的平均寬度為B，約束范圍為：

因此，對于隨機變量Y的概率密度函數，根據上述條件可以表示為：

由于x1，y1，x2，y2為四個相互獨立的隨機變量，因此根據概率論的原理，X和Y也是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為φX（x）和φY（y）。對于平面內的二維連續型隨機變量（X，Y）來說，設其聯合概率密度為h（x,y），則可以表示為：

3.3 基于復合體的幾何概率積分

對于碰撞過程中船舶與浮冰的尺寸問題，本文采用復合體概念以確定船—冰碰撞的尺度范圍。設航道內某艘船舶的總長為l，型寬為b，一塊浮冰（考慮呈圓形）的直徑為d，即半徑RC為d/2。為了處理方便同時考慮到船舶的安全性，將船舶的形狀等效成長為l、寬為b的矩形的外接圓，則其半徑RB為：

同時建立一個以船舶質心A為圓心，船舶與浮冰的半徑之和為半徑R的圓，即R=RB+RC。而浮冰此時則看作為質點B，當該質點進入此圓域，則認為浮冰與船舶發生了碰撞。該等效圓域稱作船-冰復合體，其半徑R稱作船舶的安全半徑[3]，如圖3所示。

數學上，當兩質點A和B的距離在安全半徑范圍以內時，可以表示為：

圖3 復合體示意圖Fig.3 Complex schematic drawing

圖4 船舶與冰山碰撞的地理位置Fig.4 Map showing geographical locations

由于X=x1-x2，Y=y1-y2，所以（11）式又可以寫作從該表達式可以看出，確定航道上船冰碰撞概率p2可以表示為二維隨機變量（X，Y）分布的概率密度函數h（x,y）在圓域內的積分，即：

以上所有推導是基于一艘船舶和一塊浮冰—兩個實體進行分析的，在實際中，由于設定航道內的m塊浮冰與船舶在同一時刻的相對位置即距離小于或等于安全半徑R的概率均為p2。則理論上船-冰發生碰撞事件的概率可以表示為：

結合上述數學推導，可以發現，目標海域內的船-冰碰撞概率問題可分為兩部分來進行，即浮冰進入航道的概率和基于復合體概念的航道內船-冰碰撞的幾何概率。（13）式中，由于m∈［0,n］，因此可得到目標海域船—冰碰撞幾何概率P的表達式：

4 船—冰碰撞幾何概率數值算例

根據加拿大的Hill[4]對19世紀末到20世紀末一百年間發生在北大西洋上的船舶與冰山的碰撞事故進行的統計，如圖4所示，圖中紅色十字叉表示船舶與冰山發生碰撞的地理位置。在圖4海域3中，往來歐美之間的多條航道匯集于此[5]，同時，考慮海域3相對開闊，故選擇海域3作為研究對象。

根據文獻[4]的記載，海域3的地理位置介于北緯35°到52°，西經35°到55°之間。由于1°約等于111 km，因此其面積為：

在海域3中，選取一條從A港到B港的航線如圖1所示，該航線貫穿海域形成航道的面積為S2。設航道平均長度L為2 000 km，平均寬度B為6 km，則S2為12 000 km2。

由于船、冰分布的隨機性和復雜性，加之國內外相關文獻資料的極度匱乏，因此很難獲取該海域內較為精確的船舶與浮冰的分布函數。本文經過合理的假設和一定的簡化，對船舶與浮冰的分布函數進行了如下設定。

對于船舶的分布函數來說，沿航道長度方向，假設所研究的船舶為同一類船型，航速相近，設定船舶在航道截面各個位置處的分布密度是相等的，并呈線性均勻分布，即f（x）=1/L；沿航道寬度方向，由Pedersen船舶碰撞概率計算模型中關于船舶在航道內航行趨勢分布公式[6]，其概率密度服從高斯分布，有：

