“面積”的前概念調查研究與教學實踐

“前概念”指學生對將要學習的概念在先前的生活與學習過程中已經形成的認識與觀念。了解學生的“前概念”，是引導學生理解數學概念的基礎。如何才能準確地了解學生的“前概念”，如何依據“前概念”進行教學設計？下面以我們近期組織的“面積”的前概念調查研究與教學實踐為例，闡述我們的做法。

一、“面積”前概念的調查

一般來說，教師對于學生“前概念”的把握，主要依據教學經驗或教育心理學理論，即主要來自于主觀的推測。而這樣的推測往往是單薄的、片面的，甚至錯誤的。所以，哪怕是有豐富教學經驗的教師，也要在對學生的“前概念”做出主觀推測的基礎上，組織有效的、有針對性的調查。

1.前概念推測

“面積”與“周長”是封閉圖形兩個重要的量度。就學校數學而言，“周長”的概念先于“面積”概念進行學習，而就學生的直觀感知而言，“面積”更容易被學生感知，但在具體表述時，“面積”往往用“大小”這個詞來表述，但學生會怎樣解釋“面積”呢？

2.調查題設計與意圖

為證實推測，解答疑惑，我們設計了三個有層次的調查題。

調查題1：從語言的角度，調查學生會用怎樣的詞匯描述物體面的大小。

黑板面比電視機屏幕面（ ）。這句話中是用黑板面的（ ）和電視機屏幕面的（ ）在比較。

調查題2：對圖形的觀察，調查學生對圖形大小的理解。

在圖1中，哪些圖形可以看出它的大小，哪些圖形沒有大小？在你認為有大小的圖形的序號上打“√”。

調查題3：從內涵的角度，調查學生對“面積”一詞的理解。

你聽說過“面積”嗎？如果聽說過，面積是什么意思？

3.調查的對象與組織

我們認為，“面積”前概念的形成與學生的學習過程、生活環境有一定的相關性。因此，我們聯系了位于城區、城鄉結合部和邊遠農村各一所學校，并選擇各所學校的一個班的學生作為調查對象。

為了后面的調查題不對前面的調查產生前攝影響，在組織調查時，我們分成三次先后下發調查題，各用兩分鐘時間完成。

二、“面積”前概念分析

調查題的主觀性與開放性，使得學生的回答可能五花八門。為了便于統計，教師要從回答的差異性中找到相似性，進行合理的分類，然后再對每一類進行細致分析，從相似性中辨析學生回答的差異性。在“前概念”分析時，對有疑問的調查結果，還可以進行個別訪談。

1.調查題1的統計與分析

通過調查，基本證實了我們的想法：大部分學生能夠結合具體情境用“大小”來描述“面積”。

（1）調查結果統計（見表1）

從調查的三個班的總體情況看，72.5%的學生能夠正確描述“面積”，知道比較物體的長度與兩個圖形或平面面積的大小；8.33%的學生不是很清楚，但感覺到了面積與長和寬是有關系的；19.17%的學生不回答或其他。

（2）調查結果分析

從總體情況看，學生在學習“面積”概念前并非一片空白，尤其是生活在城區或鎮上的孩子，他們早已從家長們關于“買房”“賣房”“裝修”等談論中，耳濡目染了“面積”“大小”等詞匯。能夠將“面積”正確描述的學生分為三種情況：

黑板面比電視機屏幕面（大）。這句話中是用黑板面的（面積）和電視機屏幕面的（面積）在比較。

黑板面比電視機屏幕面（大）。這句話中是用黑板面的（大小）和電視機屏幕面的（大小）在比較。

黑板面比電視機屏幕面（大）。這句話中是用黑板面的（大）和電視機屏幕面的（小）在比較。

在上述三類回答中，其中第一類有18人，占15%，且主要集中在城區與城鎮，訪談這些學生后知道，他們或是說看書知道，或是在數學課外書中學到的；第三類有5人，占4.1%，顯然這樣的表達，從面積的定義來看，不能算是“正確的”，但通過對5位同學的訪談后發現，學生也是從“大小”的角度來表述的。

