交錯多通道采樣信號的分析與重構方法

李玉玲，翟盼盼

(河南大學計算機與信息工程學院，河南開封475004)

0 引言

近年來，對高帶寬信號或者大采樣率信號的處理通常需要使用時間交錯數模轉換器［1］.如果采樣信號的帶寬很大，直接對模擬信號采樣會非常困難，因此，通常利用多個通道來對高帶寬信號進行并行采樣.由于通道之間存在時間延遲，導致實際的采樣為均勻采樣或非均勻采樣［2-3］.在單通道或多通道A/D轉換器采樣系統中，對采樣信號的重構必須考慮量化影響［4］.當前，人們常采用過采樣的方法減輕量化影響［5］.

針對上述問題，筆者擬基于交錯環境中的多通道測量值、量化影響以及過采樣的條件，設計一個最優重構濾波器.首先，對量化誤差使用加性噪聲進行建模，針對多通道采樣，當通道之間的量化步長不相等且通道之間的相對時間也不滿足均勻采樣時，通過增加SQNR對信號進行最優重構.其次，在通道之間的相對時間不匹配的情況下，對量化步長進行合理的調整，來達到對信號進行最優重構.最后，對通道之間的量化步長以及相對時間進行調整，以得到最優補償濾波器.有限信號x(t)的Nyquist采樣率為1/TN，每個通道的采樣率1/T=1/LTN，過采率為ρ=M/L＞1.現將圖 1定義為理想模型，即 xm［n］=x(nT-τm)，通道M的時間延遲為τm.

圖1 多通道采樣圖Fig.1 Multi-channel sampling

多通道采樣系統的交錯輸出采樣值如圖2所示.通過對時間延遲τm的選擇，可使得采樣為均勻采樣或周期性非均勻采樣［6］.這里特別指出，交錯序列xM/L［n］是在 M/L倍 Nyquist采樣率下對x(t)進行均勻采樣得到的輸出值，xM/L［n］是x(t)的周期性非均勻采樣值.

1 多通道采樣和重構

本節對多通道采樣系統進行描述，針對均勻采樣和周期性非均勻采樣設計完美重構濾波器.

1.1 過采樣多通道系統

考慮多通道采樣系統如圖1所示.其中，帶寬

圖2 交錯輸出采樣值Fig.2 Interleaving the output samp les

1.2 完美重構

當不存在量化誤差或多通道系統的采樣率不小于輸入信號的Nyquist采樣率時，采樣信號x(t)利用多通道輸出值x～m［n］=xm［n］可得到完美重構.例如，完美重構可通過如圖3的濾波器處理來得到，其將序列x～m［n］集合到一個擴展器組合中，對采樣信號x(t)在Nyquist采樣率下得到的統一樣本進行sinc插值來重構原始信號.

當如圖1的多通道系統中的時間延遲滿足式(1)時，從圖3中選擇重構濾波器為式(2).

此濾波器可對采樣信號x(t)進行完美重構.通過選擇濾波器Gm(ejω)，對通道之間的時間延遲τm的空間非均勻性進行補償，以得到x(t)的均勻采樣值 x～［n］.

圖3 多通道系統重構圖Fig.3 Multichannel reconstruction

對于x(t)的完美重構可以通過如圖3的系統得到，前提是:

由于每個通道的采樣率是輸入信號Nyquist采樣率的1/L倍，對式(3)進行化簡，得到式(2)的約束條件如式(4)所示:

當M=L時，式(4)可以唯一地確定重構濾波器Gm(ejω).當M＞L時，滿足過采樣，用剩余的M-L個自由度來設計重構濾波器.這些情況均會在第2節中得到充分的討論.

2 存在量化誤差下多通道采樣和重構

2.1 量化噪聲

針對量化后產生的量化誤差使用加性噪聲模型，多通道采樣系統的輸出采樣值表示為

假設qm［n］是一個白噪聲隨機過程，均勻分布在［-Δm/2，Δm/2］內;Δm是通道 M 的量化步長;qm［n］的方差為互不相關的，qm［n］和采樣值x(t)也不相關.

Nm代表通道M中分配的位數，其與量化步長的關系是Δm=2X/2Nm，X代表數模轉換器的滿刻度.