式中：μ為期望值，是表征船舶集中位置的重要參數；σ為標準偏差，是表征船舶在航道內沿寬度方向的各個位置上分布均勻度的重要參數。

因此，根據公式（9）得到船舶在航道上的分布函數為：

對于浮冰的分布函數，沿航道的長度方向，參考圖1中冰山在海域3中的分布，可以發現碰撞事故越靠近海域中心越密集，反之越靠近兩邊越稀疏。這種情形一方面說明浮冰或冰山受風浪、洋流的作用，多數向海域中心集中，另一方面受大陸及島嶼對其漂流的限制，海域邊緣的浮冰數量較少。為了簡化計算，假設浮冰沿航道長度方向的概率密度分布為拋物線形式，即：

而沿航道的寬度方向，為簡便計算，設定沿航道寬度方向各位置處分布密度相等，呈線性均勻分布，即。因此，根據公式（9）得到浮冰在航道上的二維概率密度函數為：

根據以上理論，基于MATLAB軟件編制船-冰碰撞概率計算程序。在該程序中，輸入參數項為海域面積、浮冰數量、航道的長度和寬度、船長和船寬、浮冰的直徑以及浮冰在航道上的分布函數（概率密度函數），船舶在航道上的分布函數及平均值μ和標準偏差σ，程序的輸出項為船舶和浮冰在航道上的分布函數的云圖以及目標海域的船—冰碰撞幾何概率，如圖5所示。

圖5 船—冰碰撞概率計算程序界面Fig.5 Interface of collision probability calculation program between ship and ice

5 各參數對船—冰碰撞幾何概率的影響

根據數值程序計算出的碰撞幾何概率的基礎上，進一步分析與碰撞幾何概率關系密切的四個相關參數的影響，即船舶尺寸、浮冰尺寸以及船舶集中位置μ和分布均勻度σ，在揭示碰撞幾何概率與各個參數之間的關系的同時，能夠為航海者規避碰撞風險、提高船舶的安全性提供參考。

5.1 碰撞幾何概率與船舶尺寸的關系

本文中所研究的船型均為同一船型的成品油船，當浮冰尺寸（d=30 m）與平均值μ（取3 000 m）、標準偏差σ（取1 000）都不變的時候，只改變船舶的等效半徑，得到的結果如圖6所示。結果表明，碰撞概率P對于船舶尺寸的變化是比較敏感，并隨著等效半徑的增大而呈線性增長。當船舶等效半徑為49.06 m時，碰撞概率P為4.49×10-7；而當等效半徑增加近似一倍為95.10 m時，碰撞幾何概率P增長了一個數量級，變成了1.326×10-6。這表明，隨著主尺度的不斷增加，其等效半徑亦不斷增大，在其他條件均不變的前提下，船舶與浮冰接近繼而碰撞的幾何概率也在不斷增大。因此，對于大型船舶來說，在高緯度冰區海域航行一方面應加強包括冰山在內的浮冰的監測水平，如使用探測雷達和導航衛星，在接近浮冰前能夠及時改變航向，躲避碰撞危險。

5.2 碰撞幾何概率與浮冰尺寸的關系

當船舶尺寸（l=142.6 m，b=20.8 m）、平均值μ（取3 000 m）、標準偏差σ（取1 000）都不變的時候，只改變浮冰的尺寸，得到的結果如圖7所示。結果表明，當其他條件不變時，相對于船舶的等效半徑這一參數而言，碰撞幾何概率P對于浮冰尺寸的變化更為敏感，隨著浮冰直徑的不斷增大，船舶與浮冰接近繼而碰撞的可能性也越來越大。當浮冰直徑為30 m時，碰撞幾何概率P為4.49×10-7；而當浮冰的直徑增加到原來的25倍即750 m時，碰撞幾何概率P增長了兩個數量級為2.186×10-5。從圖7中可看出船—冰碰撞幾何概率P與浮冰直徑的平方近似成正比。針對這一特性，對于冰區海洋航行的船舶來說，必須重視加強對大型冰山的監測，如配備先進的探測雷達與導航裝置，以求最大程度上規避碰撞風險，提高船舶安全的航行性能。

