高斯－克呂格投影反解的數(shù)值變換方法分析

孫衛(wèi)新，馬 俊，2，薛志偉，3，王海洋

（1.信息工程大學(xué) 測繪學(xué)院，河南 鄭州 450052；2.61363部隊(duì)，陜西 西安 710054；3.63710部隊(duì)，山西 岢嵐036301；4.61892部隊(duì)，廣東 汕頭 515071）

高斯－克呂格投影亦稱橫軸墨卡托投影，于1936年由國際大地測量和地球物理聯(lián)合會(huì)制定［1］，具有等角投影的性質(zhì)、中央經(jīng)線與赤道投影后為直線且為投影的對稱軸、中央經(jīng)線投影后沒有長度變形的特性。我國現(xiàn)有的比例尺大于1∶50萬的地形圖和工程測量平面坐標(biāo)系統(tǒng)大都采用該投影。大比例尺系列地形圖一般具有規(guī)范的中央經(jīng)線和投影分帶標(biāo)準(zhǔn)，而在工程測量和針對某一制圖區(qū)域的實(shí)踐應(yīng)用中為了降低高斯－克呂格投影帶來的長度變形，經(jīng)常將中央經(jīng)線選在制圖區(qū)域的中心，并且分帶的標(biāo)準(zhǔn)及采用的橢球體參數(shù)也會(huì)有所不同。若要對現(xiàn)有采用高斯－克呂格投影的地圖資料進(jìn)行反解變換，一般采用精度較高的解析變換法。但是當(dāng)不確定原圖投影采用的中央經(jīng)線和橢球體參數(shù)的情況下，通常采用數(shù)值變換的方法來解決這一問題［2］。

地圖投影的數(shù)值變換方法在空間數(shù)據(jù)處理中具有廣泛的應(yīng)用［3］。它的核心是構(gòu)造逼近函數(shù)，不同的變換方法在多項(xiàng)式逼近的穩(wěn)定性與變換精度方面存在較大的差別。同樣的變換方法，不同的共同點(diǎn)分布、多項(xiàng)式次數(shù)等因素也會(huì)對變換精度及穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。本文針對高斯－克呂格投影的反解，通過具體實(shí)驗(yàn)分別采用不同的數(shù)值變換方法進(jìn)行變換，并對各方法變換的精度及穩(wěn)定性進(jìn)行對比分析。

1 地圖投影數(shù)值變換方法

地圖投影數(shù)值變換方法分為數(shù)值變換的一般方法和等角投影的數(shù)值變換方法。數(shù)值變換的一般方法主要有二元n次多項(xiàng)式和乘積型插值多項(xiàng)式，二元n次多項(xiàng)式多采用二元三次多項(xiàng)式，乘積型插值多項(xiàng)式多采用二元雙二次多項(xiàng)式。等角投影的數(shù)值變換方法主要包括正形多項(xiàng)式法、差商法、差分法與有限元法，其中正形多項(xiàng)式法因共同點(diǎn)需求數(shù)目少、穩(wěn)定性高、易于編程實(shí)現(xiàn)等優(yōu)勢成為以上四種方法中應(yīng)用最廣泛的方法。數(shù)值變換方法中多項(xiàng)式的求解包括直接求解和最小二乘法求解兩種方式。

1.1 數(shù)值變換的一般方法

1.1.1 二元三次多項(xiàng)式

二元三次多項(xiàng)式可描述為

式中：（φ，λ）為地理坐標(biāo)，（x，y）為原投影坐標(biāo)，aij，bij（i＝0，1，2，3；j＝0，1，2，3）為多項(xiàng)式系數(shù)。

多項(xiàng)式的求解所需共同點(diǎn)的最少數(shù)量為10個(gè)，概括為線性方程組的求解如下：

直接求解式（2）中A，e，g分別為

最小二乘法求解時(shí)，根據(jù)最小二乘法的原理和條件經(jīng)整理后可得A，e，g分別為

1.1.2 二元雙二次多項(xiàng)式

二元雙二次多項(xiàng)式的表達(dá)式為

式中：（φ，λ）為地理坐標(biāo)，（x，y）為原投影坐標(biāo)，aij，bij（i＝0，1，2；j＝0，1，2）為多項(xiàng)式系數(shù)。

