基于夾角余弦的電離層TEC混沌預(yù)測

孫佳龍，郭金運(yùn)，郭淑艷

(1.淮海工學(xué)院測繪工程學(xué)院，江蘇連云港222001;2.山東科技大學(xué)測繪科學(xué)與工程學(xué)院，山東青島266510;3.海島(礁)測繪技術(shù)國家測繪局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島266510)

一、引 言

電離層電子濃度總含量(total electron content，TEC)是描述電離層形態(tài)和結(jié)構(gòu)的重要參數(shù)，其時(shí)空變化會對各種無線電通信系統(tǒng)產(chǎn)生不可忽視的影響。為提高測繪、航空航天和國防等領(lǐng)域開展的遠(yuǎn)程空間探測、定位和通信的工作性能，需要提供較高精度的電離層TEC預(yù)報(bào)結(jié)果［1-2］。

對于數(shù)小時(shí)至數(shù)天的短期預(yù)報(bào)，通常采用線性時(shí)間序列預(yù)測模型(如ARMA或AR模型)進(jìn)行預(yù)報(bào)［3-5］，而對于電離層TEC的非線性預(yù)報(bào)模型特別是混沌模型的研究則較為少見［6］。加權(quán)一階局域法是較為有效且精度較高的一種混沌預(yù)測方法，而加權(quán)一階局域法通常采用距離(歐氏距離)基準(zhǔn)相點(diǎn)最近的幾個(gè)相點(diǎn)作為擬合參數(shù)的參考點(diǎn)，以實(shí)現(xiàn)短期預(yù)測［7-8］。參考鄰域與基準(zhǔn)相點(diǎn)的相關(guān)性越高，預(yù)測精度越有保證。相關(guān)性高的相點(diǎn)在時(shí)間軸上具有相似的形狀，當(dāng)嵌入維數(shù)較小時(shí)，通過歐氏距離選擇的參考鄰域可以反映這種相關(guān)性;但當(dāng)嵌入維數(shù)逐漸增大時(shí)，其局限性則開始逐步顯現(xiàn)［9］。而夾角余弦是利用向量空間中兩個(gè)向量夾角的余弦值作為衡量兩個(gè)向量間差異的大小，夾角余弦值越大，夾角越小，相關(guān)性越高。因此，本文提出采用夾角余弦作為反映向量相關(guān)性的一種指標(biāo)，對相似相點(diǎn)進(jìn)行有效選擇［10］。

本文采用IGS(International GNSS Service)提供的全球經(jīng)度方向間隔5°、緯度方向間隔2.5°格網(wǎng)，時(shí)間間隔為2 h的全球電離層TEC時(shí)間序列，利用混沌預(yù)測理論對該時(shí)間序列的混沌特征進(jìn)行分析，并利用基于夾角余弦的加權(quán)一階局域混沌預(yù)測模型對電離層TEC進(jìn)行準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)。

二、混沌序列的相空間重構(gòu)理論與預(yù)測

Takens定理認(rèn)為系統(tǒng)中任一分量的演化都是由與之相互作用著的其他分量所決定的。因此，這些分量的信息隱含在任一分量的發(fā)展過程中，重構(gòu)系統(tǒng)相空間只需考察一個(gè)分量，通過某些固定的延時(shí)點(diǎn)上的觀測值找到相應(yīng)的m維分量，就可以重構(gòu)出一個(gè)等價(jià)的相空間［11］。如何選擇適當(dāng)?shù)臅r(shí)間延遲和嵌入維數(shù)是相空間重構(gòu)的主要內(nèi)容。在利用重構(gòu)的相空間進(jìn)行預(yù)測時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)不僅可以作為判定系統(tǒng)是否具有混沌特性的依據(jù)，而且其倒數(shù)還可作為系統(tǒng)的可預(yù)報(bào)尺度，為準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)提供尺度上的依據(jù)［11］。

1.時(shí)間延遲τ和嵌入維數(shù)m

時(shí)間延遲τ是計(jì)算其他參數(shù)的基礎(chǔ)，它表示相空間中相矢量的各分量在時(shí)間序列中時(shí)間間隔的大小［7］。計(jì)算時(shí)間延遲的方法主要有自相關(guān)法、平均位移法、復(fù)自相關(guān)法、去偏自相關(guān)法、互信息法和C-C法等［8］。由于去偏自相關(guān)法具有很強(qiáng)的理論依據(jù)，數(shù)學(xué)表達(dá)式簡潔，復(fù)雜程度適中，且容易計(jì)算，因此本文采用去偏自相關(guān)法計(jì)算時(shí)間延遲。

