確定空間分布的展向Lorentz力作用下槽道湍流的壁面減阻

郭春風，范寶春

（南京理工大學 瞬態物理國家重點實驗室，南京210094）

1 引 言

運動物體因阻力作用而消耗了大量的能量，減阻是節約能源的重要方法之一。為此，人們提出了各種減阻方法和技術[1-3]。

當電極和磁條組成的電磁板被激活時，在弱電介質溶液（如海水）中，可形成電磁力（Lorentz力），它可以改變流動速度，控制邊界層流動。通過改變電極和磁條的排布方式，可產生不同方向的電磁力；通過改變電極上的通電方式，可產生振蕩、行波等多種形式的電磁力；通過電磁板的組裝可實現多種控制策略。由于電磁力控制比較容易實現且方式靈活多樣，故壁湍流的電磁控制的研究受到特別的關注[4-7]。

通常采用展向電磁力來控制壁湍流，該電磁力可以隨時間振蕩，即振蕩電磁力

式中：A是電磁力的強度，T是電磁力的振蕩周期，t為時間，△是電磁力的穿透厚度。此類Lorentz力，大小在法向呈指數衰減，并隨時間呈正弦變化。Pang[8]，Breuer[9]和梅棟杰等[10]的實驗研究表明，此類電磁力具有減阻功能，其減阻效果與電磁力的強度（即振幅）和振蕩頻率有關。Berger[11]，Du[12]和梅棟杰等[13]對該問題進行了數值模擬，同樣證實了展向振蕩電磁力的減阻功能。

電磁力也可以行波方式存在，流向行波電磁力

式中：Lx為流向特征長度，kx為流向波數。黃樂萍等[14]對此類Lorentz力的流動控制問題進行了數值模擬，結果表明，流向行波電磁力同樣可以減阻，并且存在優化參數，使壁面阻力最小。

以上電磁力皆隨著時間變化，另一類電磁力為僅空間分布的電磁力，此類電磁力則更為簡單，也更易在實驗室實現。例如，僅在流向正弦分布的電磁力

Berger[15]通過數值模擬，簡單地敘述了此類電磁力減阻的可能性，但未對其減阻過程和機理等作進一步的討論。鑒于空間分布的電磁力在實施時的方便性以及相關研究并未深入開展的現狀，本文將壁湍流的控制過程視作是由電磁力誘導的流場對壁湍流固有流場的調制過程，根據直接數值模擬的計算結果，通過討論因調制而導致的誘導流場和固有流場的變化以及雷諾（Reynolds）應力分布的變化，探討空間分布電磁力的壁面減阻機理。計算結果還表明，存在最優參數組合，其減阻效果最好。

2 數值方法

無量綱形式的不可壓縮流體的N-S方程

體積力

式中：u為速度矢量，p為壓強，ν為運動粘性系數。

利用譜方法求解上述方程，流向和展向用Fourier變換，采用周期性邊界條件，法向則用Chebyshev變換，采用無滑移壁面條件[16]。方程（5）中的時間項，采用三階精度的半隱式后差分格式；右邊的線性項和壓力項，通過影響矩陣法和Chebyshev-tau方法聯立求解，用以消除殘余散度[17]；還利用3/2規則，消除非線性項的混淆誤差[18]。計算區域為4π/3×2π/3×2（流向×展向×法向），對應的網格點為64×32×65，Re=4 000。

