基于總體最小二乘的改進GM（1，1）模型及其在建筑物沉降預測中的應用

袁 豹，岳東杰，李成仁

（河海大學 測繪科學與工程系，江蘇 南京 210098）

灰色系統理論是研究系統分析、建模、預測、決策和控制的理論。利用灰色數列預測方法可以實現對系統的時間序列數量大小的預測，即對系統的主行為特征量或某項指標發展變化到未來特定時刻出現的數值進行預測?；疑到y理論及其動態GM模型已經廣泛用于社會經濟等各個學科。1988年陳明東等首次在滑坡變形監測中采用灰色系統理論中的GM（1，1）模型，此后該模型在滑坡監測及相關變形監測工作中得到廣泛研究和應用［1］?；趥鹘yGM（1，1）模型中存在的一些缺陷，很多學者對此模型進行了改進。戴華將GM（1，1）和GM（1，N）模型聯合應用于自來水廠的自動加礬系統［2］；汪凡等將灰色關聯模型和主成分分析結合在一起應用于公司績效評價和變形監測等領域［3－4］；李曉紅提出以優化模型背景值為基礎重構背景值的GM（1，1）模型［5］；靳曉光根據非等間距模型和優化背景值兩個角度提出滑坡變形預測的普適灰色模型［6］；李秀珍等從改變模型背景值出發提出變形預測的中心逼近式GM（1，1）模型［7］。

上述GM（1，1）模型以及改進的GM（1，1）模型雖然在一定程度上提高了預測數據預測精度，但是都沒有考慮模型本身的數據結構，且針對不同數學特點的變形數據，各改進模型的適用性有著一定的模糊性。針對傳統模型在求解模型或參數或是模型背景值時都采用的最小二乘方法，沒有能夠顧及所建立的微分方程中系數矩陣和觀測矩陣數據之前的自相關性，考慮采用總體最小二乘方法并對系數矩陣和觀測矩陣予以定權來求解模型灰參數，這種方法更加嚴謹、科學，可以獲得較為精確的預測效果。

1 GM（1，1）模型

假設有原始非負離散數列為x（0）＝｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝，n為序列長度（GM（1，1）模型處理的數據序列一般取等時間間隔序列，若原始數據為非等時間間隔序列，則可以采用線性插值或是等間距處理來保證模型具有較高的濾波精度，對x（0）序列數據進行一次累加生成（1－AGO）處理，得到 一 個 新 的 序 列x（1）＝ ｛x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）｝。

對x（1）建立一階白化微分方程為

一般稱式（1）為GM（1，1）一階模型，式中：t為時間變量，a，u為待定灰參數，其白化值（即灰區間中可能的值）或者稱為估計值為α∧＝［a，u］T。采用最小二乘平差法求得灰參數

將灰參數代入微分方程，可得

式中：e為常數，對（k＋1）進行一次累減生成，可得到還原數據

2 基于總體最小二乘的改進GM（1，1）模型

從上述GM（1，1）模型求解方法可以看出，在求解灰參數時采用的是最小二乘的方法，這樣做的前提是假設系數矩陣B中數據不含有誤差而只對觀測值矩陣l進行改正。從系數矩陣B的數據結構

可以看出，系數矩陣中第1列數據是根據原始數據序列一次累加后的數據運算得到，如果原始數據含有測量的偶然誤差，則系數矩陣B中第1列數據也含有測量誤差，需要在平差時進行改正，這時就要采用能同時顧及系數矩陣和觀測值矩陣，同時含有誤差的總體最小二乘方法來求解模型灰參數。

2.1 總體最小二乘基本思想

針對線性方程組AX＝L，經典最小二乘的方法是在殘差平方和極小的條件下求出參數的最佳估計值。該方法的前提之一是假定系數矩陣A是由沒有誤差的精確值組成的，而只對觀測值L矩陣進行改正，事實上，觀測向量、系數矩陣均有擾動，因此，從理論上講應該同時考慮L和A的擾動才嚴密，這就是總體最小二乘（TLS）的基本思想［8］。總體最小二乘的函數模型可歸結為

