Zernike亞像素圖像矩邊緣檢測算子方向角模型研究*

姜 邁，梁 煒，張曉玲，李世明

(中國科學院沈陽自動化研究所工業控制網絡與系統實驗室，遼寧沈陽110016)

0 引言

傳統的邊緣檢測方法(例如:Sobel算子、LOG算子、Canny算子等)對圖像邊緣的定位只能達到像素級，由于測量系統對精度的要求越來越高，因此，有必要對亞像素邊緣檢測與定位技術進行研究［1］。Hueckel首先提出了亞像素邊緣檢測的概念，亞像素邊緣的定位可以突破物理分辨率的限制，同時也降低了工業應用中要求精度所需要的計算代價。按照數學模型分類，現有的亞像素級精度邊緣檢測技術可以分為三大類，即擬合法、插值法和矩方法，其中，矩方法是亞像素邊緣檢測算子中應用最廣泛的方法，而且由于圖像矩是基于積分運算的方法，所以，同其他基于微分運算的邊緣檢測算子相比矩邊緣檢測算法具有更好的抗噪能力，矩方法包括空間矩方法和 Zernike矩方法［2，3］。本文提出一種基于4階方向角模型計算像素點方向角參數的新方法，通過與常規Zernike矩算子的定位精度比較討論，驗證了該方法的可行性。

1 Zenike亞像素圖像矩邊緣檢測原理

圖像的n階m次Zernike矩定義為

其中，n為正整數或0;m為正負整數，且滿足n-|m|為偶數和|m|≤n的條件限制;r為單位采樣圓的原點到點(x，y)的矢量長度，-1＜x，y＜1;θ為矢量 r與x軸的夾角;Vnm(r，θ)為正交復數多項式，Vnm(r，θ)=Rnm(r)ejmθ;Rnm(r)為點(x，y)徑向多項式。

如果圖像f(x，y)逆時針方向旋轉α角，設旋轉前后圖像的Zernike矩分別為Znm和Z'nm，則在同一坐標系中，原始圖像與旋轉后的圖像間的關系為

在極坐標下，旋轉后的Zernike矩為

變換變量 θ'=θ-α，于是有

從式(4)可以看出圖像旋轉前后Zernike矩的模不變，只是相角改變，這個性質被稱為旋轉不變性。利用Zernike矩的旋轉不變性把圖像進行旋轉后，通過建立多個矩與4個參數的關系［4］，然后，求解矩從而解得上述參數，再將參數與設定閾值比較實現對邊緣的精確定位。

采用如圖1所示的邊緣模型，圖中b是單位圓內的背景灰度，h是階躍高度，d是圓盤中心到邊緣的垂直距離，d∈［-1，1］;θ是邊緣與 x軸所成的角度，θ∈［-π/2，+π/2］［5，6］。

圖1 Zernike矩階躍邊緣模型Fig 1 Step edge model of Zernike moment

由旋轉不變性可知，原始圖像的Zernike矩Znm與旋轉后的Zernike矩Z'nm的關系如式(5)所示

其中

經過計算可知正交復數多項式V00，V01，V20分別為

則由Zernike矩定義可知

式(7)中f'(x，y)是旋轉后的邊緣函數。將窗口旋轉θ角，使邊緣與 x軸垂直，則此時 f'(x，y)在區間［-1，l］與［l，1］分別為 b 與 b+h，均為常數［7，8］。因此，函數 f'(x，y)y關于y為奇函數，積分區域關于x軸對稱，可以得到

將式(6)與式(8)聯立可知

按照Zernike矩計算公式，旋轉θ角后，理想階躍邊緣的Zernike矩為

由式(10)，式(11)可以得到理想邊緣模型的邊緣參數［9］

對于每個像素點，將hz，dz作為邊緣點的判據。設定閾值 m1，m2，如果 hz＞ m1，dz＜ m2，則該點為邊緣點［10］。

2 基于4階方向角的Zenike矩亞像素邊緣檢測算子

前面所討論的Zernike矩邊緣檢測算子是基于2階方向角模型的。由于方向角的取值決定著后續距離判據與階躍判據的大小，本文提出一種計算像素點方向角參數的新方法，通過與2階方向角模型算子的檢測效果進行比較，驗證該方法的可行性。同樣采用如圖1所示的邊緣模型，將窗口旋轉θn角，使邊緣與x軸垂直。正交復數多項式為

由Zernike定義知

由Zernike旋轉特性知

由于 f'(x，y)在區間［-1，l］與［l，1］分別為 b與 b+h(恒定為常數)。而函數f'(x，y)(3y3+3x2y-2y)關于y為奇函數，積分區域關于x軸對稱，可以得到

聯立式(15)～式(17)可知

Im Z'31=Im Z31·cos θn-Re Z31·sin θn=0，即

tanθn=Im Z31/Re Z31.

