一類邊界退化拋物系統的近似可控性

杜潤梅,祝英杰

(1.長春工業大學 基礎科學學院,長春 130012；2.長春大學 理學院，長春 130022)

考慮邊界控制問題:

其中: 0<α<1;g∈L2(0,T)且具有緊支集;u0∈L2(0,1).本文證明了問題(1)-(3)是近似可控的,即對任意的ε>0,ud∈L2(0,1),存在控制函數g∈L2(0,T),使得‖u(x,T)-ud(x)‖L2(0,1)≤ε.

對于非退化拋物方程的可控性研究目前已有較完善的結果[1-3],而退化拋物方程的可控性研究結果還較少[4-7].特別地,文獻[4-5]研究了如下退化拋物方程:

ut-(xαux)x=hχω, (x,t)∈(0,1)×(0,T),

(4)

其中:α>0;T>0;h∈L2((0,1)×(0,T))是控制函數;ω=(x0,x1)?(0,1)是控制區域.方程(4)可用于描述一些物理模型,例如研究平板上層流的速度場簡化模型.方程(4)在x=0處是退化的,并且當0<α<1時,其為弱退化的;當α≥1時,其為強退化的.文獻[4-5]中,方程(4)的邊值條件為

(5)

初值條件為

u(x,0)=u0(x),x∈(0,1),

(6)

其中u0∈L2((0,1)).文獻[4-5]證明了系統(4)-(6)當0<α<2時是零可控的,而當α≥2時不是零控的.Cannarsa等[6]研究了邊界控制問題(1)在條件

u(0,t)=g(t),u(1,t)=0,t∈(0,T)

(7)

且在跡的意義下u(1,·)=0于(0,T).其中,

為了證明問題(1)-(3)解的適定性,考慮正則化問題:

其中0<η<1.

通過對正則化問題的解做能量估計,可得:

命題1對任意具緊支集的g∈L2(0,T)和u0∈L2(0,1),問題(8)-(10)的解滿足

類似文獻[8]的定理3.1,通過取極限的方法,可以證明問題(1)-(3)解的適定性.

則v(x,t)=0,(x,t)∈(0,1)×(0,T).

引理2假設u0=0,u(x,t)是問題(1)-(3)的弱解,則對任意具緊支集的g∈L2(0,T),有

(11)

其中v(x,t)是問題:

的弱解.

(15)

又由于u(x,t)是問題(1)-(3)的弱解,有

(16)

結合式(15),(16),可得式(11).證畢.

命題2假設u0=0,則問題(1)-(3)是近似可控的.

由命題2可知,當u0=0時,問題(1)-(3)是近似可控的.下面證明在一般情形時問題(1)-(3)的近似可控性.

定理2對任意的u0∈L2(0,1),問題(1)-(3)是近似可控的.

證明: 對任意的ε>0,ud(x)∈L2(0,1),由命題2知,存在g∈L2(0,T),使得問題:

(17)

[1] Barbu V.Controllability of Parabolic and Navier-Stokes Equations [J].Sci Math Jpn,2002,56(1): 143-211.

[3] Cabanillas V,Menezes S,De,Zuazua E.Null Controllability in Unbounded Domains for the Semilinear Heat Equation with Nonlinearities Involving Gradient Terms [J].J Optim Theory Applications,2001,110(2): 245-264.

[4] Alabau-Boussouira F,Cannarsa P,Fragnelli G.Carleman Estimates for Degenerate Parabolic Operators with Applications to Null Controllability [J].J Evol Equ,2006,6(2): 161-204.

[5] Cannarsa P,Martinez P,Vancostenoble J.Null Controllability of Degenerate Heat Equations [J].Adv Differential Equations,2005,10(2): 153-190.

[6] Cannarsa P,Tort J,Yamamoto M.Unique Continuation and Approximation Controllability for a Degenerate Parabolic Equation [J].Appl Anal,2012,91(8): 1409-1425.

[7] Flores C,Teresa L,De.Carleman Estimates for Degenerate Parabolic Equations with First Order Terms and Applications [J].Comptes Rendus Mathematique,2010,348(7/8): 391-396.

[8] YIN Jing-xue,WANG Chun-peng.Evolutionary Weightedp-Laplacian with Boundary Degeneracy [J].J Differential Equations,2007,237(2): 421-445.