一 類 發 展 包 含 的 端 點 問 題

王俊彥,程 毅,孫佳慧

(1.長春工業大學人文信息學院 數學教研部,長春 130122;2.渤海大學 數學系,遼寧 錦州 121013;3.空軍航空大學 基礎部,長春 130022)

近年來,關于發展方程及包含反周期問題的研究已有許多結果[1-6].文獻[7]在集值函數取非凸值的情況下,給出了發展包含解的存在性.本文在文獻[7]假設條件的基礎上,研究反周期發展包含端點解的存在性.

設H是可分的Hilbert空間,V是H的稠子集,具有自反可分的Banach空間結構,且連續地緊嵌入H.V等同于H及其對偶,因此有V→H→V*,其中所有嵌入都是連續和稠密的.設I=[0,T]是一個閉區間,X表示Lp(I,V),X*表示Lq(I,V*),其中p>1且1/p+1/q=1.‖·‖X表示X中的范數,(·,·)表示空間H的內積,〈·,·〉表示(V,V*)中的對偶對,〈〈·,·〉〉表示(X,X*)中的對偶對,Pk(R)表示實數集所有非空緊子集的全體.

設T=[0,b],考慮如下發展包含的反周期邊值問題：

(1)

其中:A:T×V→V*是一個非線性半連續算子;B:V→V*是一個有界線性自伴算子,D(B)緊嵌入H;extG(t,x)表示集值映射G:T×H→2V*{?}的端點集.

假設：

(H2) 對于每個t∈T,A(t):V→V*一致單調且半連續,即存在一個常數C1≥0,使得對于所有的x1,x2∈V,有

‖A(t,x)‖V*≤a(t)+C2‖x‖V, a.e.T；

不失一般性,對于所有的t∈T,假設A(t,0)=0.為研究問題(1)的端點解,本文在文獻[7]假設條件的基礎上,進一步加強了集值函數G(t,x)的連續性.不僅要求G(t,x)上半連續,還要求G(t,x)是下半連續的.

再假設H(F)：G:T×H→Pkc(V*) 是一個集值映射,滿足：

1) 對幾乎所有的t×x∈T×V,(t,x)→G(t,x)是圖像可測的；

2) 對幾乎所有的t∈T,x→G(t,x)是連續的；

定理1若假設(H1)～(H4)和H(F)成立,則問題(1)存在解x∈Wpq(T).

證明:定義算子L(x)=x′+A(t,x)+Bx,則L:X→X*是一一映射[6],從而定義L-1:X*→X是存在的.

-x′+(A(t,xn)-A(t,x))=hn-h-(Bxn-Bx),

(2)

對式(2)取內積,再積分得

因xn(0)-x(0)=-xn(b)+x(b),則

根據假設(H2)和‖·‖H≤λ‖·‖V知,

因此,‖xn-x‖H→0,a.e于T.從而,存在常數η∈Tα(這里α的側度為零),使得當n→∞時,‖xn(η)-x(η)‖H→0.于是

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(責任編輯：趙立芹)

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