獨立情形下一階矩收斂的精確漸近性的注記

孫曉祥,楊麗娟

(吉林農業科技學院 文理學院,吉林 吉林 132101)

目前,關于隨機變量列重對數律、完全收斂及矩重對數律的精確漸近性質已有許多研究結果[1-8].文獻[9]給出了關于獨立和NA列部分和精確漸近性的一般形式,揭示了擬權函數、邊界函數、收斂速度和極限狀態間的密切聯系.

本文若無特別說明,均以C表示不同的正常數,N表示標準正態隨機變量.

定理1[10]對于任意的d>0和β>0,

成立的充要條件是

EX=0,EX2=σ2.

(1)

本文對于普通的擬權函數和邊界函數,將上述結果推廣到如下更一般的形式.

定理2設0

1)g(x)↑∞,x→∞;

則

(2)

成立的充要條件是式(1)成立.

注1由于在上述級數中增加或減少有限項不改變結果,故為簡便,以下一律從n=1開始記,并假設g(x)和g′(x)(或ψ(x)等)在[1,∞)上有定義并單調,不影響g(x)的普遍性.

注2滿足定理2條件的g(x)有很多種,如xα,logβx,loglogγx,α>0,β>0,γ>0等,但指數函數不在此列.

注3在定理2中,令g(x)=(loglogx)(2β+d)/2,s=d/(2β+d)(其中:β>0;d>0),即可得到文獻[10]的定理1,從而推廣了已有的結果.

令a(ε)=g-1(Mε-1/s),M為任意正實數,g-1(x)為g(x)的反函數.

要證明式(1)?式(2),此時不妨假設σ=1.

命題1在定理2的條件下,有

證明: 由注1知,可以在[0,1)中對g(x)作適當的補充定義,使g′(x)保持單調性.做變量代換t=εgs(y),得

由定理2中條件1)和2),有

事實上,當ψ(x)單調非增時,式(3)顯然成立;當ψ(x)單調非降時,由定理2中條件2)知,對?δ>0,存在正整數κ,使得當x>κ時,總有ψ(x)≤(1+δ)ψ(x-1),從而

令δ↓0,即得式(3)中右邊不等式.同理可得式(3)左邊不等式.命題1證畢.

命題2在定理2的條件下,有

(4)

由Δn的定義及Markov不等式知

證明: 注意到定理2中條件2),類似命題1,可得

命題4在定理2的條件下,有

(5)

證明: 由引理1,可得

其中T>1/(2s).

首先考慮K2,注意到01/s>1,

其次考慮K1,為方便不妨假設T=1,

證畢.

下面證明定理2.由命題1～命題4及三角不等式可證得式(1)?式(2).下面證明式(2)?式(1).

首先證明EX=0.由式(2),對于任意的ε>0,有

因此EY2≤4σ2.從而令K→∞,有EX2<∞.

最后,同理可證

與式(2)相比較,可得EX2=σ2.

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