基于退化軌跡未知的多退化量可靠度預測方法

朱天文，王宏力，陳 堅，張立波

(第二炮兵工程大學304室，陜西西安710025)

0 引言

對于高可靠度產品，采用傳統的方法很難獲得大量的失效數據，從而使基于失效數據對產品進行可靠度評估變得非常困難。由于大部分產品的失效機理最終可以追溯到產品潛在的性能退化過程，從某種意義上講可以認為性能退化最終導致了產品失效(或故障)的產生。因此，可以使用性能退化數據分析代替傳統的失效數據分析來進行產品的可靠度評估［1］。近十幾年來，國內外很多的專家都對基于退化數據的產品可靠度評估方法進行了研究［2～5］，這些基于退化失效建模的理論主要針對只有單性能退化量的情形。事實上，大多數產品具有多個性能退化量，其中任何一個特征量的退化都會對產品產生很大的影響，甚至引起產品的失效。

目前，基于多性能退化量的可靠度評估方法研究不多，文獻［6］分析了具有多性能退化特征參數與產品失效之間的相關性，并運用運籌學函數的方法，建立了概率表達式，但沒有考慮多個退化量間的相關性。文獻［7］分析了退化量之間的相關性，給出了基于多性能退化分析的一般模型，并用一個仿真實例證明了忽視退化量之間的相關性會低估產品可靠度。文獻［8］先用基于單退化量軌跡的方法對求出各個退化量隨時間變化的函數，得到產品各個退化量在需要時刻的值，再用多性能退化量分析方法［7］計算這些時刻的可靠度，并對某航空液壓泵的性能退化數據進行了分析。這種方法對退化軌跡相對簡單的產品效果較好，而對于大部分的產品，由于退化的軌跡未知，所以，運用此種方法時需要對退化軌跡進行假設，可能存在一定的誤差，影響可靠度預測的效果。

本文針對大部分產品性能退化規律復雜，退化軌跡未知的情況，在分析多性能退化一般模型的建模方法基礎上，利用多性能退化量分析方法［7］建立了產品在各個檢驗時刻的可靠度評估模型，并利用三參數威布爾分布方法建立了多退化量產品的可靠度預測模型，并對某滑片泵的試驗數據進行可靠度預測，驗證了該模型的有效性。

1 多性能退化數據評估模型

假設退化試驗的容量為 p，在t1，t2，…，tm時刻對多退化特征隨機樣本進行檢測，并利用檢測到的數據來預測產品的可靠度。為了便于分析，還需如下假設:1)試驗中，每個樣本都是隨機選擇的;2)所有樣本的各個性能退化特征量的測量時刻和測量次數都是相同的;3)多個退化特征量之間可以是獨立的，也可以是相關的;4)各退化特征量都是單調遞減的;5)各退化特征量在檢驗時刻t服從某種分布族。

利用檢測數據對產品的可靠度進行分析時，首先應判斷多個退化特征量間是否相關。如果它們之間相互獨立，可直接利用類似串聯系統的分析方法解決;如果它們是相關的，可通過測量數據估計它們的聯合分布概率密度函數，然后，估計出產品的可靠度。

設產品有n個退化特征量，在t1，t2，…，tm時刻對p個樣本進行檢測，相互獨立時，產品在t時刻的可靠度為

當n個退化特征量相關時，產品的可靠度為

式(1)和式(2)中，f(xi(t))表示退化量xi(t)在t時刻的概率密度函數，Di為第i個特征量的失效閾值，i=1，2，…，n，f(x1(t)，x2(t)，…，xn(t))表示 n個退化特征量在 t時刻的聯合概率密度函數。

2 三參數威布爾分布及其參數估計

由于威布爾分布具有隨著形狀參數的變化反映不同失效規律的特性，對于大部分產品在退化軌跡未知的情況下，可以用威布爾分布來描述壽命變化的規律。

威布爾分布的可靠度函數為

其中，m為形狀參數，η為尺度參數，γ為位置參數。

為了方便對上述壽命分布中的參數進行估計，對式(3)方程兩邊取2次自然對數，并采用如下變換:令z=ln(t-γ)，μ=lnη，σ=1/m，此時，z=μ+σln［-ln(R(t))］。

當γ已知時，可用最小二乘法求μ和σ的估計值，進而可以算出m和η，代入式(3)可以求出任意時刻的可靠度估計值 ^R(t)。

當只知道γ的取值范圍時，在很小的間隔內，分別對γ不同取值求出 ^R(t)，用 ^R(t)代替R(t)，并令y(t)=ln(tγ)，x(t)=ln［-ln^R(t)］，可得到下面的線性模型

