p維TVPAR模型中參數(shù)的極大似然估計(jì)

施三支,閆 麗,王澤升

(1.長春理工大學(xué) 理學(xué)院,長春 130022;2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長春 130012)

時(shí)間序列模型,特別是隨時(shí)間變化參數(shù)的向量自回歸(TVP-VAR)模型,在經(jīng)濟(jì)、金融等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-4].對(duì)隨時(shí)間變化參數(shù)的自回歸模型(TVPAR模型),目前采用的普遍方法是將所有的參數(shù)(包括隨機(jī)誤差)都視為隨機(jī)游動(dòng)過程.由于隨機(jī)游動(dòng)過程是非平穩(wěn)的,因此,當(dāng)隨機(jī)誤差被視為隨機(jī)游動(dòng)過程在分析金融數(shù)據(jù)的長期變化時(shí)是不可靠的.文獻(xiàn)[5-6]用Markov鏈Monte Carlo(MCMC)方法討論了TVP-VAR模型中隨機(jī)誤差不變的情形.本文主要考慮p維TVPAR模型,當(dāng)變系數(shù)仍為系數(shù)已知的時(shí)間序列,而方差為同方差,且與p維時(shí)間序列模型的誤差方差均為已知時(shí),采用極大似然估計(jì)方法,對(duì)p維TVPAR模型中的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì),給出了估計(jì)的顯式表達(dá)式,并進(jìn)行了模擬計(jì)算.

p維TVPAR模型具有如下形式：

(1)

這里{xt,t=1,2,…,n}為可觀察數(shù)據(jù).本文要求模型滿足下列條件：

2)βi,ui是系數(shù)參數(shù),且-1<βi<1(i=1,2,…,p)未知,-1

3)βt,i(i=1,2,…,p;t=1,2,…,n)為不可觀測數(shù)據(jù);βt,1,βt,2,…,βt,p不相關(guān)；

4)β0,i=0(i=1,2,…,p);x0=0.

1 模型的極大似然估計(jì)

由模型(1)知:

記β=(β1,β2,…,βp)T,u=(u1,u2,…,up)T.由假設(shè)條件1)知

即有

(2)

根據(jù)式(2)知,似然函數(shù)為

(3)

用類似的方法可以討論模型(1)的平穩(wěn)性：記Xt=(xt,xt-1,…,xt-p+1)T,Xt是p×1維隨機(jī)向量.記Bt=(βt,1,βt,2,…,βt,p),則Bt為1×p維AR(1)過程,Bt各元素之間相互獨(dú)立.記U=diag(u1,u2,…,up),ηt=(ηt,1,ηt,2,…,ηt,p),將模型(1)改寫為如下形式:

Xt=(M+Dt)Xt-1+εt,Dt=Dt-1U+μt,

(4)

2 模擬計(jì)算

表1 λ=0.1時(shí)不同p值下參數(shù)β的真值與估計(jì)值的比較Table 1 True values and estimated values of β under different p when λ=0.1

表2 λ=0.01時(shí)不同p值下參數(shù)β的真值與估計(jì)值的比較Table 2 True values and estimated values of β under diffrent p when λ=0.01

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(責(zé)任編輯：趙立芹)

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