a尺度的二維四向小波問題

庫福立,王 剛,庫 媛

(1.新疆師范大學 數學科學學院,烏魯木齊 830054;2.吉林大學 材料科學與工程學院,長春 130012)

0 引言與預備知識

小波分析在信號分析、圖像處理、模式識別、語言合成、方程求解和分形力學等領域應用廣泛[1-4].高維小波比一維小波應用前景更廣闊,目前已引起人們廣泛關注.由于2尺度小波對高頻端具有較窄的帶寬,因此2尺度小波分析效果較差.Daubechies[5]研究表明,除Haar小波外不存在既正交又對稱的緊支撐的2尺度小波.因此,人們提出了a尺度小波理論[6].小波包具有對高頻部分提供更精細分解的功能,這種分解既無冗余,也無疏漏,對包含大量中、高頻信息的信號能進行更好的時頻局部化分析,因而被廣泛應用于圖像壓縮、信號處理和編碼理論中[7]。a尺度正交小波包應用上靈活性較強,可以同時具有緊支撐性、正交性和對稱性.本文基于雙向小波理論[8-10]和雙正交雙向小波的構造理論[11],通過張量積構造a尺度二維四向小波,建立了a尺度二維四向具有緊支撐解的充要條件,給出了二維四向加細函數的緊支撐區間及二維四向雙正交小波的概念和二維四向小波包的定義,并給出了兩個構造實例.

?f(x1,x2),g(x1,x2)∈L2(2),定義內積如下：

(1)

(2)

設F和G是兩個一元函數空間,F的基底是{fk(x)}k∈,G的基底是{gk(y)}k∈,則以{fk(x)gk(y)}k∈為基底的二元函數空間H稱為空間F和G的張量積空間,表示為H=F?G.對于二元函數f(x,y),引入記號φ(x,y)=φ(x)φ(y).

1 二維四向加細尺度函數

本文基于文獻[10]提出的雙向加細函數和雙向加細小波理論,利用兩個一元a尺度雙向單小波φ(x)和φ(y),通過它們的張量積構造二維空間上的細分函數.

設雙向細分函數φ(x)和φ(y)分別滿足如下細分方程:

(3)

(4)

由φ(x,y)=φ(x)φ(y)得

其中:

對式(6)變形有：

對式(8)～(10)兩邊都做Fourier變換得：

令

Γ(x1,x2)=(φ(x1,x2),φ(x1,-x2),φ(-x1,x2),φ(-x1,-x2))T,

(14)

結合式(6),(8)～(10)可得

(15)

因此,方程(15)的頻域形式為

Γ(ω1,ω2)=

(16)

其加細面具為

(17)

定義方程(6)的自相關矩陣如下：

(18)

其中：Ω11=〈φ(x1,x2),φ(x1-k1,x2-k2)〉;Ω12=〈φ(x1,x2),φ(x1-k1,k2-x2)〉;Ω13=〈φ(x1,x2),φ(k1-x1,x2-k2)〉;Ω14=〈φ(x1,x2),φ(k1-x1,k2-x2)〉;Ω21=〈φ(x1,-x2),φ(x1-k1,x2-k2)〉;Ω22=〈φ(x1,-x2),φ(x1-k1,k2-x2)〉;Ω23=〈φ(x1,-x2),φ(k1-x1,x2-k2)〉;Ω24=〈φ(x1,-x2),φ(k1-x1,k2-x2)〉;Ω31=〈φ(-x1,x2),φ(x1-k1,x2-k2)〉;Ω32=〈φ(-x1,x2),φ(x1-k1,k2-x2)〉;Ω33=〈φ(-x1,x2),φ(k1-x1,x2-k2)〉;Ω34=〈φ(-x1,x2),φ(k1-x1,k2-x2)〉;Ω41=〈φ(-x1,-x2),φ(x1-k1,x2-k2)〉;Ω42=〈φ(-x1,-x2),φ(x1-k1,k2-x2)〉;Ω43=〈φ(-x1,-x2),φ(k1-x1,x2-k2)〉;Ω44=〈φ(-x1,-x2),φ(k1-x1,k2-x2)〉.