且有

其中：A∈Rn×m，L∈Rn，X∈Rm，rank（A）＝m＜n，n為觀測值個數，m為待估參數個數，QL和QA分別為eL和eA的對稱非負定協因素陣，EA為系數矩陣的誤差，eL為觀測值陣的誤差，誤差矩陣屬于相互獨立的白噪聲誤差。這一模型稱為EIV（Errors－in－Variables）模型。QA＝Q0?Qx，“?”表示矩陣之間的直積，即“Kronecker－Zehfuss積”，具體表現為：M?N＝［mijN］，M＝［mij］，vec（）表示矩陣的列向量化運算。QL，Q0，Qx，QA為非負正定協因素矩陣。在等權的情況下有：QL＝In，QA＝Im?In＝Inm，Qx＝In，Q0＝Im，一般稱為總體最小二乘法（TLS）；不等權的情況下有：QL＝P－1L，QA＝Q0?Qx＝P－10?P－1x＝P－1A，Qx＝P－1x，Q0＝P－10，P0為系數矩陣A的列向量權陣，Px為系數矩陣A的行向量權陣［9］。加權總體最小二乘（WTLS）的準則為

隨機模型為

2.2 權陣的確定

與最小二乘平差方法一樣，在總體最小二乘模型中當觀測值數據之間不等精度或是不相互獨立以及系數矩陣和觀測值矩陣之間存在相關性時就要考慮采用加權總體最小二乘法，對系數矩陣和觀測值矩陣予以定權處理。在加權總體最小二乘問題中，權陣的確定是一個重要的部分。

灰色模型在變形監測等數據預測領域中的應用，所要處理的數據對象大多是具有時間特性的獨立數據，即時間序列數據是在不同時間點采用相同精度儀器或是相同采集方法獲得的一些列數據，可以近似認為這些數據同精度，然而，GM（1，1）模型中系數矩陣中的數據來源于原始序列數據，若原始數據序列存在測量偶然誤差，則系數矩陣必然受到這種誤差的影響，即誤差傳遞。假設系數矩陣B的協因數陣為QB，觀測值矩陣l的協因數陣為Ql。設有 原 始 序 列 數 據x（0）＝ ｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝，根據分析可以認為σ1＝σi＝σn，其中σi（i＝1，2，…，n）表示該數據的中誤差，則定義σ1為單位權中誤差，則可知Ql＝I。根據系數矩陣B中數據所求得的計算方法，可知系數矩陣中的數據來源于原始數據的線性運算，采用協因數傳播定律可以求出。則有P0＝Q0＋，Px＝Qx＋，P1＝Ql＋（＋表示偽逆），這樣便可較為精確地確定系數矩陣和觀測值矩陣的權陣，采用加權總體最小二乘方法求解參數。

2.3 改進GM（1，1）模型的確定

首先采用一次累加方法對原始序列數據進行處理，建立改進的GM（1，1）模型，此時可以表示為

其中α＝［a，u］T。根據Burkhard Schaffrin與Andreas Wieser［10］提出的迭代解算方法，求解改進GM（1，1）模型灰參數的具體步驟如下：

3）給定迭代限差δ0，重復2）直到，此時即為所要求得參數，并且計算單位權方差，觀測值改正數和系數陣改正數。

3 應用與實例分析

灰色理論模型近年來在滑坡預報以及經濟、人口預測方面得到了一定的應用，通過引入總體最小二乘的方法來對GM（1，1）模型予以改進使得這一模型原理更加嚴謹，方法更加準確，應用更加廣泛。改進的GM（1，1）模型將會受到各研究領域學者的關注并取得更加廣泛的實際應用效果。