圖6 碰撞概率幾何與船舶尺寸的關系圖Fig.6 Collision probabilities varied with ship dimensions

圖7 碰撞幾何概率與浮冰尺寸的關系圖Fig.7 Collision probabilities varied with ice floes dimensions

5.3 碰撞幾何概率與船舶分布函數的關系

（1）碰撞幾何概率P與參數μ的關系

根據（16）式可知，μ為表征船舶集中位置的重要參數，數值上體現為船舶偏離航道坐標原點距離的平均值。受風浪、礁石、冰山等各種客觀條件的制約，船舶在航道內集中趨勢的位置往往不一定在航道中心線處，而是偏離中心線一定的距離。這便是研究參數μ與碰撞概率二者關系的重要依據。

當其他條件不改變，只改變μ的值，得到的結果如圖8所示。計算結果表明，當1 000 m≤μ≤3 000 m時，船—冰碰撞幾何概率P隨著μ值的增大而迅速增大，在μ=3 000 m即船舶分布函數的對稱軸與航道中心線重合時，碰撞幾何概率P達到最大值。當μ＞3 000 m時，碰撞幾何概率P隨著μ值的增大而迅速減小。因此，船舶集中趨勢的位置在適當避開航道中心線的情況下可以有效降低碰撞幾何概率，有利于船舶航行安全。

（2）碰撞概率與σ的關系

根據（16）式可知，σ為表征船舶在航道內沿寬度方向的各個位置上分布均勻度的重要參數。σ越小，說明船舶越集中分布于航道某一區間上；反之則說明船舶沿航道寬度上分布得越均勻。

當其他條件不改變，只改變σ的值，得到的結果如圖9所示。結果表明，碰撞幾何概率隨著σ值的增大而減小。當σ較小時（從100到1 000），碰撞幾何概率變化很小；當σ較大時（從1 000到3 200），碰撞幾何概率迅速減小至5.417×10-7，僅為圖中最大值的68.2%。因此，船舶沿航道寬度方向的分布均勻度越大，越避開浮冰的最大分布區，碰撞幾何概率越能有效地減少。這對冰區船舶的安全航行具有重要意義。

圖8 碰撞幾何概率與μ的關系圖Fig.8 Collision probabilities varied withμ

圖9 碰撞幾何概率與σ的關系圖Fig.9 Collision probabilities varied with σ

6 結 語

本文基于二維隨機變量概率理論，結合復合體的概念對目標海域內典型航道的船-冰碰撞幾何概率的數學模型進行了研究。主要研究結論如下：

（1）本文旨在探索出一種適用于某海域內的船—冰碰撞幾何概率計算模型，今后在經過大量海洋觀測工作獲得更科學的船、冰分布數據的情況下，該數學模型可以適用于一般的船-冰碰撞幾何概率計算問題。

（2）船舶尺寸、浮冰尺寸以及船舶分布函數對于碰撞幾何概率具有重要影響。碰撞幾何概率隨船舶尺寸的增大而增大，近似呈線性關系；碰撞幾何概率隨著浮冰尺寸的增大而增大，與其直徑的平方成正比；碰撞幾何概率隨著參數μ的增大先不斷增大后急劇減小；碰撞幾何概率隨著參數σ的增大而減小。

[1]Liu Zhenhui.Analytical and numerical analysis of iceberg collisions with ship structures[D].Norwegian University of Science and Technology,2011.

[2]馮敬海,等.概率論與數理統計[M].大連:大連理工大學出版社,2006.

[3]馮 昊.空間碎片碰撞概率及其閾值分析和研究[D].北京:中國科學院研究生院,2008.

[4]Hill B T.Ship Collisions with Iceberg Database.Report to PERD:Trends and analysis[R].Institute for Ocean Technology,National Research Council,2005.

[5]http://baike.baidu.com/view/1456842.html[M/OL].

[6]Pedersen Temdrup P,Friis Hansen P,Nielsen L P.Collision risk and damage after collision[C].RINA International Conference on the Safety of Passenger RoRo Vessels,1996.