雙螺桿泵雙頭螺旋型線分析及其對流量影響

李紀峰，鄭清春，郭津津，余志永

(天津理工大學復雜系統控制理論及應用重點實驗室，天津市 300384)

0 前言

雙螺桿泵的核心部件是一對螺桿轉子，轉子的螺旋頭數通常有單頭和雙頭兩種。目前，單頭螺旋的轉子型線理論相對比較成熟。但是，單頭螺旋的螺桿動平衡不如雙頭螺桿好，當用于大排量時螺桿的外徑和質量都很大，尤需考慮螺桿的動平衡。雙螺桿泵的轉子可以看作是一對相互嚙合的齒輪，轉子型線是直接影響雙螺桿泵工作性能和制造成本的最關鍵因素。嚙合的轉子型線要滿足嚙合定律，即不論在任何位置，經過型線接觸點的公法線必須通過節點。但是雙螺桿泵的轉子型線又不必像普通齒輪那樣無條件的對稱于齒頂中心線。對雙螺桿泵轉子型線的要求，主要是在齒間容積之間有優越的密封性能，因為這些齒間容積是實現介質排出的工作腔。轉子型線要素主要包括:接觸線、泄漏三角形、封閉容積和齒間面積等，這些要素對泵的流量等性能有重要的影響。本文對雙頭雙螺桿泵的轉子型線進行研究，得出雙頭螺桿轉子的型線 (即轉子端面曲線)方程。并利用Pro/E對其進行三維建模，建模后計算理論流量，為雙螺桿泵的仿真、設計、優化及制造提供參考。

1 雙頭雙螺桿泵的型線方程

1.1 雙頭雙螺桿泵的端面型線結構

圖1所示為雙頭雙螺桿的端面型線結構，型線包括 ab、bc、de、ef、gh、hi、jk、kl等關鍵曲線段，每段曲線是由相應的擺徑和起點生成的擺線。擺線是一種能在嚙合過程中可以生成圓弧形連續嚙合線的曲線，其齒形嚙合的優點是受力和密封狀況好，耐磨損性能好，加工制造技術比較成熟。本文從擺線分析入手，從幾何方面分析得出雙螺桿泵的型線。

圖1 雙頭雙螺桿泵的端面型線Fig.1 Profile line of double helix

1.2 雙頭螺桿型線的形成及其方程

如圖1所示，由于雙頭螺旋的型線abc段與lkj段、def段與ihg段相對于與y正坐標軸成θ度角的直線對稱;abc段與def段、lkj段與ihg段相對于與x正坐標軸成θ度角的直線對稱，所以推導出ab、bc兩段擺線的方程，其余可根據對稱和坐標變換得出。其中，以節圓為導圓，以半徑為R的圓為滾圓，ab段是從b點開始沿順時針方向滾動形成的普通外擺線;bc段是以齒頂圓半徑為擺徑從b點開始沿逆時針方向滾動形成的長幅外擺線。

ab段曲線方程為

bc段曲線方程為

式中，R、R1、R2分別為節圓半徑、齒頂圓半徑、齒根圓半徑;a為中心距，a=2R;k為導圓、滾圓半徑之和與滾圓半徑之比;m為擺線參數，決定擺線長度。

由ab、bc段的型線方程，應用坐標變換可以得出lk、kj兩段曲線方程。先將原坐標系逆時針旋轉角度θ，得

因為曲線關于y軸對稱，即x坐標互為相反數，y坐標不變。

最后，將坐標變換回原坐標系中，即可得到對稱曲線的方程

所以，將ab、bc兩端曲線經過以上方法變換就可以得到lk、kj兩段的曲線方程，分別為lk段

kj段

同理，可以得出de、ef、gh、hi四段曲線的方程。即雙螺桿泵轉子型線，該型線滿足嚙合定律，由于篇幅有限，本文沒有列出驗證過程。

2 雙頭雙螺桿泵轉子型線的設計

根據上文得出的轉子端面型線的數學方程式，利用Pro/E對雙頭螺桿泵轉子應用可變剖面掃描方法進行三維建模，其中，齒頂圓半徑、齒根圓半徑、節圓半徑分別為200 mm、105 mm、152.5 mm。圖2為建立的三維模型及其端面型線的剖視圖。

圖2 雙頭雙螺桿泵轉子剖面圖Fig.2 Cross-sectional view of rotor of double helix twin-screw pump

運用Pro/E中的機構運動學分析模塊能較方便地測量出轉子端面型線標注各點的坐標，如表1所示。

表1 可變剖面掃描建模各點的坐標Tab.1 Coordinates of each point on model made in variable cross-section scanning

表1是根據雙頭螺桿泵轉子端面型線方程建模后，測量圖 1 中 a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l點的坐標，可以得出，其中a和g、b和h、c和i、d和j、e和k、f和l都具有對稱關系，說明設計的雙頭雙螺桿泵轉子的型線具有的對稱特點，具有較好的動平衡性。

3 雙螺桿泵的理論流量

3.1 理論流量計算方法

雙螺桿泵理論流量的計算公式為［3］

式中，A為過流斷面面積;L為螺桿轉子的導程;n為轉子的轉速。

在螺桿轉子的導程和轉速給定的條件下，螺桿泵的理論流量與螺桿轉子的過流斷面面積A有關，A如圖3陰影部分所示。A的計算公式為

式中，A∞為兩個齒頂圓面積之和減去重疊部分面積;Ag為一根螺桿轉子的橫截面積。

A∞和Ag的計算公式如下:

式中，R1為齒頂圓半徑;R2為齒根圓半徑;R為節圓半徑;a為中心距。

圖3 過流斷面面積示意圖Fig.3 Schematic diagram of overflow fracture surface area

3.2 雙頭螺桿泵的理論流量計算

雙頭螺桿轉子的齒頂圓半徑R1=200 mm，中心距a=305 mm，由式 (3)可得

應用Pro/E中“分析—測量—區域”命令直接測量得到雙頭螺桿轉子的橫截面面積Ag

因此，過流斷面面積由式 (2)得

最后，將 A∞、Ag代入式 (1)得到理論流量

本文建立的雙頭螺桿泵模型的理論流量可達1 400 m3/h。

3.3 同等工作長度的雙頭、單頭轉子的理論流量比較

同等工作長度下，將雙頭螺旋換成單頭，計算其理論流量。單頭螺桿轉子的齒頂圓半徑、中心距均與雙頭螺桿轉子相同。即A∞相同，橫截面面積Ag不同。應用Pro/E中“分析－測量－區域”計算建立的同等工作長度的單頭螺桿的橫截面面積為

過流斷面面積為

理論流量為

通過比較，雙頭轉子的理論流量和單頭轉子的理論流量比值為1400/500=2.8。可以看出，雙頭螺桿轉子的理論流量比單頭的理論流量并不是大一倍，這是由于在同等工作長度下，雙頭螺桿轉子不僅僅是導程變為原來的二倍，同時過流截面面積也變大。

4 結論

本文分析了雙頭雙螺桿泵轉子型線的形成原理，得出雙頭雙螺桿泵的轉子型線的數學方程式。并利用Pro/E對雙頭雙螺桿泵進行三維建模，確定出轉子型線坐標，驗證雙頭對稱螺桿的型線理論。文中計算雙頭雙螺桿泵的理論流量，為后續的仿真和型線優化提供參考，將其作為后續型線改進、優化及其仿真的一個重點研究方面。同時比較同等工作長度的單頭和雙頭雙螺桿泵轉子理論流量，將改變導程得出一系列螺桿轉子的方法作為一種研究方向。

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