本文實例選取的是某一建筑物在施工期間測量得到的共18期的數據，檢測周期為1周，利用前15期數據作為建模原始數據，后3期數據用于模型預測效果的檢驗數據。為了比較采用總體最小二乘法建立的改進GM（1，1）模型與傳統GM（1，1）模型的區別，分別采用最小二乘（LS）和加權總體最小二乘（WTLS）方法求得模型灰參數，見表1。

表1 模型灰參數結果

從模型灰參數來看，最小二乘法與總體最小二乘法有一定差別，比較最小二乘法與總體最小二乘法的擬合效果，計算出模型的擬合精度見表2。

表2 最小二乘法和總體最小二乘法的模型精度比較mm

建立準確的模型是為了掌握數據序列的變化趨勢，發現數據序列的變化規律，以及更準確地預測下一個時刻的變形值，從而可以及時對建筑物的安全狀態進行評價與預警，為監測工作的決策提供有效的依據。表3是利用已建好的GM（1，1）模型對監測點的16～18期沉降量進行預報的結果。

表3 沉降量預測 mm

從表3可以看出：采用總體最小二乘方法建立的改進GM（1，1）模型具有較好的預測效果，預測精度比傳統的最小二乘方法高。為了直觀比較最小二乘法與總體最小二乘法的優劣性，圖1分別繪制出二者的沉降預測效果圖。

圖1 最小二乘法與總體最小二乘法的預測效果比較

從圖1可以看出，采用（加權）總體最小二乘法的模擬值和預測值與實際值的差別普遍比采用最小二乘方法的小，說明前者具有較小的預測誤差，預測效果較好。

4 結 論

1）改進GM（1，1）模型灰參數求解的方法，采用嚴密的總體最小二乘法可以得到更高精度的模型灰參數，建立的改進GM（1，1）模型可以達到更高的模型與預報精度。

2）在采用總體最小二乘方法時，如若系數矩陣和觀測值矩陣內部以及相互之間不獨立或是存在數據相關性，則要考慮采用加權總體最小二乘法。

3）GM（1，1）模型適用于原始序列數據符合指數增長形式，適用性不足，對基于總體最小二乘方法的改進GM（1，1）模型做一些其他方面的改進，以使得灰色系統理論及動態GM模型達到更好的應用效果，還需要進一步研究。

［1］陳明東，王蘭生.邊坡變形破壞的灰色預報方法［C］//全國第三次工程地質大會論文選集（下）.成都：成都科技大學出版社，1988：1226－1232.

［2］戴華.GM（1，1）和GM（1，N）聯合模型在自來水廠自動加礬系統預測中的應用［J］.湖北民族學院學報：自然科學版，2011，29（2）：152－156.

［3］汪凡，趙軍.基于灰色關聯模型和主成分分析的上市公司績效評價研究［J］.商業經濟，2011（3）：110－111.

［4］曹凱，許昌.GM（1，1）、GM（1，N）聯合模型在建筑物沉降預測中的應用［J］.水科學與工程技術，2007（6）：54－57.

［5］李曉紅，靳曉光，亢會明，等.GM（1，1）優化模型在滑坡預測預報中的應用［J］.山地學報，2001，19（3）：265－268.

［6］靳曉光，李曉紅.邊坡變形模擬預測的普適灰色模型［J］.中國地質災害與防治學報，2001，12（2）：51－55.

［7］李秀珍，孔紀名，王成華.中心逼近式灰色GM（1，1）模型在滑坡變形預測中的應用［J］.工程地質學報，2007，15（5）：673－676.

［8］Golub G H，Van Loan C F.An analysis of the Total Least Squares problem［J］.SIAMJ Numer Anal，1980，17（6）：883－893.

［9］袁慶，樓立志，陳瑋嫻.加權總體最小二乘在三維基準轉換中的應用［J］.測繪學報，2011，40（5）：116－117.

［10］Schaffrin B and Wieser A.On weighted total leastsquares adjustment for linear regression［J］.Journal of Geodesy，2008，82：415－421.