去偏自相關(guān)法的計(jì)算公式為

式中，N為樣本個(gè)數(shù);xi為第i個(gè)樣本;為時(shí)間序列的平均值。

隨著τ值的不斷增加，Rxx不斷減小，當(dāng)Rxx減小到初始值的1－時(shí)，此時(shí)的τ值就是重構(gòu)相空間的時(shí)間延遲。計(jì)算嵌入維數(shù)m的方法主要有偽最近臨域法、真實(shí)矢量法、Cao方法及飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)(G-P)法等［7］。其中，G-P法是最常用的計(jì)算嵌入維數(shù)的方法，因此本文采用G-P算法計(jì)算嵌入維數(shù)［9］。

2.最大Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)是定量描述混沌運(yùn)動對初值條件的敏感性的吸引子特征量［11］。若系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為正，則系統(tǒng)是混沌的，其值越大，混沌特性越強(qiáng)，對初始值的敏感性也越強(qiáng);反之則敏感性越弱。最大Lyapunov指數(shù)的倒數(shù)可作為系統(tǒng)的可預(yù)報(bào)尺度，即只有在該預(yù)報(bào)尺度范圍內(nèi)，才能對系統(tǒng)作高精度的預(yù)測。

Lyapunov指數(shù)可定義為

3.混沌預(yù)測方法

加權(quán)一階局域法是以相空間軌跡的最后一點(diǎn)作為中心點(diǎn)，把離中心點(diǎn)最近的若干軌跡點(diǎn)作為相關(guān)點(diǎn)，以X(t+1)=a+b X(t)來擬合中心點(diǎn)周圍的小鄰域的。設(shè)中心點(diǎn)周圍的鄰域包括k個(gè)點(diǎn)(t1，t2，…，tk)，則X(t+1)=a+b X(t)可以表示為

用最小二乘法求出a和b，再通過X(n+1)=a+b X(n)得到相空間中軌跡的趨勢，從而可以從X(n+1)中分離出時(shí)間序列的預(yù)測值。對于中心點(diǎn)周圍鄰域內(nèi)相關(guān)點(diǎn)的個(gè)數(shù)k，如果k值過大，則會影響預(yù)測的效果，通常選擇k≥m+1即可，m為嵌入維數(shù)。在選擇相關(guān)點(diǎn)時(shí)，本文采用夾角余弦作為兩空間向量相似度的指標(biāo)，夾角余弦是用向量空間中兩個(gè)向量夾角的余弦值作為衡量兩個(gè)向量間差異的大小，其表達(dá)式為［9］

式中，m為嵌入維數(shù);Xi和Xj為基準(zhǔn)相點(diǎn)鄰域內(nèi)任意兩個(gè)相點(diǎn)。

三、電離層TEC的混沌特征分析與預(yù)測

本文選取東經(jīng)120°，北緯45°上空的2008年年積日101～150 d時(shí)間段內(nèi)共600個(gè)電離層格網(wǎng)TEC數(shù)據(jù)為時(shí)間序列樣本，時(shí)間間隔為2 h。利用去偏自相關(guān)法計(jì)算時(shí)間延遲τ=2，利用G-P法計(jì)算的關(guān)聯(lián)積分和關(guān)聯(lián)空間維數(shù)如圖1所示。從圖1(a)中可以看出，當(dāng)m＞5以后，曲線的左端有一段近似直線的線段，其斜率為2.2632，且基本不隨嵌入維數(shù)m的變化。從圖1(b)也可以看出，在m≥5的區(qū)間內(nèi)，關(guān)聯(lián)維數(shù)d在一定誤差范圍內(nèi)保持不變。理論上，嵌入維數(shù)m應(yīng)在d～2d+1之間，因此本文取嵌入維數(shù)m=5。

圖1 電離層TEC時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)積分和關(guān)聯(lián)空間維數(shù)

