一類時滯反饋非線性系統(tǒng)的分岔與控制

蔡 萍, 唐駕時, 李震波

(1. 閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 福建 漳州 363000; 2.湖南大學(xué) 機械與運載工程學(xué)院, 湖南 長沙 410082)

0 引言

分岔和混沌是非線性科學(xué)的一個重要研究領(lǐng)域，也是非線性微分方程研究的重要組成部分。雖然, 關(guān)于分岔理論的研究近年來十分活躍, 取得了眾多成果[1～3]，但在控制方面，分岔遠(yuǎn)不及混沌成熟。分岔控制是指設(shè)計一個控制器，它能夠修改一個非線性系統(tǒng)的分岔特性，從而實現(xiàn)人們所要的理想動力學(xué)行為。Hopf分岔是一種動態(tài)分岔，具有重要的理論意義和實際價值。關(guān)于Hopf分岔的控制已引起了許多科學(xué)工作者的極大關(guān)注。劉爽等[4]設(shè)計非線性反饋控制器對一類耦合非線性相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的Hopf分岔進(jìn)行了控制。郁培等[5]利用非線性狀態(tài)反饋，給出了推遲、消除Hopf 分岔以及改變分岔解穩(wěn)定性的控制方法。劉曾榮等[6]結(jié)合反饋與非反饋控制，對一類三維系統(tǒng)的Hopf分岔進(jìn)行了控制。近年來，Hopf分岔控制理論也成功地應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中[7，8]，成為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非線性動力學(xué)的一個重要組成部分。然而，在沒有辦法或沒有必要消除Hopf分岔的情形下，理想的目標(biāo)是對極限環(huán)的振幅與頻率進(jìn)行控制，這方面也有很多的工作[9～11]。

van der Pol 振子是一個著名的自激振動系統(tǒng)，最早出現(xiàn)在非線性電路中，后來在機械、生物、化學(xué)等很多工程和科學(xué)領(lǐng)域中發(fā)現(xiàn)了它的存在。以往對van der Pol 振子的分岔控制研究，主要集中在van der Pol振子、廣義的van der Pol振子和耦合的van der Pol 振子這三類系統(tǒng)。對參數(shù)激勵作用下的廣義van der Pol 振子的研究并不多見。本文考慮如下含有參數(shù)激勵的廣義van der Pol方程

(1)

含參數(shù)激勵的非線性系統(tǒng)有著豐富的動力學(xué)性態(tài)，1/2亞諧共振是其中之一。唐駕時等[12]做了該Mathieu-van der Pol系統(tǒng)在強非線性下的分岔分析，但相關(guān)的分岔控制并未有文獻(xiàn)給出。本文研究的目的是設(shè)計線性位移和速度時滯反饋控制器，對系統(tǒng)(1)的1/2亞諧共振下的分岔響應(yīng)進(jìn)行控制。受控的系統(tǒng)可以描述為

(2)

其中，τ1和τ2為時滯量，g1和g2為增益系數(shù)。首先，通過多尺度法得到受控系統(tǒng)的分岔響應(yīng)方程，給出了極限環(huán)幅值與控制參數(shù)之間的關(guān)系；其次，通過零解穩(wěn)定性分析，得到Hopf分岔產(chǎn)生的條件以及控制參數(shù)的取值范圍；最后，通過數(shù)值模擬說明理論結(jié)果的正確性和控制的有效性。

1 分岔響應(yīng)方程的攝動分析

采用多尺度法[13]，設(shè)方程(2)的攝動解形式為

x=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)+…

(3)

其中Ti=εit(i=0,1,…) .討論1/2 亞諧共振情況，即Ω=2ω0+εσ，則

(4)

其中，σ為調(diào)諧參數(shù)。將(3)，(4)式代入(2)式，比較方程兩邊ε的同次冪系數(shù)，得到下列攝動方程組

(5)

cosΩT0x0+g1x0(t-τ1)+g2D0x0(t-τ2)

(6)

(7)

(8)

令方程(8)中的久期項為零得

(9)

令A(yù)=aeiφ，其中a和φ是關(guān)于T1的實函數(shù)，代入(9)式，得系統(tǒng)極坐標(biāo)形式的平均方程

(10)

(11)

這里

(12)

2 零解穩(wěn)定性分析及Hopf分岔條件

在方程(9)中令A(yù)=u+iv，u和v為關(guān)于T1的實函數(shù)，則可得直角坐標(biāo)形式的平均方程

(13)

系統(tǒng)(13)的平衡點在原點(u,v)=(0,0) ，平均方程(13)的Jacobian矩陣為

(14)

這里w=(u,v)T.對應(yīng)零解的特征方程為

(15)

由Routh-Huriwigz (R-H)判據(jù)可知，當(dāng)滿足條件(16)時

(16)

原點是漸近穩(wěn)定的平衡點。并且當(dāng)M=0時，方程(15)存在一對純虛根，根據(jù)Hopf 分岔定理，該情況系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔。由于M 是時滯項系數(shù)g1,g2和時滯參數(shù)τ1,τ2的函數(shù)，因此，調(diào)節(jié)g1,g2和τ1,τ2可使系統(tǒng)的平衡點由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定并從中生長出極限環(huán)，即可以控制系統(tǒng)Hopf 分岔的發(fā)生。由式(11)可知，參數(shù)g1,g2和τ1,τ2同樣影響系統(tǒng)極限環(huán)幅值大小，即參數(shù)可以控制極限環(huán)的大小。由上述分析可知, 系統(tǒng)的線性部分能夠影響Hopf分岔的產(chǎn)生, 因此非線性控制器僅僅能夠改變極限環(huán)的幅值, 而無法控制Hopf分岔. 線性控制器雖然既能改變極限環(huán)幅值也能控制Hopf分岔的發(fā)生, 但顯然時滯反饋控制器的調(diào)節(jié)幅度和空間更大，在實際工程中的應(yīng)用也會更加廣泛。這是時滯反饋控制器的優(yōu)越性所在，也是其它控制器無法做到的。

3 數(shù)值模擬

(a)x-t 圖圖

(a)x-t 圖圖

(a)x-t 圖圖

4 結(jié)論

建立了含參數(shù)激勵的廣義Van der Pol方程的時滯動力系統(tǒng)，主要討論了在1/2亞諧共振下控制參數(shù)對系統(tǒng)分岔的控制和極限環(huán)幅值的影響。通過攝動分析，得到了時滯動力系統(tǒng)的分岔響應(yīng)方程，給出極限環(huán)幅值和控制參數(shù)的關(guān)系。借助R-H判據(jù)對系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性做了分析，從而獲得系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分岔的條件。數(shù)值模擬結(jié)果表明，時滯控制器不僅能控制極限環(huán)的幅值，也能控制系統(tǒng)Hopf分岔的產(chǎn)生，與理論分析一致，得到滿意的結(jié)果。因此，時滯系統(tǒng)在分岔控制領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景。

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