一類SIR傳染病模型的全局穩定性

劉細憲，陳伯山

(湖北師范學院 數學與統計學院， 湖北 黃石 435002)

0 引言

傳染病是當今世界極為引人關注的問題之一，對傳染病的傳播規律和防治對策的研究是關系國計民生的大問題. 從上世紀以來, 人們通過傳染病模型動力學性態的研究, 來顯示疾病的發展過程, 預測其流行規律和發展趨勢, 分析疾病流行的原因和關鍵因素,尋求對其預防和控制的最優策略, 為人們防治決策提供了理論基礎和數量依據.

傳染病學是研究特定人群中疾病健康狀況的分布及其決定因素, 并研究防治疾病及促進健康的策略和措施的科學. 數學模型被廣泛的用于傳染病的研究. 1927年, Kermack 和Mckendrick[1]提出了經典的SIR傳染病模型，之后， 許多學者從不同的角度對流行病模型的系統進行改進并取得了一系列的成果.在不考慮染病者因病死亡的前提下, Anderson等[2]考慮了如下的模型：

(1)

其中 ，S(t) ，I(t),R(t) 分別表示易感者，染病者，恢復者在t時刻占總人口的比例，這里所有的參數都是正常數:μ表示人口的出生率(死亡率)，α表示傳染概率，γ表示患病者的恢復率. 本文主要運用了一種新的方法去證明該模型的全局穩定性，從而避免了構造Lyapunov函數的困難.

本文的結構如下：首先計算模型的平衡點；其次利用Routh-Hurwitz判據分析平衡點的局部穩定性；最后用新的幾何方法證明內平衡點的全局穩定性.

1 平衡點及其局部穩定性

系統(1)存在兩個平衡點，當μ+γ>α時，平衡點為E0(1,0,0) ；當μ+γ<α時，平衡點為

下面分別考慮兩個平衡點的局部穩定性。

定理1 當μ+γ>α時，平衡點E0是局部漸近穩定的.

證明 系統(1)的Jacobi矩陣為

由此可知，

因而有

|J(E0)-λE|=(λ+μ)2(λ-α+γ+μ)

記

f(λ)=(λ+μ)2(λ-α+γ+μ)

又因為μ+γ>α，所以f(λ)只存在負實根。因此，E0是局部漸近穩定的。

定理2 當μ+γ<α時，平衡點E1是局部漸近穩定的.

證明 易知

因而有

記

f(λ)=|J(E1)-λE|

顯然A>0 ，又因為μ+γ<α，所以有

因此，由Routh-Hurwitz判據可得，E1是局部漸近穩定的。

2 內平衡點的全局穩定性

一般而言，我們都是通過構造Lyapunov函數的方法來證明一個系統的全局穩定性。1996年，Li 和Muldowney開創先河，用一種幾何方法證明了一個傳染病模型的全局穩定性[3]，從而避免了構造Lyapunov函數。本文就是運用這種幾何方法來分析系統(1)內平衡點的全局穩定性。

定理3 如果μ+γ<α，那么系統(1)在內平衡點是全局漸近穩定的，其中

μ2=min{γ,αμ1+2γ,2γ+αμ1}=γ

證明 自治系統(1)可以寫成如下形式，

(2)

系統(1)的變分矩陣為

(3)

如果V|2|是變分矩陣V的第二附加矩陣(見[4])，則有

所以有

顯而易見有

因此，

這里的

B11=-αI-γ-2μ

B12=(0 0)

B21=(γ0)T

在R3內定義如下形式的向量范式：

|(μ,v,ω)T|=max{|μ|,+|v|+|ω|}

這里的向量 (μ,υ,ω)在 R3內，且由跟這個范式相關的Lozinskii測度 Γ(見[5])來表示。

因此，Γ(B)≤sup{g1,g2} 且gi=Γ1(Bii)+|Bij|，i=1 ，2,i≠j.這里|B12| ，|B21| 是跟Γ1相關的矩陣范式，且Γ1是跟這個范式相關的Lozinskii測度。

由此可以得到：

Γ1(B11)=-αI-γ-2μ

|B12|=0

|B21|=γ

g1=Γ1(B11)+|B12|=-αI-γ-2μ

因此，

假設存在一個正數μ1∈ R且t1>0 ，

min{γ,αμ1+2γ,2γ+αμ1}=γ

所以有

即

所以

由此，定理得證(詳見[3])。

參考文獻:

[1]Kermack W O , McKendrick A G. Contributions to the mathematical theory of epidemics[J]. proc R soc, 1927, A115:700～721.

[2]葉志勇, 豆中麗, 馬文文,等. 具有種群Logistic增長的SIR模型的穩定性和Hopf分支[J] .生物數學學報, 2012, 27 (2):233～240.

[3]Li M Y, Muldowney J S.A geometric approach to global stability problems [J]. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 1996, 27 (4) :1070～1083.

[4]Bunomo B,Onofrio A,Lacitignola D.Global stability of an SIR epidemic model with information dependent vaccination [J]. Mathematical Biosciences, 2008, 216 (1): 9～16.

[5]Chakraborty K,Chakraborty M, Kar T K.Optimal control of harvest and bifurcation of a prey-predator model with stage structure [J]. Applied Mathematics and Computation,2011, 217 (21) :8778～8792.