我們通過統計與個別訪談發現，大部分學生是通過生活經驗對“面積”有了初步的感知，并且能夠結合具體的情境，明白面積就是指（面）的大小。

另外，認為“面積”是“長和寬”在比較的學生的結果如下：

黑板面比電視機屏幕面（大）。這句話中是用黑板面的（長和寬）和電視機屏幕面的（長和寬）在比較。

從統計結果來看，這樣的填法所占的比重，城區學生要明顯高于城鎮與偏遠農村學生。而且通過了解，我們發現這樣填寫的學生并非都是后進生，而是各個層次的學生都有。

經過個別訪談了解到，這樣填寫的學生首先是受制于例子的特殊性。例子中兩個物體的面都是長方形，而且黑板面的長與寬均大于電視機屏幕面的長與寬，因此學生直觀地認為是“長和寬”在比較。因此，就本題而言，這種說法不能算錯誤，而且學生已經能從兩維的角度來確定面的大小。

2.調查題2的統計與分析

“面積”與“周長”一樣，是封閉圖形的量度。在具體情境下，學生是否可以分辨哪些圖形有“面積”，哪些圖形沒有呢？通過調查2的統計與分析，可以回答這個問題。

（1）調查結果統計

三個年級中只有來自于偏遠農村小學的兩名學生認為6個圖形都有大小，其余學生都可以作出正確回答。在對偏遠小學四位學生訪談時，同時請兩位認為6個圖形都有大小的學生旁聽，等學生作出回答后，這兩位學生也很快發現了自己存在的問題。

（2）調查結果分析

人教版三上年級數學在教學“周長”時，學生對封閉圖形已經有所認識。因此，當要求判別哪些圖形有“大小”時，極大多學生能夠正確回答。

教師抽查了三類學校各四位學生進行個別訪談，詢問圖形③⑥沒有大小的原因，學生均能從“不是封閉圖形”來說明。

3.調查題3的統計與分析

概念一般由概念名稱、概念示例、概念特征與概念定義這四個部分組成，從調查題1與2可以了解到學生對“面積”的前三個部分的前概念。那么學生又是如何概括“面積”，如何給面積下定義的，這可以從調查題3中找到答案。

（1）調查結果統計（見表2）

（2）調查結果分析

這里的“正確描述”并不是指按書本中的規范表述，而是學生能用“大小”來表述“面積”即可以作為正確描述，例如，

答：聽說過，面積的意思是眼睛看過去的大小。

答：我聽說過“面積”，面積就是封閉圖形的大小。

這樣的學生占總數的半數以上，但沒有學生能如課本中那樣下定義。這說明，在教學時，教師需要有序列舉與引導學生逐步概括定義。

還有一部分學生把“面積”與“面”相混淆，例如，

答：我聽說過，面積是一個圖形的表面。

其他的錯誤回答還有與“周長”相混淆，例如，

答：聽說過，是一個封閉圖形的周長。

“面積”與“周長”作為同時存在于封閉圖形中的兩個量度，不管在概念形成時，還是在應用階段，學生均容易混淆。因此，在教學“面積”時，就要盡早地將其與“周長”進行比較，讓學生更早地區分兩者的區別。

三、“面積”的教學實踐

調查與分析為我們提供了鮮活的、真實的、細致的“前概念”。透析學生的“前概念”，可以改進原有的教學設計，進行更加順應學生學習心理的教學。根據“面積”的前概念調查，我們得知，學生從生活經驗中已經有了“大小”的觀念，并能正確地區分哪些圖形有大小，但在具體解釋“面積”時還不夠完整，且容易與“表面”“周長”這些概念相淆，因此，我們可以采用比較的策略，組織“面積”的教學。

1.在與“長度”的比較中引出“面積”

