離散周期系統(tǒng)多重正解的存在性

張 麗 娟

(白城師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 白城 137000)

0 引言及預(yù)備知識(shí)

目前,關(guān)于非線性離散周期問題的研究已有許多結(jié)果[1-8].本文考慮周期系統(tǒng):

(1)

其中:

ak(i+T)=ak(i);fk(i+T,x,y)=fk(i,x,y);k=1,2;T>0.

(2)

本文討論系統(tǒng)(1)非線性項(xiàng)在x=0處具有奇性,在x=+∞處是超線性的,利用Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理證明了系統(tǒng)(1)在一定的條件下存在周期正解.

1)x≠λφx,?λ∈[0,1],x∈K∩?Ωr;

2) 存在ψ∈K{0},使得x≠φx+δψ,?x∈K∩?ΩR,δ≥0.

注1在引理1中,若將1),2)分別替換為下列條件,則φ在K∩(x∈X:r<‖x‖

1 主要結(jié)果

假設(shè)條件:

(H0)fk:Z(-∞,+∞)×[0,+∞){0}→[0,+∞)是連續(xù)的,ak(i)∈C(Z(-∞,+∞),(0,+∞)),ak(i+T)=ak(i)fk(i+T,x,y)=fk(i,x,y),k=1,2,T>0;

(3)

(H3) 存在p>0,使得當(dāng)σ1p≤x≤p,σ2p≤y≤p時(shí),fk(i,x,y)

(H4) 存在p>0,使得當(dāng)σ1p≤x≤p,σ2p≤y≤p時(shí),fk(i,x,y)>ak(i),0≤i≤T-1.

因此,求解離散方程組(1)的周期正解等價(jià)于求解下列方程組的周期正解:

(4)

注意到式(4)等價(jià)于方程(x,y)=φ(x,y),其中φ由下式定義:

?(x,y)∈X.

顯然,φ是連續(xù)的且為X上的全連續(xù)算子.

設(shè)K1={x∈Y:x(i)≥0且x(i)≥δ1‖x‖},K2={y∈Y:y(i)≥0且y(i)≥δ2‖y‖},K=K1×K2,其中δk(k=1,2)由式(3)定義,易證K是X中的錐.

引理2假設(shè)條件(H0)成立,則φ(K)?K.

證明：對(duì)任意的x∈K1,有

則(φx)(i)≥(A1/B1)‖φx‖=δ1‖φx‖,類似地有(φy)(i)≥(A2/B2)‖φy‖=δ2‖φy‖,因此φ(x,y)∈K.

定理1假設(shè)條件(H0),(H1),(H3)成立,則方程組(1)至少有兩個(gè)正解(x1,y1),(x2,y2),且0<(x1,y1)

證明：由(H1)的第一個(gè)不等式知,存在00,使得fk(i,x,y)≥ak(i)(1+ε),0≤x,y≤r,k=1,2.令ψ=(1,1),往證

u≠φu+δψ, ?u∈K∩?Ωr,δ≥0.

(5)

假設(shè)式(5)不成立,則存在u0=(x0,y0)∈K∩?Ωr及δ0≥0,使得u0=φu0+δ0ψ.由

f1(j,x(j),y(j))≥a1(j)(1+ε), 0≤x,y≤r,j∈Z(-∞,+∞),

即u≥u(1+ε),矛盾.

下證存在

p>0,u≠λφu, ?u∈K∩?Ωp,λ∈[0,1].

(6)

假設(shè)式(6)不成立,即?u0=(x0,y0)∈K∩?Ωp,λ0∈[0,1],使得u0=λ0φu0.不妨設(shè)λ0>0,由于u0=(x0,y0)∈K∩?Ωp,且‖(x0,y0)‖=p.不失一般性,設(shè)‖x0‖=p,即?j∈Z(-∞,+∞),有δ1p≤x0(j)≤p,從而由(H3)不等式,有f1(j,x0(j),y0(j))

即‖x0‖=p

由式(5),(6)及注1知,算子φ存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)(x1,y1)∈K,且r<‖(x1,y1)‖

由(H1)的第二個(gè)不等式知,存在r1>p及ε>0,使得fk(i,x,y)≥ak(i)(1+ε),x,y≥r1,k=1,2.令ψ=(1,1),往證

u≠φu+δψ, ?u∈K∩?ΩR,δ≥0.

(7)

即u≥u(1+ε),矛盾.

由式(6),(7)及引理1知,算子φ存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)(x2,y2)∈K,且p<‖(x2,y2)‖

同理有:

定理2假設(shè)條件(H0),(H2),(H4)成立,則方程組(1)至少有兩個(gè)正解(x1,y1),(x2,y2),且0<(x1,y1)

注2在定理1的解(x1,y1)∈K存在證明中,僅需要假設(shè)條件(H0),(H3)成立,且(H1)第一個(gè)不等式成立,而解(x2,y2)∈K的存在證明中,要求假設(shè)條件(H0),(H3)且(H1)的第二個(gè)不等式成立.

2 應(yīng) 用

例1考察如下方程組:

(8)

其中:ak(i)∈C(Z(-∞,+∞),(0,+∞));bk(i)∈C(Z(-∞,+∞),(0,+∞));ak(i+T)=ak(i),bk(i+T)=bk(i);k=1,2;T>0;α>0;β>0.

則假設(shè)條件(H4)成立.由定理2知上述結(jié)果成立.

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