基于Maxwell電磁論的波動方程與光線軌跡方程

郭守月,周 倩,袁興紅,穆姝慧,馮克成

(1.安徽農業大學 理學院,合肥 230036;2.長春理工大學 理學院,長春 130022)

根據研究問題的差異可將光學分為幾何光學與物理光學,物理光學又分為波動光學和量子光學[1],幾何光學主要用光線概念研究光的傳播現象,其規律和公式可由波動方程在光波長趨于零的近似條件下獲得.

本文以Maxwell(方程組)電磁論為基礎推導電磁場與電介質相互依存的微分方程式.分析該微分方程式表明,波動光學與幾何光學統一于Maxwell電磁論.

1 電磁現象的基本規律——Maxwell方程組

電磁波(又稱電磁輻射)由同相振蕩且互相垂直的電場矢量E與磁場矢量H在空間中以波的形式運動,其傳播方向垂直于E和H構成的平面,即沿E×H方向傳遞能量,如圖1所示.

圖1 電磁波的傳播示意圖Fig.1 Diagram of the propagation of electromagnetic wave

當電流密度矢量J、電位移矢量D、磁感應強度矢量B和磁場矢量H在空間處處連續可微時,其對時空導數間的關系,即Maxwell方程組的微分形式為:

其中:ρ為電荷密度；D=εE,ε為介質的電容率;B=μH,μ為介質的磁導率.

2 光波動方程式的推導

當光在理想的變折射率介質(J=ρ=0)中傳播時,將式(2)代入式(1)再取旋度可得

2E-με(lnμ)×E-(·E)=0,

(5)

利用

×(εE)=ε(·E)+(ε)×E

和

××E=(·E)-2E,

當ρ=0時,由式(3)可得

·D=ε·E+E·ε=0.

(6)

將式(6)代入式(5)得

2E-με(lnμ)×E-(E·lnε)=0.

(7)

若介質是均勻的,即磁導率與電容率的對數lnμ和lnε為常量,則lnμ=lnε=0,此時式(7)(對H分量同理)變為

(8)

3 光線軌跡方程式的推導

3.1 程函方程的推導 程函方程(又稱幾何光學方程)是從幾何曲線的角度反映傳輸光線遵循的數學方程式.對一般的時諧場,式(8)的解為

(9)

式(9)右邊的實部表示電場和磁場的振動方程,其中:jm為虛數單位;ω為圓頻率;t為時間.

對電導趨于零的理想介質E0和H0是位置的復向量函數,且滿足Maxwell方程組的微分形式：

由式(10)～(13)可得定態波動方程[2-3]2E0+κ2E0=0(磁場分量H0同理),通常稱為Helmholtz方程，其中為光在介質中的波數.Helmholtz方程的解(忽略時間項)為

E0(r)=e(r)ejmκ0S(r),H0(r)=h(r)ejmκ0S(r),

(14)

將式(14)中的電場分量(磁場分量同理)代入式(9)后再代入式(7)可得

將式(15)分為如下兩種情況：

1) 當光波長λ0→0時,式(15)左邊后兩項趨于零；

2) 在線性各向同性均勻介質中傳播的均勻平面波e(r),h(r),μ,ε均為常量,式(15)左邊后兩項為零.

因此由第一項可得

n2-(S)2=0, 或|S|=n,

(16)a

其矢量形式為

S=nτ.

(16)b

3.2 矢量形式光線方程的推導 由式(16)b得

(17)

對式(17)兩邊求導得

(18)

式(18)即為光線方程的矢量形式.

圖2 變折射率介質中的彎曲光線Fig.2 Bent light ray in an inhomogeneous medium

3.3 標量形式光線方程的推導 矢量形式的微分方程是非線性的,一般條件下不易求解.由于實際應用中多為二維情形[4-7],因此可設

y=y(x),

n=n(x,y).

如圖2所示,其中光線ab與等相面Σ(圖中虛線部分)正交于N點.從N點到M點曲線元ds的曲率中心為C,曲率半徑為R,α為N和M兩點處切線間的夾角.τ和τn分別表示曲線上某點的切線方向與法線方向的單位矢量.將弧長公式ds=Rdα代入單位矢量

可得

(19)

由式(18)和式(19)得

(20)

將式(20)兩邊點乘τn得

(21)

n=0,

(22)

其中：y′和y″分別為函數y對坐標x的一階導數和二階導數;nx和ny分別為折射率函數對坐標x和y的偏導數.式(22)與文獻[8]結果相符,該方程即為光線方程.

綜上,本文探討了波動光學與幾何光學的關聯性.結果表明:幾何光學可作為波動光學的推論,即幾何光學是波動光學理論在理想條件下的應用；在傳播過程中體現了光的波動性與光的幾何光線傳播特性相互依存的關系.

[1] 蔡履中.光學 [M].北京：科學出版社,2007：1.

[2] 胡友秋,程福臻.電磁學與電動力學(下) [M].北京：科學出版社,2010：97.

[3] GUO Shou-yue,YUAN Xing-hong,MU Shu-hui,et al.The Maxwell’s Equations and Ray Optics in Gradient Index Media [J].Journal of Northeast Normal University:Natural Science Edition,2011,43(4)：72-75.(郭守月,袁興紅,穆姝慧,等.GRIN(Gradient Index)介質中的Maxwell方程組與光線光學 [J].東北師大學報：自然科學版,2011,43(4)：72-75.)

[4] GUO Shou-yue,FENG Ke-cheng.Study on Media Refractive Indexes and Equations of Light Rays and Their Relationship [J].Journal of Changchun University of Science and Technology:Natural Science Edition,2006,29(4)：122-124.(郭守月,馮克成.媒質中的光線方程和媒質折射率的關系研究 [J].長春理工大學學報:自然科學版,2006,29(4)：122-124.)

[5] QIAO Ya-tian.The Solution of the Ray Path Differential Equation in the Axial Gradient Index Media [J].Acta Optica Sinica,1984,4(1)：89-91.(喬亞天.一些軸向梯度折射率介質內的光線微分方程的解 [J].光學學報,1984,4(1)：89-91.)

[6] ZHANG Shu-zi,HUANG Bao-xing.Ray Vector and Ray Equation [J].Journal of Central China Normal University:Natural Sciences,1991,25(1):30-33.(張蜀子,黃報星.光線矢量與光線方程 [J].華中師范大學學報:自然科學版,1991,25(1)：30-33.)

[7] 同濟大學應用數學系.高等數學 [M].北京：高等教育出版社,2002：167-170.

[8] GUO Shou-yue,CAO Chun-bin,SUN Zhao-qi.Refractive Indices of Medium by Light-Ray Optics Methods [J].Journal of Jilin University:Science Edition,2008,46(5)：967-970.(郭守月,曹春斌,孫兆奇.介質折射率的光線光學方法 [J].吉林大學學報：理學版,2008,46(5)：967-970.)