（1）復習“長度”概念

教師通過投影出示兩支長短不同的紅筆與藍筆，引導學生復習“長度”的概念。

教師先后出示下面兩個句子，請學生回答。

紅筆比綠筆（ ）。

這句話中是用紅筆的（ ）與綠筆的（ ）在比較。

生：紅筆比綠筆長。

生：紅筆的長度與綠筆的長度在比較。

教師板書“長度”。

（2）引出“面積”概念

教師通過投影出示黑板面與電視機屏幕，引導學生先后回答下面問題。

黑板面比電視機屏幕面（ ）。

這句話中是用黑板面的（ ）和電視機屏幕面的（ ）在比較。

生：黑板面比電視機屏幕面小。

生：黑板面的大小和電視機屏幕面的大小在比較。

師：黑板面的大小和電視機屏幕面的大小，這個大小叫做它們的“面積”。

教師板書“面積”。

師：像黑板、電視機屏幕還有桌子等，這些我們都稱它為物體。（板書：物體）我們看到一個物體時，就可以看到這個物體的表面，而物體表面的大小，就可以用兩個字來概括，叫做……

生齊答：面積！

長度與面積是人們刻畫圖形的兩個重要的既有聯系又有本質區別的幾何量度。長度是從一維的角度來刻畫圖形的量度，面積是從二維的角度來刻畫圖形的量度。在前概念調查中發現，三年級的學生對于面積已經有了一定的了解，并且，在日常生活中經常用“大小”來表述。上面的設計，通過對兩組實物的比較，喚起學生已有的經驗，直觀感受到面積與長度的區別，激發學生對“面積”進一步研究的意向。

2.在與周長及平面圖形的辨析中理解面積

（1）比較物體表面的周長與面積

教師利用課件出示數學書，并用紅色線段動畫演示數學書本一周，問：這一周的長度是數學書本的什么？

生：周長。

根據學生的回答教師出示：封面一周的長度是封面的周長。

接著中把整個封面覆蓋上一層紅色，并設問：這是封面的什么？

生：面積。

師：請同學們拿出數學書，指一指封面的周長，再摸一摸封面的面積。

學生操作后，教師拿出一本數學書。

師：同樣是這本數學書的封面，既有我們以前學過的周長的知識，又有今天學的面積的知識，而且還發現了周長與面積的不同。數學就是這么學的，今天學一點，明天學一點，然后我們把它們綜合起來比一比，就發現了更多的知識，也就可以解決更多的問題。

（2）理解圖形的面積

出示圖1，并提問：哪些圖形有面積？

生：圖形①②④⑤有面積。

師追問：你認為怎樣的圖形有面積？

生：封閉圖形有面積。

教師總結并板書：封閉圖形面的大小叫做它們的面積。

（3）概括面積的定義

師：現在你能概括一下什么叫做面積嗎？

生：封閉圖形的大小和封閉圖形面的大小叫做它們的面積。

教師總結并修改板書：物體表面或封閉圖形的大小叫做它們的面積。

“面積”與“周長”雖然有本質的區別，但也有密切聯系。因為，在觀察一個封閉圖形時，看到圖形邊的長短時，同時也看到圖形面的大小。在我們的教材中，為了學習的需要，總是人為地把“周長”與“面積”分成兩個學習階段，第一階段學習周長，是在學生已經學習了米、厘米等長度單位的基礎上進行教學；第二階段學習面積，主要是通過比較不同物體或封閉圖形面的大小來概括面積的概念，進而通過擺一擺、數一數等活動，引出面積單位，導致學生對這兩個重要的概念產生混淆。究其原因，教師在教學周長時，沒有從面的大小來分析周長，在教學面積時，又沒有及時與周長進行比較。為克服這一弊端，本文采用了在數學書本封面的周長與面積的比較中初步感知面積概念，讓學生體會到面積是從另一個角度對封閉圖形的認識。

綜合上面的研究過程，可以發現，對學生“前概念”的調查研究，可以真實地了解學生的思維起點，真切地把握新概念的生長支點。這樣的實踐研究植根于學生，有利于形成教師的教學特色。

（作者單位：1.浙江省杭州市蕭山區教研室 2.浙江省杭州市蕭山區任伯年小學）

（責任編輯：馬贊）