將多通道輸出值 x～(t)的總噪聲表示為e(t)，e(t)是一個廣義平穩隨機過程，即

由于通道之間的量化噪聲是不相關的，則e(t)的總平均功率值是E(e2(t))，表示為

2.2 最優重構濾波器

設計重構濾波器Gm(ejω)的方法有多種，其中一種就是通過利用所有的自由度來最小化噪聲重構誤差以得到信號的重構［7］.本小節假設已知信號的帶寬，在滿足式(4)的約束時，通過最小化來設計最優重構濾波器Gm(ejω).引用文獻［7］中相關公式，得到:

其中，用 Λ(i)(ejωm)代表有限長度序列{λ(i)k}L-1-ik=-i的離散時間Fourier轉換，即

此時，其頻率大小為

由于AM是一個共軛矩陣，即

另外，在將式(8)帶入式(7)的同時，也得到:

注意，由于AM在上式中大于零，將轉換為

當M=L時，得到式(8)中的最優的濾波器和通過滿足約束式(4)得到的唯一解是一致的.根據文獻［7］中第二章第二節的證明，則可得到:

因此，在不存在量化誤差的情況下，按照上式計算，將圖3中的輸出值x～(t)表示為

式(17)是對連續時間信號x(t)的完美重構.按照文獻［7］中的方法，輸出噪聲平均功率為

M ＞L時，利用Woodbury矩陣對式(16)進行簡單遞推，將輸出平均噪聲功率更新為

2.3 多通道采樣系統中的最優SQNR

以上分析了如圖1的多通道系統的中量化對重構帶來的影響，同時也設計出了最優重構濾波器.在多通道采樣重構系統中，有效的SQNR可以對采樣信號進行完美重構，但SQNR主要依賴于通道之間的量化步長、相對時間和過采樣率.接下來討論如何對這些參數進行優化，以得到一個最優的SQNR.分析式(13)，得

針對式(21)使用Cauchy-Schwartz不等式，可得

如果要使式(22)中的等號成立，當且僅當:

當如圖1的多通道系統中量化器使用的相同的量化步長，式(1)的τm可對采樣信號進行最優重構，接下來會對此證明.此時，式(8)的最優重構濾波器退化為式(2)中的非整數時間延遲，即

這里σ2表示所有通道的量化噪聲方差的平均值.假設每個通道的量化噪聲的方差相等，則

當重構系統中通道之間的量化步長相同，平均量化噪聲功率為(L/M)·σ2，此時為均勻采樣，可對采樣信號達到最優重構.關于時間延遲τm的其它選擇，因不滿足式(24)中的約束，易產生較差SQNR.

因為通道之間的量化步長不同［8］，所以通道的量化噪聲qm［n］的方差σm2也不相同，接下來討論如何對方差σm2進行選擇才能獲得較好的SQNR.為了便于比較，這里假設所有通道之間的總量化噪聲功率的平均值固定為σ2:

利用Cauchy-Schwartz不等式，式(26)轉換為

如果式(27)成立，當且僅當滿足條件:

通過上述分析采取如下措施:對量化器使用加性噪聲建模，并對通道間的量化器進行不同精度的選擇，以降低平均量化噪聲功率;通過設計量化器以消除時間不匹配性帶來的量化影響;通過調整通道之間的量化步長得到均勻采樣，以便得到一個較好的SQNR對信號進行最優重構.

3 仿真分析

在本節中，考慮如圖1的多通道采樣系統，其中，M=3;L=2.通過以上分析，首先可得

假設 τ0=0(ω0=0)，可得

第一種情況，將通道之間的量化補償固定為一個常量，在最優重構的約束下對時間延遲τm進行選擇.圖4顯示比較因子，表示為在多通道采樣和重構系統中輸出噪聲平均功率與最小噪聲功率的比值，其前提條件為最大的比較因子γ在τ1=-τ2= ±(2/3)·TN時得到，此時最小的平均噪聲功率為.在重構系統中，令通道之間的量化步長相同，得到最小的平均噪聲功率為(L/M)·σ2，此時達到最優重構.即通道之間的量化步長相同，如果要得到最優的重構濾波器，必須得到最小的平均噪聲功率，此平均噪聲功率為(L/M)·σ2.