引入變換算子τ:

(19)

其中Ω(ω1,ω2)是P(ω1,ω2)的Laurent多項式方陣,P(ω1,ω2)由式(19)給出,于是由Poisson求和算子得

(20)

進一步可知Ω(ω1,ω2)是變換算子τ相應特征值為1的矩陣.

定理1由式(6)給出的加細方程有緊支撐解當且僅當其面具符號滿足下列4種情形之一：

(21)

證明：由張量積的定義易得.

2 二維四向多分辨分析

定義1設φ(x1,x2)∈L2(2),定義子空間序列{Vj}j∈?L2(2)：

由定義1,生成L2(2)中的一個多分辨分析當且僅當式(22)定義的{Vj}j∈滿足下列條件：

1) …?V-1?V0?V1?…；

4)f(x1,x2)∈Vj?f(ax1,ax2)∈Vj+1；

5) 存在L2(2)中的一個函數φ(x1,x2),使集合{φ(x1-k1,x2-k2),φ(x1-k1,k2-x2),φ(k1-x1,x2-k2),φ(k1-x1,k2-x2):k1,k2∈}是V0的Riesz基.于是,可找到兩個常數0

(23)

定理3設尺度函數φ(x1,x2)∈L2(2)滿足多分辨分析,構成V0的一組Riesz基,定義}.如果存在函數集合{φ(x1-k1,x2-k2),φ(x1-k1,k2-x2),φ(k1-x1,x2-k2),φ(k1-x1,k2-x2):k1,k2∈}是V0的Riesz基,則

證明：因為集合{φ(x1-k1,x2-k2),φ(x1-k1,k2-x2),φ(k1-x1,x2-k2),φ(k1-x1,k2-x2):k1,k2∈}是V0的Riesz基,因此對于任意的f(x1,x2)∈V0,存在兩個常數0

從而對任意的f(x1,x2)∈Vj,有

定理4設φ(x1,x2)∈L2(2)滿足式(6),由式(22)定義Vj,如果存在函數集{φ(x1-k1,x2-k2),φ(x1-k1,k2-x2),φ(k1-x1,x2-k2),φ(k1-x1,k2-x2):k1,k2∈}是V0的Riesz基,對于所有的有界；且在(0,0)附近連續,則2).

證明：由{φ(x1-k1,x2-k2),φ(x1-k1,k2-x2),φ(k1-x1,x2-k2),φ(k1-x1,k2-x2):k1,k2∈}是V0的Riesz基知,存在正常數A≤B<∞,使得對于任意函數向量f(x1,x2)∈V0,有

則對任意函數向量f(x1,x2)∈Vj,有

設Pj是Vj的正交投影算子,則對所有的j∈,由有

另一方面,有

其中

綜上,有

從而

于是,

3 雙正交二維四向加細函數與小波

定理5[8-11]若二維四向加細函數φ(x1,x2)是正交的,則下列等式成立：

(25)

(26)

(27)

證明：由文獻[11]的定理1和式(25),(26)的正交和雙正交定義易證.

在式(28),(29)兩邊做Fourier變換,有

其中：

(31)

其中：h,l,s=1,2,…,a-1;γ,k,t=1,2,3.

(32)

(33)

證明：由式(31)的正交性易得.

4 分解與重構算法

同理有：

其中:h=1,2,…,a-1;γ=1,2,3.

于是

5 構造算法

證明：由式(27)不難驗證:

同理,構造：

(36)

(37)

證明：由式(31),(32)易得.

6 二維四向小波包

先引入下列記號：

對應的Fourier形式為：

由命題2,可得：

其中加細面具符號為：

(44)

(45)

式中:h=0,1,…,a-1;γ=0,1,2,3.則有

(46)

其中:m,n=0,1,…,a-1;s,t=0,1,2,3.式(46)等價于

其中:h=0,1,…,a-1;γ=0,1,2,3;n1,n2∈.