二元雙二次多項(xiàng)式的求解至少需要9個(gè)共同點(diǎn)，其解法與二元三次多項(xiàng)式類似，可同樣概括為線性方程組按照直接求解或最小二乘法求解的方式進(jìn)行求解。

1.2 等角投影數(shù)值變換的正形多項(xiàng)式方法

以四次正形多項(xiàng)式為例說明正形多項(xiàng)式的求解。對于正形多項(xiàng)式的直接求解，在變換區(qū)域內(nèi)選取展開點(diǎn)0的坐標(biāo)（x0，y0）和（B0，l0）與四組共同點(diǎn)坐標(biāo)（xi，yi）和（Bi，li）（i＝1，2，3，4）。按正形多項(xiàng)式的性質(zhì)可得線性方程組［4］

式（6）寫成矩陣形式為

式中：

將展開點(diǎn)和4個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)的緯度B換算為等量緯度q，代入式（7）求解系數(shù)ai，bi，將求解系數(shù)代入式（6）即得高斯－克呂格投影的反解公式。求得的（q，l）需將等量緯度q換算為相應(yīng)的地理坐標(biāo)B。

若用最小二乘法進(jìn)行求解，已知展開點(diǎn)0坐標(biāo)（x0，y0）和（B0，l0）及變換區(qū)域內(nèi)m（m＞4）個(gè)共同點(diǎn)坐標(biāo)（xi，yi）和（Bi，li）（i＝1，2，3，4，…，m）。由式（6）根據(jù)最小二乘法原理和條件經(jīng)變換后可得與式（7）相同的形式，其中A，b，i，k變?yōu)?/p>

2 實(shí)驗(yàn)與分析

實(shí)驗(yàn)中地圖資料采用的高斯－克呂格投影為6°分帶，變換區(qū)域范圍為經(jīng)度＋0°～＋6°，緯度＋20°～＋30°，參考橢球體選取克拉索夫斯基橢球［5］，各方法中檢查點(diǎn)最大點(diǎn)位誤差統(tǒng)一精確到小數(shù)點(diǎn)后第9位。以visual studio 2008為開發(fā)平臺(tái)，基于C#語言對以上數(shù)值變換方法進(jìn)行了具體實(shí)現(xiàn)。

二元三次多項(xiàng)式和二元雙二次多項(xiàng)式已知點(diǎn)分布的兩種方案如圖1和圖2所示。圖1與圖2中二元三次多項(xiàng)式的直接求解與最小二乘法求解以點(diǎn)1～10為已知點(diǎn)，二元雙二次多項(xiàng)式的直接求解與最小二乘法求解以點(diǎn)1～9為已知點(diǎn)。按圖2的分布方案，變換的結(jié)果產(chǎn)生“畸變”，導(dǎo)致反解結(jié)果錯(cuò)誤，原因在于共同點(diǎn)的分布過多的對稱于中央經(jīng)線。按圖1的分布方案進(jìn)行反解，圖1中點(diǎn)11～20檢查點(diǎn)的最大點(diǎn)位誤差如表1所示。

圖1 分布方案1

圖2 分布方案2

表1 數(shù)值變換一般方法檢查點(diǎn)最大點(diǎn)位誤差

由表1可以看出，采用最小二乘法進(jìn)行二元三次多項(xiàng)式和二元雙二次多項(xiàng)式的求解精度要高于直接求解，但是在已知點(diǎn)數(shù)目為所需最少共同點(diǎn)數(shù)目的情況下采用最小二乘法進(jìn)行求解的優(yōu)勢不是特別明顯。二元三次多項(xiàng)式的反解精度高于二元雙二次多項(xiàng)式，并且通過對實(shí)驗(yàn)過程中10個(gè)檢查點(diǎn)的綜合對比，發(fā)現(xiàn)二元三次多項(xiàng)式的穩(wěn)定性也要優(yōu)于二元雙二次多項(xiàng)式。