采用Wolf方法［8］計(jì)算時(shí)間序列的最大 Lyapunov指數(shù) λ=0.083 3，由此可得最大預(yù)報(bào)尺度≈12，即有效預(yù)報(bào)尺度為12個(gè)相空間點(diǎn)，由于該

時(shí)間序列的時(shí)間間隔s即它的平均周期為14，換成時(shí)間序列中的點(diǎn)則是168個(gè)點(diǎn)(12s=12×14=168)。將TEC數(shù)據(jù)分為前后兩部分，前部分用來分析，在對TEC數(shù)據(jù)前半部分進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，對后半部分進(jìn)行預(yù)測，并將預(yù)測結(jié)果和實(shí)測值進(jìn)行比較。由于時(shí)間序列的嵌入維數(shù)為5，因此利用加權(quán)一階局域法預(yù)測時(shí)，基準(zhǔn)相點(diǎn)周圍鄰域內(nèi)相關(guān)點(diǎn)的個(gè)數(shù)k=6，由歐氏距離和夾角余弦得到的相似相點(diǎn)與基準(zhǔn)相點(diǎn)如圖2所示。

圖2 基于歐氏距離和夾角余弦得到的相似相點(diǎn)

圖2中，實(shí)線為基準(zhǔn)相點(diǎn);虛線為相似相點(diǎn)。從圖2中可以看出，基于兩種方法得到的相似相點(diǎn)有一部分是重合的，說明利用歐氏距離和夾角余弦在某種情況下選擇的目標(biāo)具有一致性。由于存在不同的相似相點(diǎn)，因此導(dǎo)致這種方法在最終搜索到的所有相似相點(diǎn)與基準(zhǔn)相點(diǎn)的運(yùn)動趨勢上有所差別。而基于夾角余弦(如圖2(b)所示)得到的相似相點(diǎn)與基準(zhǔn)相點(diǎn)在相空間上的運(yùn)動趨勢比基于歐氏距離(如圖2(a)所示)得到的相似相點(diǎn)更為相似，相關(guān)性更高。為了更細(xì)致地比較利用這兩種方法搜索到的相關(guān)相點(diǎn)的相似性情況，本文分別將基于歐氏距離(Euclidean distance，ED)和夾角余弦(cosine，C)得到的相關(guān)點(diǎn)的各分向量與基準(zhǔn)相點(diǎn)的分向量求取差值，并比較差值的最大值、最小值、平均值、STD和RMS，結(jié)果見表1。

從表1中可以看出，6個(gè)相似相點(diǎn)與基準(zhǔn)相點(diǎn)的差值中，除第4分向量，夾角余弦(C)得到差值的最大值高于歐氏距離外，其余最大值結(jié)果均相差無幾，說明兩種方法得到的結(jié)果在整體上的差異不大;而兩種方法得到的差值的STD中，夾角余弦除在第4分向量略大于歐氏距離外，在其他4個(gè)向量中，均小于歐氏距離，由此說明，夾角余弦得到的相似相點(diǎn)在整體離散程度上優(yōu)于歐氏距離;而在衡量相似相點(diǎn)與基準(zhǔn)相點(diǎn)之間偏差的指標(biāo)RMS中，夾角余弦除在第4分向量略不及歐氏距離外，在其余4個(gè)分向量中，均優(yōu)于歐氏距離方法，由此可見，夾角余弦方法得到的相似相點(diǎn)在整體上比歐氏距離方法更相似于基準(zhǔn)相點(diǎn)。

為了比較和驗(yàn)證以上兩種方法選擇的相似相點(diǎn)所取得的預(yù)測效果，本文對時(shí)間序列最后168個(gè)TEC數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如圖3所示。

從圖3中可以看出，兩種方法得到的預(yù)測值與TEC實(shí)測值的變化趨勢基本吻合，而在時(shí)間序列的峰值和谷底，由夾角余弦得到的預(yù)測值比由歐氏距離得到的預(yù)測值更接近于實(shí)測值。由兩種方法得到的預(yù)測值與實(shí)測值之間差值的各種指標(biāo)見表2。

