大地坐標轉換模型及其應用

鮑建寬，李永利，李秀海

（1.黑龍江工程學院 測繪工程系，黑龍江 哈爾濱 150050；2.河南省測繪地理信息局 遙感測繪院，河南 鄭州 450003）

大地坐標系是以旋轉橢球為大地基準建立起來的用于表達地球表面空間位置及其相對關系的數學參照系。它的建立有一個歷史發展過程，在不同時期，采用的參考橢球參數及定位方式都不會完全相同，并逐步完善和精化。因此，存在不同大地坐標系統的坐標互相轉換問題。目前，我國就有1954北京坐標系、新1954北京坐標系、1980年國家大地坐標系、2000中國大地坐標系，幾種坐標系共存。還有GPS系統采用的WGS－84坐標系、GLONASS系統采用的PZ－90坐標系，這些衛星定位測量成果也需要轉換為我國的相應坐標系中。此外，在一些地區，由于工程建設的急需（如礦山開發、新城市建設等）而建立的局部獨立坐標系，也需要把局部的獨立坐標系，轉換到相應國家統一的坐標系中。本文就不同的坐標系轉換模型的原理與適用條件進行探討。

1 基于三維直角坐標的坐標轉換模型

1.1 布爾莎轉換模型

兩空間直角坐標系的關系如圖1所示，其中坐標系O′－X′Y′Z′是由原坐標系O－XYZ通過繞坐標軸旋轉（3個旋轉參數分別為εX，εY，εZ）、坐標原點平移（3個平移參數分別為ΔX0，ΔY0，ΔZ0）得到，再顧及兩個坐標系尺度不盡一致，從而還有一個尺度變化參數（μ），共計有7個參數。當旋轉角ε較小時，相應的布爾莎坐標轉換公式為

圖1 兩個三維直角坐標系的關系

實踐中，通過將兩個坐標系中公共已知點的坐標代入式（1），解算轉換參數，然后再由式（1）把原坐標系內的坐標（Xi，Yi，Zi）轉換為新坐標（Xi′，Yi′，Zi′），最后把空間直角坐標（Xi′，Yi′，Zi′）化為大地坐標（Bi′，Li′，Hi′），再化為測繪工程中使用的高斯平面坐標。

為了可靠地求定兩個不同空間直角坐標系的坐標轉換公式中的7個轉換參數ΔX0、ΔY0、ΔZ0、εX、εY、εZ、μ，則至少需要3個公共點，當具有3個以上的公共點時，可按最小二乘法求得7個參數的最或然值。若令a1＝1＋μ，a2＝a1εX，a3＝a1εY，a4＝a1εZ，則可將式（1）改寫為

若取

由式（2）得誤差方程

當有m（m≥3）個公共點時，可分別列出3m個誤差方程。根據最小二乘原理VTPV＝min的要求，可由誤差方程列出法方程，進一步解算出轉換參數。

實際應用中應注意的問題：

1）布爾莎模型是舍去高次項后的線性化模型，當旋轉角ε≤5″時，對計算轉換坐標的影響值最大不過5mm；當旋轉角ε≤10″時，對計算轉換坐標的影響值最大不過18mm。可見，為減小模型誤差，使用該模型時，坐標軸旋轉角不宜大于10″。

2）所求得轉換參數的精度與公共點坐標的精度及誤差方程式系數陣B有關，而誤差方程式的系數陣B又取決于公共點的個數和幾何分布情況，即轉換參數的精度與公共點的個數與幾何分布情況有關。因此，為了求得較好的轉換參數，應選擇一定數量的精度較高且分布較均勻并有較大覆蓋面的公共點。