圖4 均方誤差比較Fig.4 The com pare of reduction factor

第二種情況，通過適當設計通道之間的量化步長來對時間延遲的空間不匹配性進行調整，以達到信號的最優重構.假設這3個通道分配相同的量化步長，每個通道都分配4位，當τ0=0，τ1=TN/8，τ2=-(3/4)·TN時，輸出噪聲功率與在均勻采樣時相比增長了20%.但是，當每個通道之間的量化步長不同時，相對于均勻采樣，重構誤差的方差可得到一個更小的值.表1通過對通道之間分配不同位數的最小方差與分配位數固定的最小方差進行比較，分析通道之間分配的位數的不同對最小方差的影響.令通道之間分配固定位數為4位，其余均是總分配位數不變，但各個通道之間的相對分配的位數發生變化，變化范圍為增大或減少一位，于此對最小方差進行比較.從表1中得到當通道之間的量化步長不同，均勻采樣已不能對信號進行最優重構.所以，當通道之間量化步長不同時，相應的均勻采樣已經不能對信號進行最優重構，對通道之間分配的位數進行相應的調整，以便對信號進行最優重構.

表1 分配不同位數的方差比較Tab.1 The performance gain for different bit allocations

第三種情況，利用均勻采樣下的量化噪聲的方差與其他情況相比較，其中通道之間的時間延遲范圍為［-TN，TN］，得到圖5中的仿真結果.結果表明，此種情況下的仿真結果相比于均勻采樣，提高了12.5%，滿足最優重構的時間延遲為τ1=-τ2= ±0.54TN.

圖5 相對性能比較Fig.5 The com pare of relative performance

由上述得到，由于多通道采樣重構系統中時間延遲的空間非均勻性，導致交錯多通道輸出等同于周期性非均勻采樣;此時通道間相同的量化步長已經不能滿足最優的重構.同時也證明了對通道間的量化器使用不同精度，以便減少噪聲方差.另外，當固定通道之間的量化步長且不等，相同的通道間相對時間已不能滿足最優重構;此時通過對相對時間進行調整，得到一個更低的噪聲方差，對信號進行最優重構.

4 結論

首先考慮交錯式多通道環境中量化對信號重構的影響，并證明在多通道采樣環境中，當通道之間的量化步長固定并且相同時，對信號進行最優重構的條件是當且僅當采樣是均勻采樣.其次對存在量化誤差的情況，基于將噪聲功率最小化的原則，對信號進行最優重構，設計了最優重構濾波器.最后針對通道之間量化步長不同、時間延遲為非均勻采樣時，如何對量化步長、時間延遲進行合理的調整以達到對信號的最優重構，并做了相應的仿真驗證.

［1］ 楊泉玖，楊光，馬兵，等.一種高速多通道核輻射信號采集系統的設計［J］.鄭州大學學報:理學版，2005，24(4):44-46.

［2］ 闕大順，高勇，王艷麗.模數轉換器工作原理及應用［J］.武漢理工大學學報，2003，25(4):129-132.

［3］ 曾浩，潘卉青，葉芃，等.高速非均勻采樣信號的重構方法［J］.自動化儀表，2010，31(9):12-14.

［4］ MARZILIANO P，VETTERLIM.Reconstruction of irregularly sampled discrete-time bandlimited signalwith unknown sampling locations［J］.IEEE Trans Signal Process，2000，48(12):3462-3471.

［5］ HO C Y，LING B W K.Noise analysis of modulated quantizer based on oversampled signals［J］.Proc ICASSP，2006，14(19):728-731.

［6］ RABINER L，SCHAFER R.Theory and applications of digital speech processing［M］.Englewood Cliffs，NJ:Prentice-Hall，2010.

［7］ MAYMON S.Sampling and quantization for optimal reconstruction［D］.Boston，Massachusetts:Massachusetts Institute of Technology，2011.

［8］ MCMICHAEL JG.Timing offset and quantization error trade-off in interleaved multi-channel measurements［D］.Boston，Massachusetts:Massac-husetts Institute of Technology，2011.