等角投影正形多項(xiàng)式方法的已知點(diǎn)分布的兩種方案如圖2、圖3所示。圖2分布方案中點(diǎn)5為中心點(diǎn)。四次正形多項(xiàng)式的直接求解以點(diǎn)1、3、7、9為展開點(diǎn)，三次正形多項(xiàng)式的直接求解以點(diǎn)2、7、9為展開點(diǎn)，四次和三次正形多項(xiàng)式的最小二乘法求解以除中心點(diǎn)以外的9個(gè)點(diǎn)為其他共同點(diǎn)。圖3分布方案中點(diǎn)1為中心點(diǎn)。四次正形多項(xiàng)式的直接求解以點(diǎn)2、4、8、10為展開點(diǎn)，三次正形多項(xiàng)式的直接求解以點(diǎn)3、8、10為展開點(diǎn)，四次和三次正形多項(xiàng)式的最小二乘法求解以點(diǎn)2～10為其他共同點(diǎn)。圖3分布方案中點(diǎn)11～20為以上兩種分布方案的檢查點(diǎn)。檢查點(diǎn)最大點(diǎn)位誤差如表2所示。

圖3 分布方案3

由表2可以看出，共同點(diǎn)數(shù)目較多的情況下采用最小二乘法進(jìn)行正形多項(xiàng)式求解的精度明顯高于直接求解。當(dāng)共同點(diǎn)分布過多的對稱于中央經(jīng)線時(shí)會(huì)降低求解的精度，但有效地避免了數(shù)值變換的一般方法中同樣的已知點(diǎn)分布方案所導(dǎo)致的結(jié)果錯(cuò)誤。對于高斯－克呂格投影的反解變換，四次正形多項(xiàng)式的精度要明顯高于三次正形多項(xiàng)式。

表2 正形多項(xiàng)式方法檢查點(diǎn)最大點(diǎn)位誤差

3 結(jié)束語

本文通過對上述各數(shù)值變換方法的實(shí)現(xiàn)與結(jié)果分析，發(fā)現(xiàn)采用數(shù)值變換方法進(jìn)行高斯投影反解對共同點(diǎn)的分布狀況要求較高，應(yīng)盡量避免共同點(diǎn)較多對稱于中央經(jīng)線，特別是數(shù)值變換的一般方法。若不確定現(xiàn)有地圖資料的中央經(jīng)線，則要盡量避免已知點(diǎn)對稱于圖幅中部縱軸線。等角投影正形多項(xiàng)式方法反解的精度和穩(wěn)定性都要優(yōu)于數(shù)值變換的一般方法。采用最小二乘法能有效地提高反解的精度，降低對共同點(diǎn)原始數(shù)據(jù)的依賴。因此，在利用數(shù)值變換方法進(jìn)行高斯投影反解應(yīng)選擇正形多項(xiàng)式方法，并且在已知共同點(diǎn)數(shù)目允許的情況下盡量選擇四次正形多項(xiàng)式并以最小二乘法進(jìn)行求解。

［1］浦天宏，婁雅斌.GIS采用高斯－克呂格投影技術(shù)的研究［J］.鞍山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，10（2）：38－41.

［2］呂曉華，劉宏林.地圖投影數(shù)值變換方法綜合評(píng)述［J］.測繪學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，19（2）：150－153.

［3］李國建，胡鵬.通用的地圖投影數(shù)值變換［J］.地球信息科學(xué)，2001（4）：61－65.

［4］楊啟和.地圖投影變換原理與方法［M］.北京：解放軍出版社，1990.

［5］李國藻，楊啟和，胡定荃.地圖投影［M］.北京：解放軍出版社，1991.