3）為削弱誤差較大甚至存在粗差的公共點對解算轉換參數的影響，可采用穩健估計的方法進行求解，以確保轉換參數計算的可靠性。

4）當利用3個以上的公共點求解轉換參數時存在多余觀測，由于公共點誤差的影響而使得轉換的公共點的坐標值與已知值不完全相同，為保持已知點的坐標值固定不變，可采用配置法，將公共點的轉換值改正為已知值，對非公共點的轉換值進行相應的配置。具體方法是：先計算公共點坐標轉換值的改正數vi＝已知值i一轉換值i（i＝1，2，…，m）；再計算非公共點轉換值的改正數

式中：m為公共點的個數；pji＝1/S2ji為權；Sji為非公共點j與公共點i間的距離。

5）當旋轉角ε＞10″時，式（1）中的旋轉矩陣為

可采用導數的方法、高斯－牛頓法或者無約束優化中的Rosenbrock方法等等，計算轉換參數。

1.2 莫羅金斯基轉換模型

在布爾莎坐標轉換式（1）中，是對坐標點在原坐標系O－XYZ中的位置向量施加旋轉和尺度轉換，旋轉中心就在坐標原點O，尺度變換作用于以原點O為起點的向徑OPi。但在大量的實際應用中，往往只是在局部地區進行坐標系的轉換，在已有的局部地面控制網中，由于所有的控制點坐標都是由網中某一參考點（例如國家大地控制網中的大地原點、首級工程控制網的起始點）依次推算得出的。因此，就應將旋轉和尺度變換的作用范圍限制在控制網區域以內，宜以該參考點PK作為變換中心（見圖2），與此相應的即為莫洛金斯基坐標轉換模型。

圖2 地方坐標系與目標坐標系的關系

在莫洛金斯基坐標轉換模型中，（ΔX0，ΔY0，ΔZ0）為坐標系O－XYZ的原點O在坐標系O′－X′Y′Z′中位置向量，亦即兩坐標系間的3個平移參數；（XK，YK，ZK）則為參考點PK在O－XYZ坐標系中的位置參數；（εX，εY，εZ）是以參考點PK為旋轉中心的旋轉參數；μ為參考點PK到網中任一點Pi間向徑的尺度變化參數。轉換參數的解算方法同布爾莎轉換模型。

實際應用中應注意的問題：

1）莫洛金斯基坐標轉換模型更適用于參心坐標系與地心坐標系之間的轉換，以及地方坐標系與國家坐標系之間的轉換。

2）在進行參心坐標系與地心坐標系之間的轉換時，由于參心大地坐標系都是用傳統測量技術建立的，并非嚴格意義上的三維坐標系，難以實現與三維地心坐標系的嚴格轉換，求得的參數就不夠可靠。又因為參心大地坐標系在參考橢球定位定向時難以滿足理想條件，坐標系本身的偏差，也存在著地面網定位定向的系統誤差，且由于地殼形變等多種原因使地面網點的坐標值隨時間延續而發生變化。因此，地面網參心坐標系的系統誤差，使得數值較小的3個旋轉角難以準確求定，旋轉角參數的估值在數值上往往與其本身的中誤差相接近。這樣，有時就不考慮旋轉和尺度變換，而僅取用3個平移參數。

1.3 武測轉換模型

在莫洛金斯基轉換模型中，若把旋轉中心由參考點PK變為坐標原點O，亦即旋轉參數（εX，εY，εZ）仍為坐標系O－XYZ通過以O為中心繞坐標軸旋轉的角度，則得到武測轉換模型的轉換公式為

1.4 范士轉換模型

如圖3所示，3個旋轉角（ωX，ωY，ωZ）是以控制網參考點PK的站心地平坐標系的3個坐標軸PKx，PKy，PKz為旋轉軸，這點是與莫洛金斯基轉換模型所不同的；而（ΔX0，ΔY0，ΔZ0）為坐標系O－XYZ原點O在坐標系O′－X′Y′Z′中的位置向量，亦即兩坐標系間的3個平移參數；μ為參考點PK到網中任一點Pi間向徑的尺度變化參數。這構成了范士轉換模型的7個坐標轉換參數。

