基于非線性規(guī)劃模型的分布式聲定位算法研究

葉 永，陳建峰，張 竹，冷 欣

(西北工業(yè)大學航海學院，陜西西安710072)

0 引言

隨著無線傳感器網絡技術的興起，聲源定位技術［1，2］與無線傳感器網絡技術［3］相結合，產生了聲源分布式定位系統(tǒng)。目前，測向交叉定位法在聲源分布式定位系統(tǒng)中有廣泛的應用，如低空聲目標定位［4］、水下監(jiān)視［5］、機器人聽覺系統(tǒng)以及智能雷場［6］等。

測向交叉定位法需要每個傳感器節(jié)點獲得目標的方位信息［7］和傳感器陣列節(jié)點布署位置信息，經過三角計算，就可以得出目標的位置。該定位方法計算量小，實時性強，易于工程實現。當采用測向交叉定位法進行節(jié)點信息融合時，為使估計誤差盡可能小，人們提出了最大似然估計法［8］，但其計算復雜，運算量大，在實際中難以得到應用。而最小二乘估計算法［9］則通過數學上的近似，減少了非線性運算量，當區(qū)域內可用節(jié)點數目較多時，也能有效的保證定位精度，因此，應用比較廣泛。

當使用最小二乘估計算法時，會出現距離聲源越遠的節(jié)點對定位精度影響越大的現象，這與實際應用相矛盾。如果優(yōu)先選取距目標聲源較近的節(jié)點進行運算以提高定位精度，又勢必會造成未參與運算的節(jié)點定向信息的浪費。為了解決這些矛盾，本文嘗試利用非線性規(guī)劃理論建立測向交叉定位法的非線性規(guī)劃模型，通過與最小二乘估計算法比較，分析其定位精度，并給出實際條件下的算法優(yōu)選建議。

1 數學模型與求解方法

1.1 測向交叉定位法

分布式麥克風陣列的測向交叉定位模型如圖1所示，探測區(qū)域內有若干個節(jié)點 N1，N2，…Nn。節(jié)點 Nk，k∈(1，n)獲得的目標方向角為α^k，理想情況下，各個節(jié)點同一時刻對同一聲源目標的估計結果連線的交點即為目標的位置。

實際應用時，由于測量誤差、系統(tǒng)誤差的影響，各節(jié)點估計出的方向角連線不會交匯于一點，可能是一塊區(qū)域，這就需要選取適當的算法對聲源目標位置進行融合估計。

圖1 測向交叉定位法基本模型Fig 1 Basic model of direction finding cross localization

1.2 最小二乘模型

最小二乘估計是一種數學優(yōu)化技術，它通過使誤差的平方和最小來尋找數據的最佳函數匹配。在解決分布式聲定位問題時，出現了多種最小二乘模型［10～13］，現在介紹一種應用較為廣泛的模型——改進的偽線性最小二乘算法模型［14］。

假設目標的估計位置為(^x，^y)，探測區(qū)域內共有n個節(jié)點，Nk(xk，yk)，k∈［1，n］表示第k個節(jié)點的坐標，^αk，k∈［1，n］表示第 k個節(jié)點的定向角度，dk，k∈［1，n］表示聲源目標到第k個節(jié)點的距離，則可以得到如下方程

由式(1)可得

令

其中，C為n×1的矩陣，H為n×2的矩陣，帶入式(2)可得目標的估計位置坐標

1.3 非線性規(guī)劃模型

非線性規(guī)劃是具有非線性約束條件或目標函數的數學規(guī)劃，它主要研究一個n元實函數在一組等式或不等式的約束條件下的極值問題，且目標函數和約束條件至少有一個是未知量的非線性函數。

由1.1節(jié)的數學模型出發(fā)，假設目標的估計位置為(^x，^y)，探測區(qū)域內共有n個節(jié)點，Δ^α為節(jié)點的測量偏差，^αk，k∈［1，n］表示第 k個節(jié)點的定向結果。對于任意節(jié)點Nk(xk，yk)，k∈［1，n］來說，構建模型如下

兩邊同時取正切，令δ=tanΔ^α，可得

化簡式(6)可以得到

或

將不等式左邊項分解后可以發(fā)現，左邊是含有δ，x，y，δx，δy的三元二次代數式，屬于非線性規(guī)劃范疇，可以用非線性規(guī)劃法解決。因此，分布式聲源定位可以看成由δ，x，y三變量決定，由2k個不等式約束的非線性規(guī)劃問題。即可以得到如下非線性規(guī)劃模型

或

其中，式(9)為目標函數，式(10)或式(11)為線性約束條件，將目標函數與線性約束條件相結合，運用一定的優(yōu)化方法，就可以確定目標聲源的位置。

1.4 非線性規(guī)劃模型求解方法

以上建立的非線性規(guī)劃模型問題可以利用數學軟件Matlab求解。在運用Matlab軟件對以上模型的定位誤差進行求解時，使用到了Fmincon函數。該函數提供了大型優(yōu)化算法和中型優(yōu)化算法。默認時，如果Fun函數提供了梯度，并且只有上下界存在或者只有等式約束的時候，Fmincon函數將選擇大型算法。當既有等式約束又有梯度約束時，使用中型算法。Fmincon函數的中型算法使用的是序列二次規(guī)劃(SQP)法，其在每一步迭代都是求解一個二次規(guī)劃問題，并更新拉格朗日Hessian矩陣，直到趨近于最優(yōu)值。

