n維分數次Hausdorff高階交換子的有界性

任轉喜,陶雙平

(西北師范大學 數學與統計學院,蘭州 730070)

0 引言及預備知識

設f是n上的局部可積函數,l∈(-∞,∞),則n維分數次Hardy算子[1]為

(1)

其共軛算子為

(2)

易見,當l=0時,Hl即為高維Hardy算子:

(3)

(4)

此時算子H和H*滿足

(5)

關于Hardy算子及其共軛算子的研究目前已經取得了豐富成果[2-6].實際應用中比Hardy算子更廣泛的一類算子是Hausdorff算子,文獻[7]研究了n維Hausdorff算子的三種推廣形式,其中由Hardy算子直接推廣的一種形式為

(6)

式中Φ是+上的局部可積函數.該算子及其變形的研究已引起人們廣泛關注[8-10].結合分數次奇異積分算子,本文首先給出n維分數次Hausdorff算子的定義.

設f是n上的局部可積函數,0

(7)

設b為局部可積的實可測函數,m∈+,n維分數次Hausdorff算子和函數b生成的高階交換子定義為

用B(x,r)表示n中以x為中心、r為半徑的球,對于k∈,Bk=B(0,2k),Δk=BkBk-1,χk=χΔk表示集合Δk的特征函數.

定義1[12]設α∈,0

(9)

其中

(10)

定義2[12]設α∈,0

(11)

其中

(12)

當p=∞時取通常的極限情形.

(13)

(14)

BMO(n)?n)?n)(1≤p

(15)

引理1設1

證明: 利用H?lder’s不等式及極坐標變換得:

1 主要結果

1) 若

(18)

2) 若

(19)

(20)

證明: 1) 當Φ滿足式(18)且α

對于Ⅰ,利用引理1中1)得

對于Ⅱ,利用引理2,有

對于Ⅱ1,利用引理1中1)及H?lder’s不等式得

對于Ⅱ2,利用引理1中1)得

因此,據Herz空間的定義得

易見

當0

當1

從而得到了1)的證明.

下面證明2).當Φ滿足式(19)且α>-n(1/q-1/r′)時,有

先估計J,利用引理1中2)得

再估計JJ.利用引理2,有

對于JJ1,利用引理1中2)及H?lder’s不等式得

對于JJ2,利用引理1中2)得

因此,類似于情形1)的證明,可得到2)的證明.

最后證明3).當Φ滿足式(18),(19),且-n(1/q1-1/r′)<α

由1)和2)知3)成立.證畢.

注3在定理2中若取α=0,1

證明: 本文僅給出情形1)的證明,對于情形2),類似可證.不妨設λ>0,由定理2證明中相應的估計,易得

注意到α

類似E1的估計,可得

(37)

(38)

證畢.

注4同注1,在定理4條件下本文得到了分數次Hardy算子及其共軛算子高階交換子的有界性結果.

證明: 先證情形1).當Φ滿足式(18)且1/q1=1/q2+(mγ+l)/n時,利用引理3和引理1中1),并注意到α

其余證明可類似于定理2中相應的證明完成,故略.

下證情形2).當Φ滿足式(19)且1/q1=1/q2+(mγ+l)/n時,利用引理3和引理1中2),并注意到α>-n(1/q2-1/r′),有

其余證明可類似于定理2中相應的方法完成,故略.證畢.

注5在定理5中若取α=0,1

證明: 證明方法類似于定理3,故略.

[1] FU Zun-wei,LIU Zong-guang,LU Shang-zhen,et al.Characterization for Commutators ofn-Dimensional Fractional Hardy Operators [J].Science in China A,2007,50(10): 1418-1426.

[2] FU Zun-wei,LIN Yan.λ-Central BMO Estimates for Commutators of Higher Dimensional Fractional Hardy Operators [J].Acta Mathematica Sinica: Chinese Series,2010,53(5): 925-932.(傅尊偉,林燕.高維分數次Hardy算子交換子的λ中心BMO估計 [J].數學學報: 中文版，2010,53(5): 925-932.)

[3] ZHENG Qing-yu,FU Zun-wei.Lipschitz Estimates for Commutators ofn-Dimensional Fractional Hardy Operators [J].Comm Math,2009,25(3): 241-245.

[4] LONG Shun-chao,WANG Jian.Commutators of Hardy Operators [J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2002,274(2): 626-644.

[5] Sawyer E.Weighted Lebesgue and Lorentz Norm Inequalities for the Hardy Operator [J].Transactions of the American Mathematical Society,1984,281(1): 329-337.

[6] FU Zun-wei,LU Shang-zhen,ZHAO Fa-you.Commutators ofn-Dimensional Rough Hardy Operators [J].Science China Mathematics,2011,54(1): 95-104.

[7] CHEN Jie-cheng,FAN Da-shan,LI Jun.Hausdorff Operators on Function Spaces [J].Chinese Annals of Mathematics: Series B,2012,33(4): 537-556.

[8] Liflyand E,Miyachi A.Boundedness of the Hausdorff Operators inHpSpaces,0

[9] Liflyand E.Open Problems on Hausdorff Operators [C]//Complex Analysis and Potential Theory: Proceedings of the Conference.Istanbul: [s.n.],2006: 8-14.

[10] CHEN Jie-cheng,FAN Da-shan,ZHANG Chun-jie.Boundedness of Hausdorff Operators on Some Product Hardy Type Spaces [J].Appl Math J Chinese Univ,2012,27(1): 114-126.

[11] GAO Gui-lian,JIA Hou-yu.Boundedness of Commutators of High-Dimensional Hausdorff Operators [J].Journal of Function Spaces and Applications,2012,2012: ID541205.

[12] LU Shan-zhen,YANG Da-chun,HU Guo-en.Herz Type Spaces and Their Application [M].Beijing: Science Press,2008.

[13] LU Shan-zhen,YANG Da-chun,ZHOU Zu-sheng.Sublinear Operators with Rough Kernel on Generalized Morry Spaces [J].Hokkaido Mathematical Journal,1998,27(1): 219-232.

[14] LU Shan-zhen,YANG Da-chun.The Central BMO Spaces and Littlewood-Paley Operators [J].Approximation Theory and Its Applications,New Series,1995,11(3): 72-94.

[15] Paluszyński M.Characterization of the Besov Spaces via the Commutator Operator of Coifman [J].Indiana University Mathematics Journal,1995,44(1): 1-18.