含有分布導數的微分方程解的存在唯一性定理

楊慧敏,葉國菊,周雪圓,周 浩,王 鷗

(河海大學 理學院,南京 210098)

0 引 言

Kurzweil[1]在Euclid空間里給出了廣義常微分方程的概念,隨后該概念得到了廣泛應用[2-9].廣義常微分方程包含普通的常微分方程和測度微分方程等[2],其解具有良好的性質,因此受到人們廣泛關注[7,10-12].

考慮區間[a,b]?,-∞

(1)

則函數x：O×[a,b]→n稱為廣義常微分方程

(2)

本文考慮如下含有分布導數的微分方程:

x′=f(x,t),

(3)

其中:x′表示x的分布導數;f分布Henstock-Kurzweil可積.

1 預備知識

定義基本空間[13]為

若由D上分布的全體構成的空間是基本空間D的共軛空間,則稱基本空間D上的連續線性泛函為分布或廣義函數,記作D′.即若f∈D′,則f：D→,記作〈f,φ〉∈,其中φ∈D.對f∈D′,若〈f′,φ〉=-〈f,φ′〉,則稱f′為f的分布導數，其中φ是檢驗函數.在該定義下,所有的廣義函數都有各階導數,且各階導數都是廣義函數.本文設f′表示f的分布導數,而f的普通導數記為f′(x).

設(a,b)是上的開區間,定義：

D((a,b))={φ: (a,b)→且φ在(a,b)上具有緊支集}.

D((a,b))的共軛空間記為D′((a,b)).

由DHK積分的定義可見，DHK積分包含Riemann積分、Lebegue積分、Henstock-Kurzweil積分及廣義Denjoy積分.

分布Henstock-Kurzweil可積函數空間記作

DHK={f∈D′((a,b))|存在F∈BC,使得f=F′}.

DHK的共軛空間為BV (有界變差值函數構成的空間)[14].在DHK中,若定義范數‖f‖=‖F‖∞,則DHK是Banach空間,其中F∈BC是f的原函數.在該定義下,如果f∈DHK,則對任意的φ∈D((a,b)),滿足

(4)

在C([a,b])上可以定義序關系,即對u,v∈C([a,b]),u≤v當且僅當對所有的t∈[a,b]滿足u(t)≤v(t).在空間DHK中,定義偏序如下：對f,g∈DHK,稱fg(或g?f)當且僅當f-g在[a,b]上是一個正測度[10].即若f,g∈DHK,則

(5)

在上述偏序關系下,下述結論成立.

引理2[16]對于f1,f2,f3∈D′((a,b)),f1?f2?f3,若f1,f3是DHK可積的,則f2也是DHK可積的.

若當n→∞時,‖fn-f‖→0,則稱序列fn?DHK強收斂于f∈DHK,記作fn→f.

2 主要結果

給定r>0,記O={x∈n|‖x‖

定義2如果函數F：Ω→n滿足下列條件，則稱函數F屬于F(Ω,h,ω)：

(H1) 對任意的(x,t1),(x,t2)∈Ω,‖F(x,t2)-F(x,t1)‖≤|h(t2)-h(t1)|；

(H2) 對任意的(x,t1),(x,t2),(y,t1),(y,t2)∈Ω,

‖F(x,t2)-F(x,t1)-F(y,t2)+F(y,t1)‖≤ω(‖x-y‖)|h(t2)-h(t1)|.

引理5[2]假設F：Ω→n滿足條件(H1),若[α,β]?[a,b],x：[α,β]→n是方程(2)的解,則對任意的t1,t2∈[α,β]，有

‖x(t2)-x(t1)‖≤|h(t2)-h(t1)|.

引理6[2]假設給定F∈F(Ω,h,ω),x：[α,β]→n,[α,β]?[a,b],xk：[α,β]→n,如果x是函數列{xk}的極限函數,且對每個k∈,s∈[α,β],(xk(s),s)∈Ω,(x(s),s)∈Ω,DF(xk(τ),t)存在,則DF(x(τ),t)存在,且

引理7[2]給定F∈F(Ω,h,ω),且x：[α,β]→n,[α,β]?[a,b],xk：[α,β]→n是一列函數,如果x是{xk}的極限函數,且對任意的s∈[α,β],(x(s),s)∈Ω,則DF(x(τ),t)存在.

考慮微分方程(3),其中x′表示x∈n的分布導數.

假設[a,b]?,且分布f滿足如下假設條件：

(H3) 在[a,b]上對任意給定的x∈n,f(x,·)是DHK可積的；

(H4) 在[a,b]上存在f-,f+∈DHK,使得對任意的x∈n滿足f-?f(x,·)?f+；

(H5) 存在連續的增函數ω：[0,∞)→,ω(0)=0和分布l∈DHK,使得對任意的t∈[a,b],x,y∈n,有

|f(x,t)-f(y,t)|?ω(‖x-y‖)|l(t)|.

(6)

其中右側積分表示DHK積分.

(7)

(8)

證明：由(H3),(H4)和式(5)有

?I0?[a,b],

因此

(10)

同理可證,當t1≥t2時,有|F(x,t2)-F(x,t1)|≤h(t1)-h(t2),因此(H1)成立.

當t1≥t2時,類似可證.因此,(H2)成立,從而結論成立.

則由(H5)可知,

定理1函數x：[α,β]→n,[α,β]?[a,b]是方程(3)在[α,β]上的解當且僅當x是廣義常微分方程(2)的解,其中F由式(7)給出.

證明：假設x：[α,β]→n是方程(3)的解,由命題1,DF(x(τ),t)存在，且對任意的t1,t2∈[α,β]，有

所以,x是方程(2)的解.反之,若x是方程(2)的解,則由命題1知，x：[α,β]→n滿足式(6).又由引理5知,對任意的t1,t2∈[α,β],滿足

‖x(t2)-x(t1)‖≤|h(t2)-h(t1)|.

所以x是連續的.因此x是方程(3)的解.

引理9[2]假設F：Ω→n,F∈F(Ω,h,ω),取滿足

則存在Δ-,Δ+>0,使得在區間[t0-Δ-,t0+Δ+]上存在廣義常微分方程(2)的解x：[t0-Δ-,t0+Δ+]→n,且

則存在Δ-,Δ+>0,使得在區間[t0-Δ-,t0+Δ+]上存在方程(3)的解x：[t0-Δ-,t0+Δ+]→n,且滿足

定義4若方程(2)的每個解y：[t0,t0+σ]→n,y(t0)=x(t0),都存在η1>0,使得對?t∈[t0,t0+η]∩[t0,t0+σ]∩[t0,t0+η1],滿足x(t)=y(t)，則方程(2)的解x：[t0,t0+η]→n稱為在未來是局部唯一的.

對于方程(3)可以定義相同的概念.

引理10[2]設F∈F(Ω,h1,ω1),其中h1是左連續的增函數,ω1：[0,∞)→是增函數，且當r>0時,ω1(r)>0,ω1(0)=0,對任意的u>0,

(12)

定理3(唯一性) 設分布f滿足條件(H3)～(H5),ω(r)>0,r>0,且對任意的u>0,

(13)

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