2 算法仿真分析

2.1 遠節(jié)點對定位精度影響

由于最小二乘估計會造成離聲源目標距離越遠的節(jié)點對定位結果的影響反而越大，而非線性規(guī)劃法中假設各節(jié)點的定位偏差Δ^α是統(tǒng)一的，并根據節(jié)點距聲源目標的距離而做出相應的調整，當δ一定時，距離目標聲源遠的節(jié)點對估計坐標的變化沒有近節(jié)點敏感，即遠節(jié)點對定位精度的影響比近節(jié)點小，消除了最小二乘估計算法的矛盾現象。為驗證此理論進行以下仿真。

如圖2所示，4個節(jié)點的位置坐標分別為 N1(350，100 m)，N2(550，100 m)，N3(350，300m)和 N4(550，300m)，Q為4個節(jié)點所包圍的誤差較小的監(jiān)測區(qū)域。現將節(jié)點N4以為單位往東北方向平移，觀察區(qū)域Q內系統(tǒng)定位誤差的平均值。仿真結果如表1所示。其中，ε為N1，N2，N33個固定不動的節(jié)點通過最小二乘算法求得的系統(tǒng)定位誤差平均值，ε1為所有4個點通過最小二乘算法求得的系統(tǒng)定位誤差平均值，ε2為4個點通過非線性規(guī)劃法求得的系統(tǒng)定位誤差平均值。

圖2 四節(jié)點布局示意圖Fig 2 Layout diagram of four nodes

表1 遠節(jié)點對定位精度的影響Tab 1 Effect of remote nodes on positioning precision

由表1的數據可以看出:隨著節(jié)點N4的遠離，在4節(jié)點的情況通過最小二乘算法得到的系統(tǒng)定位誤差平均值顯著增加，當N4處于(750，500m)時定位誤差和3節(jié)點的情況相近，再向外平移之后，則定位效果反而不如3節(jié)點的情況。而非線性規(guī)劃模型下，雖略有增加，但增幅很小。距離遠的節(jié)點對定位結果的影響比使用最小二乘算法時要小得多。

2.2 節(jié)點位置隨機時算法穩(wěn)健性分析

在2.1節(jié)中，假設分布式麥克風陣列4個節(jié)點布放形式已知。但實際應用中，往往節(jié)點的位置是隨機的，而且參與定位的有效節(jié)點的數目也會不確定，這里將重點分析節(jié)點位置隨機的情況下節(jié)點數目對算法穩(wěn)健性的影響。

如圖3所示，在200 m×200 m的監(jiān)測區(qū)域內以正東為x軸正方向，正北為y軸正方向建立直角坐標系，假設單個聲源Q位于該監(jiān)測區(qū)域內，且真實坐標為(100，100 m)。各定向節(jié)點位置隨機，即節(jié)點的x，y坐標值為0～200 m之間的隨機數，且符合均勻分布。每個節(jié)點除了固有的定向離散誤差外，還受到背景白噪聲的影響，假設背景白噪聲對第k個節(jié)點的定向結果施加的影響nk(弧度)，且nk～N(0，σ2)，現利用最小二乘估計算法和非線性規(guī)劃法對聲源Q的位置進行估計，以測量1000次定位誤差的平均值為基準進行比較，結果如圖4～圖6所示。

圖4 3個節(jié)點隨機布放時定位誤差與噪聲方差的關系Fig 4 Relationship between positioning error and noise variance when three nodes are distributed randomly

圖5 10個節(jié)點隨機布放時定位誤差與噪聲方差的關系Fig 5 Relationship between positioning error and noise variance when ten nodes are distributed randomly

圖6 20個節(jié)點隨機布放時定位誤差與噪聲方差的關系Fig 6 Relationship between positioning error and noise variance when twenty nodes are distributed randomly

圖4為3個節(jié)點隨機布放在監(jiān)測區(qū)域的情況。由圖可知，當背景白噪聲較小時，2種算法的定位精度相似。而隨著背景噪聲影響不斷加強，二者的定位性能出現變化，但非線性規(guī)劃法始終占優(yōu)。說明3個節(jié)點的情況下，非線性規(guī)劃法在存在背景噪聲時更加穩(wěn)健。

由圖4至圖6對比可知，當監(jiān)測區(qū)域內只有3個可用節(jié)點時，非線性規(guī)劃法的定位性能有明顯優(yōu)勢;當有10個可用節(jié)點時，2種算法的定位性能相近;當可用節(jié)點數目增加為20個時，最小二乘法的定位精度反而更高。

3 結論

1)使用非線性規(guī)劃模型進行定位時，距離遠的節(jié)點對定位結果的影響比使用最小二乘算法時小得多;

2)存在背景噪聲，節(jié)點數目不同且位置隨機擺放的情況下，2種方法呈現不同的優(yōu)劣:在節(jié)點數目較少(如5個和5個以下)的情況下，非線性規(guī)劃法占有較大的優(yōu)勢;最小二乘算法比非線性規(guī)劃法更適合在節(jié)點分布密集的情況下使用。因此，在實際應用中要根據區(qū)域內可用節(jié)點的數目情況選取不同的算法。

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