時滯網絡化控制系統的魯棒H∞穩定性分析

孫曉嶺，楊麗蕓，鮑冬冬，仇計清

(河北科技大學理學院，河北石家莊 050018)

時滯網絡化控制系統的魯棒H∞穩定性分析

孫曉嶺，楊麗蕓，鮑冬冬，仇計清

(河北科技大學理學院，河北石家莊 050018)

考慮控制器和執行器事件驅動、傳感器時鐘驅動、恒定周期采樣和不大于一個采樣周期的不確定時延, 將有控制約束的狀態反饋網絡控制系統建模為含有不確定性的離散時變系統。利用Lyapunov理論和線性矩陣不等式方法，導出系統魯棒穩定的充要條件。利用 Matlab LMI工具箱求解該條件,可在判定該類系統穩定性的同時，獲得系統魯棒控制律,仿真算例說明了分析方法和穩定判據的有效性。

網絡控制系統；魯棒穩定性；線性矩陣不等式；不確定時延；控制約束

網絡控制系統(簡稱NCS)由控制器與傳感器通過串行通信線路形成閉環。在控制系統中，除了控制器、執行器以及被控對象的結構和特性外，網絡控制系統之間最大的區別在于系統的網絡類型、結構以及所提供服務類型的不同[1-5]。

NCS在通過共享網絡資源給控制系統帶來各種好處的同時，也給控制系統帶來了新的挑戰。將通訊網絡引入到控制系統中，使系統的運行機制的分析與設計比傳統的點對點控制系統更加復雜[6-7]。主要問題包括:通信媒體類型及通信協議、節點驅動方式、網絡誘導時延、單包傳輸和多報傳輸、數據包丟失、網絡調度等[8-10]。

由于網絡控制系統存在上述不確定因素，采用魯棒控制方法對其進行控制有顯著意義[11-14]，故本文主要研究的是帶有時延的網絡控制系統的魯棒控制器設計。

1 主要研究內容

1.1網絡控制系統的時延分析

圖1 網絡控制時延示意圖Fig.1 Time delay control diagram

網絡控制系統中，在系統建模時，一般將時延考慮成以下3種形式:常數時延、有界時延和隨機時延。

網絡誘導時延包括傳感器到控制器之間的時延、控制器的計算時延、控制器到執行器的時延等。其構成主要有以下4個因素:數據包排隊等待時延，信息產生時延，傳輸時延，數據處理、計算時延。

以上4種時延構成了網絡誘導時延的主要部分。

在受到外部擾動時，系統的時延情況如圖1所示。

1.2網絡控制系統的數學建模

控制系統部件有時間驅動和事件驅動2種工作模式。對于網絡控制系統，傳感器的工作方式采用時間驅動，而控制器節點和執行器節點采用何種工作模式將根據情況而定。

(1)

(2)

對系統做如下假設：

1)傳感器節點采用時間驅動，以固定的周期T(T>0)對被控對象進行采樣，并將數據(被控對象的狀態量和輸出量)存放在單個數據包中發送到網絡；

2)控制器節點采用事件驅動，采樣數據到達時刻，計算控制量并輸出；

3)執行器節點也采用事件驅動，控制量到達時刻，執行相應的動作；

5)所有外部擾動都是能量有限的，即滿足w(k)∈L2[0,∞)。

圖2 H∞控制問題的標準框圖Fig.2 Standard block diagram of H∞ control

則由圖2確定的系統描述為

(3)

式中：x(t)為被控對象狀態；u(t)為對象輸入；y(t) 為對象輸出；A,B是常數矩陣。為簡單起見，記x(k)=x(kT)，其中T是系統的采樣周期。

系統的輸入為

(4)

將被控對象進行離散化可得：

(5)

因為式(5)中存在2個時變矩陣，為便于以后的控制器設計需對式(5)進行化簡。化簡結果為

(6)

其中：

(7)

Λ為A的特征向量矩陣。

另外，

(8)

其中：

(9)