據（εX，εY，εZ）與（ωX，ωY，ωZ）的關系，則

把式（9）代入式（7）既得范士轉換模型的轉換公式。

1.5 廣義大地坐標微分公式

對于不同大地坐標系的換算，除了包含3個平移參數、3個旋轉參數和1個尺度變化參數外，還包括2個地球橢球元素變化參數。不同大地坐標系的換算公式為

式（10）通常稱為廣義大地坐標微分公式或廣義變換橢球微分公式。

實際應用中應注意的問題：

1）根據m（m＞3）個以上公共點的兩套大地坐標值，由式（10）參照式（3）和式（4）可以列出3m個誤差方程，采用最小二乘原理可求出其中的轉換參數。

2）在通常情況下，兩個不同大地坐標系的da，dα是已知的。對于同一國家或地區，盡管大地坐標系因參考橢球元素和定位定向改變，但坐標軸總設定是平行的。對于同一大地網，長度變化參數μ總為零，對于不同大地網，μ相差也不會太大。因此，在一般情況下可以略去εX，εY，εZ，μ諸參數，而只解求ΔX0、ΔY0、ΔZ03個橢球定位變動量，即坐標系原點的平移量。

2 基于平面直角坐標的坐標轉換模型

2.1 相似變換模型

如圖4所示，舊坐標與新坐標的關系為

圖4 兩個平面直角坐標系的關系

若取c＝kcosθ，d＝ksinθ，則

此即為相似轉換模型。各參數的幾何意義：k為尺度參數；θ為旋轉參數；a，b為平移參數。

實際應用中應注意的問題：

1）當測區內具有新舊兩種坐標系的m（m＞2）個公共點時，即可利用最小二乘法求定新舊坐標系的轉換參數。誤差方程的列立參照式（3）和式（4）。

2）與三維坐標轉換一樣，由于公共點的坐標存在誤差，求得的轉換參數將受其影響，公共點坐標誤差對轉換參數的影響與點位的幾何分布及點數的多少有關，因而為了較好地求得轉換參數，應選擇一定數量的精度較高且分布較均勻并有較大覆蓋面的公共點。同樣，可采用穩健估計的方法進行求解，以此削弱誤差較大甚至存在粗差的公共點對解算轉換參數的影響。

3）相似轉換僅適用于投影方式、橢球元素、橢球定位均相同的情形。其優點是轉換參數的意義較為明確，計算簡便，其常數能保證轉換過程的正形性。不足之處在于，它只適用于小范圍內、局部坐標系間的坐標轉換，且沒有考慮兩坐標系間的局部變形和誤差積累，轉換精度較低。

4）轉換公式的轉換元素a，b，θ，k中，a，b，θ是常量，而k由于存在邊長高斯改正，則有所變動。坐標轉換時，在一定范圍內，可以將測區投影高程面及高斯平面各邊的長度比k視為一個常量，其原則是在一個測區內用一個k值進行轉換，其長度變形值不超過25cm/km。由于長度變形與線段距X軸的距離（即端點Y坐標的平均值ym）、線段長度及該地的平均地球曲率半徑有關，據此可計算出相似轉換模型的適用區域大小，結果列于表1。

2.2 正形轉換模型

依據正形投影的柯西—黎曼條件，可推導出實現兩坐標系間坐標轉換的正形轉換模型為

實際應用中應注意的問題：

1）在式（12）中僅取一次項，則與式（11）表示的相似變換模型一樣。與相似變換相比，正形變換法比相似變換法精度要高，它適用于變換區域相當大的情形。

2）同樣，正形轉換也要求兩坐標系的投影方式相同，橢球元素橢球定位也相同。因此，它只能用于各局部坐標系間滿足以上條件的變換。并且它只能用于坐標轉換，不能解決投影變形。即它也把投影變形由原坐標系轉換到新坐標系中。