圖3 基于歐氏距離和夾角余弦得到的TEC預(yù)測結(jié)果

表2 夾角余弦和歐氏距離得到的預(yù)測值與實(shí)測值的比較結(jié)果

從表2中可以看出，使用夾角余弦得到的預(yù)測值與實(shí)測值之間的最大差值比歐氏距離小，說明在時(shí)間序列的峰值和谷底，該方法得到的預(yù)測值更接近于實(shí)測值。而該方法得到的差值的STD和RMS都小于歐氏距離，說明無論在差值本身離散程度上還是與實(shí)測值的偏離程度上，夾角余弦都優(yōu)于歐氏距離，因此精度更高。由此可見，當(dāng)嵌入維數(shù)較高時(shí)，夾角余弦比歐氏距離能更準(zhǔn)確地反映相空間向量的相似性，從而尋找到與基準(zhǔn)相點(diǎn)更為相似的相關(guān)相點(diǎn)，因此可以提高預(yù)測精度。

四、結(jié)束語

本文根據(jù)混沌理論，以東經(jīng)120°，北緯45°上空的2008年年積日101～150 d時(shí)間段內(nèi)共600個(gè)電離層格網(wǎng)TEC數(shù)據(jù)作為研究樣本，分析了該點(diǎn)上空電離層TEC參數(shù)的混沌特性，發(fā)現(xiàn)其關(guān)聯(lián)維數(shù)為2.263 2，嵌入維數(shù) m=5，最大 Lyapunov 指數(shù)為0.083 3，TEC時(shí)間序列具有混沌的特征，存在混沌現(xiàn)象。因此，可以使用混沌理論對TEC時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測。

采用加權(quán)一階局域法對TEC時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測時(shí)，分別采用歐氏距離和夾角余弦作為衡量指標(biāo)選擇與基準(zhǔn)相點(diǎn)相似的相關(guān)相點(diǎn)。結(jié)果表明，夾角余弦除在第4分向量略不及歐氏距離方法外，在其余4個(gè)分向量中，均優(yōu)于歐氏距離方法。

利用兩種方法選擇的相似相點(diǎn)進(jìn)行一階局域預(yù)測時(shí)，夾角余弦得到的STD和RMS均小于歐氏距離得到的STD和RMS，說明夾角余弦可以準(zhǔn)確地選擇與基準(zhǔn)點(diǎn)相關(guān)性更強(qiáng)的相似相點(diǎn)，從而能提高預(yù)測精度。因此，預(yù)測精度更高。

［1］LIU Zhizhao，GAO Yang.Ionospheric TEC Predictions over a Local Area GPS Reference Network［J］.GPS Solutions，2004，8(1)：23-29.

［2］李志剛，程宗頤，馮初剛，等.電離層預(yù)報(bào)模型研究［J］.地球物理學(xué)報(bào)，2007，50(2)：327-337.

［3］趙傳華，黨亞民，秘金鐘.組合方法在電離層TEC短期預(yù)報(bào)中的應(yīng)用［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2012，32(3)：76-79.

［4］李秀梅，郭達(dá)志.電離層TEC建模與預(yù)測［J］.測繪通報(bào)，2010(4)：1-4.

［5］陳鵬，姚宜斌，吳寒.利用時(shí)間序列分析預(yù)報(bào)電離層TEC［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2011，36(3)：267-270.

［6］柯璇，萬衛(wèi)星，寧百齊.120°E磁赤道上空電離層電子濃度總含量的混沌特性分析及非線性預(yù)測初探［J］.地球物理學(xué)報(bào)，2006，49(5)：1243-1249.

［7］GRASBERGER P，PROCACCIA I.Measuring the Strangeness of Strange Attractors［J］.Physica D，1983，9(1-2)：189-208.

［8］WOLF A，SWIFT JB，WWINNEY H L，et al.Determing Lyapunov Exponents from a Time Series［J］.Physica D，1985，16：285-317.

［9］KUMAR K S，KUMAR C V A，GEORGE B，et al.A-nalysis of the Fluctuations of the Total Ecectron Content(TEC)Measured at Goose Bay Using Tools of Nonlinear Methods［J］.Journal of Geophysical Research，2004，109(A2)：308-325

［10］張東和，蕭佐.利用GPS計(jì)算TEC的方法及其對電離層擾動的觀測［J］.地球物理學(xué)報(bào)，2000，43(4)：451-458.

［11］孟慶芳，彭玉華.混沌時(shí)間序列改進(jìn)的加權(quán)一階局域預(yù)測法［J］.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2007，43(35)：61-64.