1.3網絡控制系統的魯棒控制器設計

標準H∞控制問題的基本框圖如圖2所示，其中G和K分別為廣義控制對象和控制器，前者是系統中給定的部分，后者是需要進行設計的。在這里，考慮有限維的線性時不變系統和控制器，外部輸入w、控制輸入u、被控制的輸出z和被測量的輸出y均是向量信號。

根據模型推導，網絡控制系統的H∞控制采用的控制框圖如圖3所示。

圖3 網絡控制系統H∞控制框圖Fig.3 Control of H∞ in net control system

基于圖3所示的控制框圖，本文采用的控制方式是狀態反饋控制：u(k)=Kx(k)。

引入狀態反饋后相應的系統發生變化，對給定的正常數γ>0，網絡控制系統在狀態反饋控制器u(k)=Kx(k)的作用下，使得：

1)閉環控制系統在w(k)=0時魯棒漸近穩定；

2)在零初始條件下，外部擾動w(k)和被調輸出z(k)滿足H∞范數約束條件:

‖z(k)‖2≤γ‖w(k)‖2，

則稱系統是具有穩定H∞范數界γ魯棒可靠穩定的，稱閉環控制系統是穩定魯棒可靠控制系統，稱控制器為系統的γ-次優H∞控制器。

可以證明對給定的常數γ>0，如果存在一個正標量ε>0,矩陣W，以及對稱正定矩陣X,Y，使得以下線性矩陣不等式：

(10)

成立，則狀態反饋控制器u(k)=Kx(k)，K=wX-1是系統的γ-次優H∞保性能控制器。

針對閉環網絡控制系統和性能指標，魯棒控制器的設計問題可轉化成下面的優化問題：

minα，其中X>0,T>0,ε1>0,ε2>0,

如果其有解，那么上面得到的控制器是系統的次優保性能控制器，其保性能指標為J*=α。 下面給出仿真算例。

設考慮下面的被控對象：

(11)

設采樣周期為T=10 ms，α1=0,α2=0，則系統的離散化模型為

(12)

假設系統的初始狀態為

(13)

將性能指標中的加權矩陣分別取為

(14)

圖4 系統的狀態反應曲線圖Fig.4 Response curve of the system

取γ=3.18。利用MATLAB的LMI工具箱解得的一個系統最優解為

W=[-0.061 9 -0.003 3],α=13.019 3。

因此，狀態反饋控制器的增益為

K=WX-1=[-0.502 8 -0.032 0],

可保證的性能指標為

J*=α=13.013 9,

并可作出系統的狀態相應曲線，如圖4所示。

由圖4可見，系統是穩定的。

2 結 語

由于在網絡化控制系統中存在網絡誘導時延、數據丟失等現象，并且針對這些特點，所面對的問題進行詳細分析，鑒于此，本研究采用以時間驅動為工作方式，構建PROFIBO與OP總線建立其數據模型。由于時延帶來的建模問題并建立。進而根據所建立的數學模型設計出了γ-次優H∞保性能控制器。最后結合一個典型特例給出了網絡控制系統魯棒控制器的具體設計方法和仿真結果。從仿真結果來看，達到了系統的魯棒性要求和性能要求，同時驗證了所提方法的可行性。

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Analysis of robustH∞stability for time delay network control system

SUN Xiaoling， YANG Liyun， BAO Dongdong， QIU Jiqing

(School of Science，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang Hebei 050018，China)

This paper considers the event driven of controller and actuator, clock-driven of sensors, constant sampling period and less than one sampling period of uncertain time delay, and changes state feedback network control system with state constrained to uncertain discrete time varying system. It uses Lyapunov theory and linear matrix inequality method to obtain the necessary and sufficient conditions of robust stability. By using the Matlab LMI toolbox to solve the condition, the system stability can be determined, and the system robust control law can also be obtained. Simulation example proves the effect of the analysis method and stability criterion.

network control system; robust stability; linear matrix inequality; uncertain delay; control constraints

1008-1542(2013)04-0297-05

10.7535/hbkd.2013yx04007

O231MSC(2010)主題分類93D05

A

2013-02-27；

2013-03-26；責任編輯：張 軍

孫曉嶺(1986-)，男，河北邯鄲人，碩士，主要從事復雜系統中優化控制方面的研究。

E-mail:779821086@qq.com