本文計算的終了時間為t=1 000。當t=300時，用于形成湍流的流場初始擾動的影響基本消除，此時開始電磁控制，t=500時，開始對湍流量進行統計。

3 結果和討論

對于公式（3）描述的流向呈正弦分布的展向電磁力，振幅A和波數kx是兩個重要參數，其大小將影響電磁力對壁湍流控制的效果，下面將分別進行討論。

3.1 A不變時，kx對減阻的影響

定義減阻率

其中：＜τw＞表示控制情況下壁面摩擦應力的平均值，＜τwn＞表示未控制情況下壁面摩擦應力的平均值。

先討論A=1.0不變時，kx的變化對減阻效果的影響。圖1是A=1.0時，減阻率隨kx的變化圖，由該圖可知，當A/kx≈0.3時，壁面的減阻率最大。

圖1 減阻率隨kx的變化Fig.1 Drag reduction ratio vs kx

展向電磁力作用下，流場產生展向運動，故可用展向速度分布來描述電磁力誘導的流場。而壁湍流的主要特征則表現為周期出現的用條帶和流向渦描述的擬序結構。圖2為不同波數的電磁力作用下，壁湍流的流場變化圖。圖中第一列為y+=5.4處，展向速度分布圖，用來描述誘導流場，其中深色和淺色分別表示正向和負向速度。第二列為y+=5.4處的流場的條帶分布圖，其中白色表示高速條帶（u′＞0），黑色為低速條帶（u′＜0）。第三列為近壁區的渦結構，其中圖（a）對應0＜y+＜120，圖（b）-（f）對應0＜y+＜40。第二列和第三列用來描述固有湍流流場。

圖2 誘導流場和固有流場間的相互調制Fig.2 Intermodulation of the intrinsic and induced flows

圖2（a）為湍流無電磁控制情形，此時不存在誘導流場，展向速度分布是隨機的、不規則的，而條帶和流向渦都具有壁湍流的典型特征。電磁控制后的流場變化如圖2（b）-（f）所示。第1列,對于低頻波，隨著波數kx的增加，展向速度逐漸呈現有序分布，正、負展向速度區域漸成矩形，數目與波數kx相同，kx=3時，矩形形狀最為規則，參見圖（b）-（d）。隨著波數的進一步增加，正、負速度區域之間漸趨模糊，如圖（e）-（f）所示。第2列，對于低頻波，條帶出現幅度較大的彎曲，且隨著波數的增加，條帶彎曲程度增大，條帶強度減弱，高速條帶所占比例減小，低速條帶所占比例增大，kx=3時，條帶彎曲程度最大，條帶強度最弱，高速條帶所占比例最小，低速條帶所占比例最大，如圖（b）-（d）所示。當波數進一步增加時，條帶的大幅彎曲逐漸消失，逐漸變直，其強度又逐漸增加，高速條帶所占比例增大，低速條帶所占比例減小，如圖（e）-（f）所示。第3列，隨著波數的增加，流向渦彎曲而有序排列，流向渦減少，kx=3時，流向渦最少，流向渦彎曲排列最有序，如圖（b）-（d）。當波數的進一步增加時，流向渦重新增多且無序排列，如圖（e）-（f）。

流場中雷諾（Reynolds）應力的大小可以反映湍流的強弱。根據脈動速度u和v的符號，可將其分為四個象限。第I象限（u＞0，v＞0）表示高速流體向上運動；第II象限（u＜0，v＞0）稱為上拋運動（ejection），該過程將近壁的低流體帶離壁面；第III象限（u＜0，v＜0）表示低速流體的向下運動；第IV象限（u＞0，v＜0）稱為下掃運動（sweeping），該過程將上層高速運動的流體帶向壁面。流向渦導致的上拋（ejection）和下掃（sweep）貢獻了60%－80%的Reynolds應力，成為湍流產生的主要活動。尤其是下掃（sweep），將主流體的能量帶至壁面從而使壁面阻力增加。

如圖3所示脈動速度（u，v）在壁面y+=5.4（y=0.03）處的分布，其中Reynolds應力在四個象限的分布概率分別為圖（a）13.8%、37.2%、19.1%和29.8%；圖（b）16.9%、34.3%、20.9%和27.8%；圖（c）11.7%、38.9%、27.3%和22.1%；圖（d）0.7%、49.3%、48.0%和2.0%；圖（e）8.2%、39.4%、42.0%和10.4%；圖（f）14.8%、34.5%、30.7%和19.9%。這說明，在誘導流場調制下，固有流場的Reynolds應力在四個象限的分布被重新調整了，如圖（b）-（d），隨著波數kx從1增加到3時，I和III象限活動明顯增加，IV象限活動明顯減少，II象限概率變化不大，四個象限活動強度明顯減弱。如圖（e）-（f），隨著波數kx從3進一步增加到20時，IV象限活動明顯增多，四個象限活動強度明顯加強。kx=3時，四個象限活動強度最弱，IV象限活動最少。

圖3 雷諾應力在四個象限的分布概率Fig.3 Distribution probability of quadrant-averaged Reynolds stresses