3）在沒有多余公共已知點的條件下解出各變換參數pi，qi，經變換后在公共點上新、舊網互相重合。這樣有可能使舊網變形過大，特別是舊網中遠離公共點的點位可能糾正過甚，致使結果不好。

4）實用上，模型公式（12）中變換參數僅保留到p3，q3即可。通常需要4個以上的公共點，列出誤差方程，利用最小二乘法解算各變換參數pi，qi（i＝0，1，2，3）。

5）當兩平面直角坐標系屬于同一橢球的高斯平面直角坐標系，但兩者存在若起始數據或投影軸子午線的差異時，例如城市、礦區的新舊控制網，或它們與國家大地網之間往往存在這種情況，需要先進行高斯投影解算，把舊坐標系歸算相同的投影面上。然后再進行兩網的正形轉換計算。

6）當兩坐標系屬不同的參考橢球參數和定位時，需要先進行坐標基準變換。例如，1954年北京坐標系的大地點和1980年國家大地坐標系之間的轉換，先把公共點平面坐標由高斯投影公式化為大地坐標；然后依據大地坐標微分公式（10）解算兩空間直角坐標系的平移參數；再把平移參數和橢球變化參數代入大地坐標微分公式（10）計算非公共點的80坐標系的大地坐標；第四步，把非公共點的80坐標系的大地坐標化為高斯平面坐標；最后，在80坐標系內，進行兩網的正形轉換計算，完成坐標轉換計算工作。

2.3 多項式轉換模型

設新坐標系中點的坐標為（X′，Y′），舊坐標系中的坐標為（X，Y），則多項式轉換的表達式為

若取轉換區域中心附近的一個點的坐標為（X0，Y0），式（13）可以表示為

實際應用中應注意的問題：

1）按式（13）若取二次多項式模型，計算到待定系數到a5和b5至少需要6個公共點坐標，當公共點多于6個時，利用最小二乘法解算待定系數。

2）多項式擬合法是一種采用平面坐標位置作為因變量的二維坐標轉換方法。當公共點分布較均勻且點間距離適當的情況下，所建立數學模型能夠達到較好轉換精度。

3）多項式擬合法的最大特點是以轉換點的高斯平面坐標為因變量，不需知道目標橢球似大地水準面差距ζ，就能夠實現不同坐標系間的二維坐標轉換，具有坐標轉換精度高、成果可靠、便于應用等優點，適合任意坐標系間平面坐標轉換計算。

4）如果需要轉換的區域較大，公共點較多，可以選擇更高階數的多項式進行轉換。

3 結束語

在多種測量坐標系統并存共用的今天，坐標轉換計算工作是測量計算的重要內容之一。需注意以下問題：

1）在選用坐標轉換模型時，要綜合考慮待轉換的兩個坐標系的基本信息、待轉區域的地理位置（距離央子午線的距離）、區域的面積、公共點的多少與分布等情況，來選擇適宜的坐標轉換模型。

2）對公共點的選擇，精度上要擇優選擇控制網的起算點及高精度控制點；其個數要多于模型要求的最少個數；公共點位置要分布均勻，包圍整個測區，在測區內部選定若干個均勻分布的公共點對坐標轉換精度進行檢核。

3）對于不同坐標系之間的坐標轉換，平面四參數轉換模型原理簡單，數值穩定可靠，但只適合于較小區域的坐標轉換。布爾莎七參數轉換模型為三維模型，在空間直角坐標系中，兩坐標系之間存在嚴密的轉換模型，由于理論比較嚴密，不存在模型誤差和投影變形誤差，因而它適合于任何區域的坐標轉換。

4）對于各局部坐標系間的轉換，當投影方式不同時，可采用多項式轉換模型。當投影方式相同時，可采用平面四參數轉換模型、布爾莎七參數轉換模型、三維七參數轉換模型；如果變換區域范圍較大，精度要求較高，可采用正形轉換。

5）由局部坐標系向地心坐標系的轉換時，多項式轉換模型是一種切實可行的方法。

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