引理1[12]對?n∈+進行a進制展開：

(47)

式(47)是一個有限和,并且展開式是唯一的.

(48)

證明: 1) 當n=0時,式(48)顯然成立；

2) 當0≤n≤aS0(S0為某個正常數)時,式(48)成立;當aS0≤n≤aS0+1時,由引理1,有aS0-1≤[n/a]≤aS0([x]表示不超過x的最大正整數),則有n=a[n/a]+λ,λ=0,1,…,a-1.用數學歸納法即證結論.

(49)

其中：k1,k2,n1,n2∈;m,n∈.

(50)

7 構造算例

例1構造兩尺度二元正交小波,其兩尺度符號如下：

用定理9的構造算法,可通過正交二元小波的兩尺度符號構造二元四向加細函數的面具符號,從而生成正交的二元四向加細函數,可構造3組不同的二元四向加細函數的面具符號.這里只列出其中之一,其他同理可得.解方程組得

進一步得：

其中

其特征值為1,0,0.5,0,滿足重構條件,所以P+,+(ω1,ω2),P+,-(ω1,ω2),P-,+(ω1,ω2),P-,-(ω1,ω2)生成一個正交二元四向細分函數.

例2構造兩尺度二元雙正交小波,由文獻[7]的例子：

構造得：

[1] Chui C K.A Introduction to Wavelet [M].Boston: Academic Press,1992.

[2] Coifman R R,Meyer Y,Wickerhauser M V.Wavelet Analysis and Signal Processing [C]//Wavelets and Their Applications.Boston: Jones and Barlett Learning,1992.

[3] Martin M B,Bell A E.New Image Compression Technique Using Multiwavelet Packets [J].IEEE Transactions on Image Processing,2001,10(4): 500-511.

[4] Coifman R R,Meyer Y,Quake S,et al.Signal Processing and Compression with Wavelet Packets [C]//Wavelets Analysis and Application.Berlin: Springer-Verlay,1992: 77-93.

[5] Daubechies I.Ten Lectures on Wavelets [M].CBMSNSF Series in Applied Math 61.Philadelphia: SIAM,1992.

[6] LIAN Jian-ao.Orthorogonal Criteria for Multi-scaling Functions [J].Appl Comp Harm Anal,1998,5(3): 277-311.

[7] Cohen A,Daubeches I.On the Instability of Arbitrary Biorthogonal Wavelet Packets [J].SIAM J Math Anal,1993,24(5): 1340-1354.

[8] YANG Shou-zhi.Biorthogonal Two-Direction Refinable Function and Two Direction Wavelet [J].Applied Math and Computation,2006,182(2): 1717-1724.

[9] YANG Shou-zhi,LI You-fa.Two-Direction Refinable Functions and Two-Direction Wavelet with Dilation Factorm[J].Applied Math and Computation,2007,188(1): 1908-1920.

[10] YANG Shou-zhi,LI You-fa.Two-Direction Refinable Function and Two-Direction Wavelet with High Approximation Order and Orthogonal [J].Science in China Series A: Mathematics,2007,37(7)：779-795.(楊守志,李尤發.具有高逼近階和正則性的雙向加細函數和雙向小波 [J].中國科學A輯：數學,2007,37(7)：779-795.)

[11] XIE Chang-zhen.Constrution of Biorthogonal Two-Direction Refinable Function and Two-Direction Wavelet with Dilation Factorm[J].Computers and Mathematics with Application,2008,56(7): 1845-1851.

[12] YANG Shou-zhi,CHENG Zheng-xing.Orthonormal Multi-wavelet Packets with Scalea[J].Mathematica Applicata,2000,13(1): 61-65.(楊守志,程正興.a尺度多重正交小波包 [J].應用數學,2000,13(1): 61-65.)

[13] LI Lan,CHEN Qing-jiang,LI Na,et al.Biorthogonal Two-Direction Wavelet Packets with a Positive Integer Dilation Factor [J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2010,27(5): 901-910.