如圖4為在不同波數的電磁力作用下，雷諾應力在四個象限的分布剖面。當波數kx從1增加到3時，雷諾應力在II象限（流體上拋）和IV象限（下掃運動）強度減弱。隨后，隨著波數的增加，II象限和IV象限的強度增強，即在kx=3時，雷諾應力在II象限和IV象限強度最弱。

壁面阻力與雷諾應力在四個象限（特別是IV象限）的分布概率以及分布強度有關。由于kx=3時，雷諾應力在第IV象限的分布概率最小，雷諾應力在II象限和IV象限強度最弱。最終，還是kx=3時壁面阻力最小。

圖4 雷諾應力及其在四個象限的分布剖面Fig.4 Distribution profile of total and quadrant-averaged Reynolds stresses

3.2 kx不變時，A對減阻的影響

圖5是kx=3時，減阻率隨A的變化圖，由該圖可知，當A/kx≈0.3時，壁面的減阻率最大。

圖5 減阻率隨A的變化Fig.5 Drag reduction ratio vs A

圖6 誘導流場和固有流場間的相互調制Fig.6 Intermodulation of the intrinsic and induced flows

圖6為kx=3時在不同強度的電磁力作用下，壁湍流的流場變化圖。圖中第一列為y+=5.4處，展向速度分布圖，第二列為y+=5.4處的流場的條帶分布圖，第三列為近壁區的渦結構。由圖可見，隨著強度A的增加,展向速度分布逐漸有序，正、負展向速度區域漸成矩形，A=1.0時，矩形最為規則。然后，隨強度A的進一步增加，又由規則向不規則演變。條帶的強度由強變弱，再由弱變強，高速條帶所占比例由多變少，再由少變多，低速條帶所占比例由少變多，再由多變少，A=1.0時，條帶強度最弱，高速條帶所占比例最小，低速條帶所占比例最大。流向渦也在A=1.0時最少。

如圖7所示脈動速度（u，v）在壁面y+=5.4（y=0.03）處的分布，其中Reynolds應力在四個象限的分布概率分別為圖（a）13.8%、37.2%、19.2%和29.8%；圖（b）13.1%、37.6%、19.7%和29.4%；圖（c）4.1%、45.5%、37.7%和12.7%；圖（d）0.7%、49.3%、48.0%和2.0%；圖（e）14.5%、36.2%、26.7%和22.6%；圖（f）20.0%、31.1%、21.8%和27.0%。隨著強度A的增加,變化規律與圖2類似，A=1.0時，四個象限活動強度最弱，IV象限活動最少。

圖7 雷諾應力在四個象限的分布概率Fig.7 Distribution probability of quadrant-averaged Reynolds stresses

如圖8為kx=3時在不同強度的電磁力作用下，雷諾應力及其在四個象限的分布剖面。隨著強度A的增加，變化規律與圖2類似，在A=1.0時雷諾應力在II象限和IV象限強度最弱。

圖8 雷諾應力及其在四個象限的分布剖面Fig.8 Distribution profile of total and quadrant-averaged Reynolds stresses

由于A=1.0時，雷諾應力在第IV象限的分布概率最小，雷諾應力在II象限和IV象限強度最弱。最終，還是A=1.0時壁面阻力最小。

3.3 減阻的最優組合參數值

對于組合參數A/kx，表1為對應于不同值的平均壁面減阻率。結果表明，當滿足如下關系式時可獲得40%左右的最佳減阻效果：

表1 不同組合參數值的壁面減阻率Tab.1 Wall drag reduction rate versus A and kx

4 結 論

本文利用Fourier-Chebyshev譜方法，研究了流向呈正弦分布的展向電磁力作用下槽道湍流的壁面減阻。結果表明，此類Lorentz力可以有效控制壁湍流，并在控制參數A/kx≈0.3時，減阻效果最佳。

展向電磁力對湍流的控制過程，實質上是一種由電磁力誘導的流場對壁湍流的調制過程。當電磁力的組合參數為優化值時，在誘導流場的調制下，壁湍流的流向渦結構減少和條帶強度變弱，高速條帶所占比例減小，低速條帶所占比例增大，Reynolds應力變小，流場被部分層流化，這導致壁面阻力的下降。

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