二次B樣條修正VTEC多項式模型研究

周玉娟，岳桂昌

（河海大學 地球科學與工程學院，江蘇 南京 210098）

對于GPS等無線電衛星導航定位的用戶而言，電離層延遲誤差是影響導航定位精度和準確度的主要誤差源之一，電離層總電子含量及其變化不但是電離層形態學研究的重要資料，也是精密定位、導航和電波科學中電離層修正的重要參數［1］。

電離層VTEC多項式模型是一個廣泛用于模擬區域天頂方向電離層總電子含量（VTEC）時空變化的模型［2］。該模型忽略了VTEC的局部特性，限制了建模精度，也不利于分析建模方法對模型求解精度的影響。為此，本文基于數值逼近理論，提出了一種有利于克服多項式函數模型的上述不足和進一步提高TEC建模精度的新模型——電離層VTEC多項式展開模型和B樣條函數的組合模型。

在電離層VTEC多項式函數模型的解算過程中，擬合曲面的光滑度和逼近精確度之間存在著矛盾。這種矛盾的解決方法是首先得到一個比較粗糙的概略初值，通過對概略初值進行修正以得到更精確的逼近函數。在該模型的建模過程中，將VTEC分成概略初值和修正值兩部分，模型表達式為［3］

或

1 VTEC多項式模型求解概略值原理

多項式函數模型將VTEC看作是緯度差φ－φ0和太陽時角差S－S0的函數，用一個規則的曲面來擬合各穿刺點處的VTEC值，其具體表達式為［4］

式中：nmax，mmax為φ和S多項式的泰勒展開式中的最大維數，Enm為VTEC多項式函數模型的系數，φ0為測區中心點的地理緯度，φ為穿刺點或者星下點的地理緯度，S0為測區中心點在該時段中央時刻t0時的太陽時角，S為穿刺點或者星下點的太陽時角，t為觀測時刻（世界時），λ為穿刺點或者星下點的地理經度，λ0為測區中心點的地理經度。

利用載波相位建立VTEC的觀測方程為

式中：z′為地心至穿刺點方向與接收機至衛星方向的夾角，即穿刺點處的天頂距，bS，bR分別為載波相位觀測的衛星硬件延遲和接收機硬件延遲。

通常nmax取1～2，mmax取2～4，VTEC多項式函數模型對單層模型的高度H在計算中一般取300～500km。每個參考站上每觀測一顆衛星、一個歷元就有一個觀測方程，按最小二乘法解得各待定參數Enm和bS，bR，從而建立起該時段的電離層延遲模型。

2 二次B樣條模型求解修正值原理

根據B樣條曲面的定義，將修正部分用B樣條函數模型表示為

式中：mji＝2ji＋2，j1，j2為階數，dj1，j2，k1，k2為模型系數，φj1，j2，k1，k2（φ，S）為二維尺度函數，φ為穿刺點或者星下點的地理緯度，S為穿刺點或者星下點的太陽時角，φj1，j2，k1，k2（φ，S）可利用張量積方法展開為

尺度函數φj1，k1（φ），φj2，k2（S）可表示為二次樣條函數，即

其中可由式（9）推導得到

其中：tk為非減節點序列，k＝0，1，…，mj＋2。

為避免區域模型在區間［0，1］的首位節點處產生邊界效應，將前3個節點設置為0，最后3個節點設置為1，其余節點設置為等間距。組成節點向量［0，0，0，tj，0，tj，1，…，tj，mj＋1，tj，mj＋2，1，1，1］。這 就 意味著φj，k（x）的變量x的值位于0和1之間，所以S和φ需要做如下的歸化處理：

式中：Smin，Smax和φmin，φmax表示區域模型覆蓋的范圍。

于是，式（6）可轉換為

利用載波相位建立VTEC的觀測方程為

對于式（6）的B樣條函數修正模型，選擇mj1＝mj2＝2，方程有36個待估參數，通過2h的觀測數據即可建立對應的模型。

3 模型解算

通過式（5）、式（12）建立的模型誤差方程為

其中：待估參數為X，A為系數矩陣，P為權陣。

對于VTEC多項式模型，基于最小二乘原理直接解算，其解為

精度評定

在二次B樣條模型解算的過程中，由于GPS觀測數據采樣率較高以及模型構造的原因，方程呈現嚴重病態，使用最小二乘估計無法得出正確結果。綜合各種因素，采用基于L曲線法選取嶺參數對模型進行嶺估計解算，其解的表達式為

式中：k＞0為嶺參數，通過L曲線法求得，嶺估計的均方誤差為

4 模型試驗結果與分析

二次B樣條修正多項式模型的分析采用南京周邊的8個參考站，2009年年積日001的數據，以單站模式進行2h時間間隔進行VTEC計算。以NJLS和NJLT站為例，利用多項式函數模型、二次B樣條修正多項式模型解算的VTEC見圖1。

圖1 多項式函數模型及B樣條函數修正模型解算結果

圖1（a）、圖1（b）分別為NJLS和NJLT的多項式函數模型解算結果，圖1（c）、圖1（d）分別為NJLS和NJLT的B樣條函數修正模型的解算結果。可以看出，兩種模型的解算結果整體趨勢是一致的，在數值上也比較接近，而多項式函數模型解算的各時段VTEC存在明顯的不連續性。在經過B樣條函數修正后的VTEC可以使各時段間的不連續性得到改善。但由于B樣條函數修正模型是基于多項式函數模型結果的進一步修正，另外，由于觀測數據的質量等原因使得B樣條函數修正模型未能完全解決各時段間的VTEC的不連續性。對于各時段間VTEC不連續性的問題，本文采取各時段連接點的VTEC按解算精度取加權平均值。

由表1可知，B樣條函數修正模型的解算的VTEC精度要高于多項式函數模型解算的VTEC精度。采用VTEC的B樣條函數修正模型不僅可以更好地模擬各時段的VTEC，而且可以有效緩解VTEC的時段間的不連續性。

表1 多項式函數模型與B樣條函數修正模型解算精度 TECU

5 結束語

B樣條函數修正模型將VTEC分為概略值和修正值兩部分進行解算。它保持了VTEC的局部特性，因而精度和可靠性均好于多項式函數模型，特別是可以克服利用多項式函數模型擬合區域VTEC時可能出現負值等情況，并且解決了擬合曲面的光滑度和逼近精確度之間存在的矛盾。采用L曲線法對模型進行嶺估計解算，效果良好。B樣條函數修正模型更能反映VTEC的實時性的特征，同時可以緩解多項式函數模型解算的各時段VTEC的不連續性。

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