其中，ε(t)為零均值的白噪聲誤差。令

依上式的Q值最小為標準，搜索得到參數m，η，γ的估計值。

3 退化軌跡未知的可靠度預測方法與模型

為了在產品退化的軌跡未知情況下，通過分析產品的檢測數據得到可靠度預測模型，利用威布爾分布具有隨著形狀參數的變化反映不同失效規律的特性，本文在運用多性能退化量分析方法建立了產品在各檢驗時刻的可靠度評估模型的基礎上，采用三參數威布爾建立可靠度預測模型。具體步驟包括檢驗退化量之間的相關性、評估各個檢驗時刻的可靠度、建立可靠度預測模型。

3.1 檢驗退化量之間的相關性

使用下面的協方差矩陣來判斷t時刻各個退化特征量間的相關性

其中，Var(xi(t))表示第i個退化量的方差，Cov(xi(t)，xj(t))，表示第i個退化量xi(t)和第j個退化量xj(t)的協方差，可用下式計算

式中 μxi(t)為 t時刻 xi(t)的均值，i=j=1，2，…，n。

若Cov(xi(t)，xj(t))=0，說明第i個退化量和第j個退化量獨立。

若Cov(xi(t)，xj(t))≠0，說明第i個退化量和第j個退化量相關。

3.2 評估各個檢驗時刻的可靠度

若性能特征量之間獨立，分別針對每個性能參數，將t時刻的p個樣本的性能退化量進行分布假設檢驗，選擇最合適的分布，估計出分布參數，按照式(1)計算各個時刻可靠度。

若性能特征量之間相關，估計出各個時刻的聯合分布密度函數，一般可假定服從多元正態分布。若不服從多元正態分布，可用Box-Cox變換，使得變換后的多元退化數據服從多元正態分布。多元正態分布的聯合分布概率密度可用下式計算

式中 x(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xn(t)］是退化特征量的列向量，|∑(t)|是協方差矩陣的行列式，μ(t)=［μx1(t)，μx2(t)，…，μxn(t)］T是退化量的均值向量。然后按照式(2)計算各個時刻的可靠度R(tk)(k=1，2，…，m)。

3.3 建立可靠度預測模型

根據求出的各個時刻的可靠度R(tk)，使用第2節中三參數威布爾分布方法得到可靠度的分布函數，完成可靠度預測。

4 實例分析

以某加油車用滑片泵［9］為樣本進行性能測試，每隔一段時間記錄一次泵的轉速和流量數據，試驗數據如表1所示，樣本量為4，發動機的轉速保持不變。泵無故障判斷的標準是轉速不低于750 r/min，流量不低于500 L/min。

表1 轉速與流量數據表Tab 1 Data sheet of rotation rate and flow

現根據本文的方法進行可靠度分析，求出可靠度分布函數。

由式(6)和式(7)得各時刻協方差矩陣和均值向量如表2所示。

表2 各個時刻的協方差矩陣和均值(轉速:r/min;流量:L/min)Tab 2 Covariance matrix and means in different time

從表2中的數據可以看出:2個退化量在各個檢驗時刻是相關的，其相關性隨時間的延長逐漸增強，運用退化量相關時的算法，根據式(8)和式(2)求出產品在各個檢驗時刻的可靠度，見表3。

表3 各個檢驗時刻的可靠度Tab 3 Reliability in different test time

從表3的各個檢驗點的可靠度值來看，直到1 000 h，產品的可靠度仍達到0.99999。因此，可以認為產品在1000 h內不會發生失效，所以，γ的取值范圍應該為:γ∈［1 000，1200］，利用式(5)搜索得到γ=1090時，Q值最小，此時，m=2.0080，η =727.2483。

于是，由式(3)得產品可靠度預測的模型為

利用文獻［8］中退化軌跡擬合法處理本實例得到2個退化量的退化軌跡如圖1和圖2所示;取t=500，1 000，1400，1600，1800五個檢測點，用文獻［8］方法得到它們的協方差陣、均值和可靠度，如表4所示。

圖1 轉速退化軌跡Fig 1 Degradation paths of rotation rate

圖2 流量退化軌跡Fig 2 Degradation paths of flow

表4 文獻［8］方法得到的各個時刻的可靠度Tab 4 Reliability in different test time based on method of the 8th reference

用本文求出的模型式(9)得到上述5個時刻的可靠度為表5所示。

表5 新模型預測的各個時刻的可靠度Tab 5 Predicted reliability in different test time based on the new model

從對比結果可以看出:用本文方法得到的可靠度預測模型在所取的5個檢驗時刻的誤差較小，能更好地預測產品各個時刻的可靠度，避免了模型假設時可能存在的誤差，具有良好的適應性。

5 結束語

利用威布爾分布具有隨著形狀參數的變化反映了不同失效規律的特性，建立了退化軌跡未知的具有多性能退化量的產品可靠性預測的模型，并通過實例對模型預測的能力進行了驗證。結果表明:本文建立的模型不依賴于退化軌跡，具有良好的適應性。

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