由此可以得到基于4階方向角的理想邊緣模型的邊緣參數

3 仿真實驗與實驗結果分析

由于圖像存儲形式為離散形式，Zernike圖像矩離散表達形式為

假定每個像素點上灰度值 f(x，y)是常數，這樣根據式(21)只需將(x，y)的鄰域的像素灰度與模板M(即正交復數多項式V*nm(r，θ))卷積即可得到點(x，y)的 Zernike 矩。模板階次N越大，計算越復雜且耗時越多，但同時對噪聲的抑制能力和邊緣的定位精度也越高［9］。由于邊緣參數的計算需要用到不同階次的Zernike矩模板，為了提高邊緣檢測速度可以提前將不同階次模板計算出來，M11實數模板、M11虛數模板、M20模板、M31實數模板及M31虛數模板相應三維仿真曲線如圖2所示(N=9)。

為了對比檢測基于傳統2階和4階方向角的Zernike矩亞像素算子的檢測能力，采用Visio繪制一副具有代表性的理想二值圖片，構造1個圓、1個等腰直角三角形及1個正方形，如圖3所示，坐標軸原點設置在圖像左上角，分別對圓的頂點(上頂點、下頂點)，等腰直角三角形的3個頂點)及正方形4個頂點共計9個點的亞像素坐標進行計算。其中，由圖1可知亞像素坐標計算公式為

圖2 9×9模板系數三維仿真圖Fig 2 3D simulation image of 9×9 mask coefficient

圖3 人造圖片Fig 3 Man-made picture

其中，x，y分別為頂點的橫縱坐標，xi，yi為頂點對應的亞像素坐標，di，θi為(i=z，n)為頂點的邊緣參數，N 為模板中心周圍N×N個像素的階次。

Zernike矩算子性能比較結果如表1。

表1 Zernike矩算子性能比較分析Tab 1 Comparison and analysis on characteristics of Zernike moments operators

由表1可知，由于基于4階方向角的Zernike矩涉及到更高階次的模板計算，因此，運行時間高于2階矩。2階方向角在X方向相對誤差均值低于4階方向角，在Y方向則高于4階方向角。同時2階方向角在X方向相對誤差方差高于4階方向角，在Y方向則低于4階方向角。通過對兩者相對誤差均值和方差分析上，很難比較出兩者的性能優劣。采用凌云公司代理IMPERX公司的Bobcat ICL—B2520面陣相機，CCD分辨率為2456×2058，靶面尺寸為8.47 mm×7.10 mm，像元尺寸為3.45μm，相機焦距為f=20 mm，工作距離為2 m，檢測對象為基恩士公司生產的IL—1000激光傳感器放大器。圖4為不同邊緣算子的檢測結果。

圖4 不同算子邊緣檢測結果Fig 4 Edge detecting results of different operators

通過對比圖4(b)，(c)，(d)檢測結果可知，相對于傳統的邊緣檢測算子圖4(b)，Zernike矩圖4(c)，圖4(d)具有較好的抗噪聲能力，相對于基于2階方向角的邊緣定位結果，基于4階方向角的Zernike矩亞像素邊緣檢測算子具有更好的邊緣定位精度，同時，待測對象邊緣具有更好的連續性。

4 結論

針對理想邊緣檢測模型，基于Zernike矩旋轉不變性，本文深入分析了基于4階方向角Zernike矩邊緣參數的計算方法，推導了9×9尺寸模板0～4階Zernike矩的模板系數并將其存儲下來，通過將其與待計算像素點的直接卷積來提高定位算法的實時性。(曲，高速)以構造理想的標準圖片為對象，通過與2階方向角模型算子的檢測效果進行比較，驗證了新算子的邊緣定位精度明顯優于傳統的基于2階方向角的Zernike圖像矩算子。

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