Josephson結陣列中的超混沌控制

馮 玉 玲

(長春理工大學 理學院,長春 130022)

Josephson結廣泛應用于制備工藝和超導材料等領域[1],文獻[2-3]在電阻電容分路的Josephson結(RCSJJ)模型[4-5]基礎上,提出了電阻電容電感分路的Josephson結(RCLSJJ)模型;文獻[6-11]研究了RCLSJJ模型的動力學特性;文獻[12-13]利用Josephson結陣列獲得了較大的輸出功率;文獻[14]用電阻分路結模型研究了Josephson結陣列系統中的自同步；文獻[15]數值研究了由電阻分路結組成陣列中的時空混沌；文獻[16]研究了由電阻分路結組成陣列中的絕熱混沌；文獻[17]數值研究了電阻電容分路結組成的陣列.本文研究由RCLSJJ組成陣列中的超混沌控制,根據周期信號干擾法[18],通過在原來直流偏置電流中增加交變電流,實現該陣列系統中的超混沌控制.

圖1 Josephson結陣列結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of Josephson junction array

1 Josephson結陣列模型

本文研究的陣列包含2個RCLSJJ,如圖1所示,其中R為耦合電阻,Idc為直流電流源.根據Kirchhoff定律和Josephson方程,當忽略噪聲時,圖1所示陣列的動力學方程[3]為

(1)

其中:n=1,2表示陣列中2個Josephson結的序號;γn和Vn分別為第n個Josephson結的超導序參量相位差和結電壓；?為Planck常數;e為電子電荷;ICn,RVn,Cn分別為第n個Josephson結的臨界電流、非線性電阻和結電容；Rsn,Ln,Isn分別是第n個Josephson結的分路電阻、分路電感和分路電流；IR為流過電阻R的電流.

本文設計的陣列中2個結對應參數相等,即IC1=IC2=IC0,R1=R2=R0,C1=C2=C0,Rs1=Rs2=R0,L1=L2=L0.因此方程組(1)的無量綱形式為:

(2)

2 Josephson結陣列系統中的超混沌

圖2 陣列電壓υ1+υ2的時間序列(A)及對應的功率譜(B)Fig.2 Time series (A) and corresponding power spectra (B) of array voltage υ1+υ2

由圖2(A)可見,電壓波形隨機變化,即非周期性變化；由圖2(B)可見,其功率譜為寬帶背景噪聲,因此陣列系統處于混沌狀態.用Wolf方法[19]計算與圖2對應的陣列Lyapunov指數譜,結果為(0.089 0,0.018 9,-0.007 1,-0.017 3,-0.682 8,-0.711 7),其中兩個是正的,表明陣列系統處于超混沌狀態.

3 Josephson結陣列中超混沌控制的實現

3.1 超混沌控制方案

本文利用弱周期干擾法[18]將外部交變電流作為一個周期干擾信號加到圖1原來的直流偏置電流中,此時方程組(1)的第一個方程變為

其中:Idc為原來的直流偏置電流；Iac和ωt分別為后加作為周期干擾信號外部交變電流的幅值和角頻率,該干擾信號的歸一化強度和頻率分別為m=Iac/IC0和f=ωt/ωc.

因此被控制后陣列系統的歸一化動力學方程為

(3)

3.2 超混沌控制的數值模擬和分析

本文分兩種情況研究陣列系統的超混沌控制.先以參數m作為控制參數,取參數f=0.28,其他參數值與圖2參數值相同,數值求解方程組(3),所得陣列系統的Lyapunov指數λ1和λ2及電壓分岔圖如圖3所示.

圖3 隨m變化的Lyapunov指數λ1和λ2(A)、陣列分岔圖(B)及陣列中2個單結的分岔圖(C),(D)Fig.3 Lyapunov exponents λ1 and λ2 versus m (A),bifurcation diagram of the array versus m (B) and the bifurcation diagrams of the first and second individual junctiona versus m (C),(D)

由圖3(A)可見,在0.17

為了展示控制超混沌的效果,根據圖3,分別取m=0.37,1.0,1.67,其他參數值和圖3參數值相同,數值求解方程組(3),得到陣列電壓的時間序列,如圖4所示,其中(A)～(C)分別表示該陣列處于4,5,6周期狀態.由圖4可見,通過適當調節干擾信號強度m值,即可將圖2所示的陣列超混沌態控制進入具有不同周期數的不同周期狀態.

圖4 參數m取不同值時陣列電壓的時間序列Fig.4 Time series of the array voltage with different m values

為了闡明圖4中3個周期狀態的振蕩性質,本文給出了與其對應陣列中2個單結間的相位關系,如圖5(A)所示.由圖5(A)可見,3個周期狀態均有γ1(τ)=γ2(τ),即同相位狀態[20].圖5(B)～(D)分別給出了和圖4(A)～(C)對應的2個單結及陣列電壓的時間序列.由圖5(B)～(D)可見,2個單結電壓振蕩波形與陣列電壓的振蕩波形同步變化,陣列電壓的幅值是2個單結電壓幅值的和.因此弱周期干擾法控制陣列中的超混沌可使其進入同相位的周期狀態,從而使陣列周期狀態的輸出功率增加.

圖5 2個單結的相位關系(A)及與圖4(A)～(C)對應陣列和單結電壓的時間序列(B)～(D)Fig.5 Phase relationship (A) between two individual junctions time series (B)～(D) of the voltage of the array and indiviual junctions in the three states mentioned in Fig.4 (A)～(C)

再以干擾信號的頻率f作為控制參數,取干擾信號的強度m=0.7,其他參數值與圖2參數值相同,數值求解方程組(3),得到陣列系統的Lyapunov指數λ1和λ2及分岔圖,如圖6所示.由圖6(A)可見,在0.150 1

圖6 隨f變化Lyapunov指數λ1 和λ2 (A)、陣列分岔圖(B)及2個單結的分岔圖(C),(D)Fig.6 Lyapunov exponents λ1 和λ2 versus f (A),bifurcation diagram of the array versus f (B), and the bifurcation diagrams (C),(D) of the first and second individual junctions versus f

為說明該陣列系統能被控制進入具有不同周期數的同相位周期狀態,根據圖6(B)～(D),分別取f=0.4,0.56,1.0,對應陣列電壓的時間序列如圖7所示,其中圖7(A)～(C)分別表示該陣列系統處于4,3,2周期狀態.由圖7可見,通過適當選取干擾信號頻率f值,即可控制陣列系統中的超混沌態,使其進入具有不同周期數的不同周期狀態.

圖7 陣列電壓在不同f值時不同周期狀態的時間序列Fig.7 Time series of the array voltage in different periodic states with diferent f values

為了討論圖7中3種周期狀態的振蕩性質,本文計算了與其對應陣列中2個單結的相位關系,結果均為γ1(τ)=γ2(τ),即同相位狀態[20],因此圖7所示的3種周期狀態均為同相位周期狀態.

綜上,本文對于由2個RCLSJJ和耦合電阻構成的陣列,在選擇參數范圍內給出了其超混沌行為.根據弱周期信號干擾理論提出了控制該陣列系統的超混沌方案.數值結果表明,該方案可有效控制陣列系統中的超混沌,使其進入穩定的周期狀態,通過適當調節干擾信號的幅值和頻率即可將陣列控制在不同的周期狀態,且均為同相位周期狀態,從而增大了陣列周期振蕩的輸出功率.

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