一維FPU晶格模型中的孤子研究

張道華，李華新，朱國良，石大慶，李金星

(1.湖北師范學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖北 黃石 435002；2.夏店鎮(zhèn)中學(xué)，湖北 大悟 432804)

0 引言

自20世紀(jì)60年代以來，非線性科學(xué)飛速發(fā)展，與此對(duì)應(yīng)，物理學(xué)中的非線性知識(shí)也日趨豐富，而作為自然界中普遍存在的孤子，是最早能夠觀察到并且可以在實(shí)驗(yàn)室產(chǎn)生的非線性現(xiàn)象之一。隨著孤子問題研究的深入，對(duì)它的理論建立、研究方法和實(shí)際應(yīng)用的研究，已經(jīng)在物理學(xué)各研究領(lǐng)域中占據(jù)了越來越重要的地位。在討論固體的非線性物理問題時(shí)，一維非線性晶格常常因?yàn)槟Ｐ秃?jiǎn)單、物理圖像清晰，并且存在各種非線性元激發(fā)而被普遍重視和研究[1～3]。其中一維FPU晶格模型是現(xiàn)有描述固體晶格非線性模型中最經(jīng)典、最簡(jiǎn)單的模型之一，對(duì)FPU晶格動(dòng)力學(xué)的研究導(dǎo)致了內(nèi)稟局域模的誕生，促進(jìn)了晶格中孤子理論的發(fā)展[4～6]。在FPU晶格模型中，原子鏈上的非線性元激發(fā)包含了包絡(luò)孤子、扭結(jié)包絡(luò)孤子、反扭包絡(luò)結(jié)孤子等，已被廣泛地應(yīng)用于一維非線性晶格局域模、熱傳導(dǎo)現(xiàn)象和混沌現(xiàn)象等的研究之中。對(duì)于眾多的非線性晶格模型來說，除了有限幾個(gè)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可積外，大多數(shù)其它模型的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程都是不可積的，F(xiàn)PU晶格模型就是其中的一種。為了求解這些不可積的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，人們發(fā)展了很多的方法。起初，主要是采用連續(xù)性近似。但是在特征波長(zhǎng)與晶格常數(shù)相差不大時(shí)，忽略晶格的離散性就會(huì)帶來較大的誤差[2]。為了解決這個(gè)問題，許多求解非線性離散晶格體系的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的方法應(yīng)運(yùn)而生，如格林函數(shù)方法、準(zhǔn)連續(xù)性近似法、多重尺度法、旋轉(zhuǎn)波近似等。對(duì)于FPU晶格模型，在長(zhǎng)波近似下采用多重尺度法可以很方便的找出其孤子解，在處理這一問題上，多重尺度法較其他方法有一定的優(yōu)勢(shì)。

本文主要是利用多重尺度法結(jié)合長(zhǎng)波近似求解FPU晶格模型中的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，研究非線性晶格中的孤子。

1 模型和方法

對(duì)于由n個(gè)質(zhì)量為m的原子、分子或原子集團(tuán)組成的FPU晶格體系，哈密頓量通常可表示為[2，6]：

(1)

其中un表示第n個(gè)原子相對(duì)平衡位置的位移，右邊第一項(xiàng)表示動(dòng)能，第二項(xiàng)是相鄰粒子之間的相互作用勢(shì)，可表示為：

k2是線性系數(shù)，k3、k4為非線性系數(shù)。對(duì)于特殊情況，當(dāng)k3=0，k4≠0時(shí)，體系對(duì)應(yīng)FPU-α模型；當(dāng)k3≠0，k4=0時(shí)，體系對(duì)應(yīng)FPU-β模型[6]。近幾年對(duì)于FPU模型的研究主要集中于FPU-β模型，其數(shù)學(xué)處理過程往往比FPU-α模型簡(jiǎn)單，甚至有些方法只對(duì)前者適用。本文也僅以前者為例。

對(duì)FPU-β模型應(yīng)用海森堡運(yùn)動(dòng)方程可得[2]：

(2)

做變換un→εφn，ε是小參量，(2)式可變?yōu)椋?/p>

(3)

假定孤子解的形式如下：

φn=φn(t1,t2,εna)ei(kna-ωt)+c.c

(4)

上式中a和k分別是晶格常量和波數(shù)，φn是孤子的慢變外在包絡(luò)函數(shù)，ei(kna-ωt)是快變載波。引入多尺度變量t1=εt，t2=ε2t,x1=εx， 由(4)我們可以得到：

(5)

(6)

(7)

應(yīng)用長(zhǎng)波近似，并將(4)待入(3)式，這里我們僅保留到O(ε3) 項(xiàng)，其線性項(xiàng)可化為：

(8)

非線性項(xiàng)：

(9)

(10)

將(6)～(10)代入(3)式，并比較等式兩端參量ε系數(shù)得：

ε0:mω3φn=2k2(1-coska)φn

(11)

(12)

(13)

(14)

顯然有(11)可得色算關(guān)系：

(15)

因此我們很容易得出孤子的群速度為：

(16)

有(12)～(13)可得：

(17)

上式即為標(biāo)準(zhǔn)的非線性薛定諤方程。

2 結(jié)果推導(dǎo)

對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤方程的解，我們可以得到(17)式晶格模型中的孤子解。方程(17)式可直接寫成以下非線性薛定諤方程[3]：

(18)

其中

(19)

設(shè)(18)式有包絡(luò)波解：

φ=u(ξ)ei(kx-ωt),ξ=x-vgt

(20)

將(20)代入(18)式，得到

(21)

因u(ξ) 為實(shí)函數(shù)，故要求du/dξ前的復(fù)系數(shù)為零，方程簡(jiǎn)化為：

(22)

當(dāng)ω=(k2+2)α?xí)r，方程(22)有暗孤子解[7]：

(23)

當(dāng)ω=(k2-4)α?xí)r，方程有亮孤子解：

(24)

當(dāng)ω=(k2-1)α?xí)r，方程有亮孤子解：

(25)

上面的孤子解表明，在適當(dāng)?shù)臈l件下，一維FPU原子鏈中能夠形成亮孤子和暗孤子。

3 總結(jié)

本文在長(zhǎng)波近似的條件下，運(yùn)用多重尺度法對(duì)一維非線性振動(dòng)體系進(jìn)行了研究，對(duì)于FPU-β模型，很方便的將其運(yùn)動(dòng)方程變換成了標(biāo)準(zhǔn)的非線性薛定諤方程，根據(jù)非線性薛定諤方程的一般求解方法，得到了一維FPU原子鏈中的亮孤子和暗孤子解。這將有利于促進(jìn)晶格中孤子理論的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]周凌云,王瑞麗,吳光敏,等.非線性物理理論及應(yīng)用[M]. 北京:科學(xué)出版社，2000.

[2]龐小峰. 孤子物理學(xué)[M]. 成都: 四川科學(xué)技術(shù)出版社, 2003.

[3]劉式適，劉式達(dá).物理學(xué)中的非線性方程[M].北京:北京大學(xué)出版社，2012.

[4]Chen W Z.Experimental observation of solitons in a 1D nonlinear lattice [J].Phys Rev B, 1994, 49(21): 15063～15066.

[5]Ford J.The Fermi-Pasta-Ulma Problem: Paradox Turns Discovery[J].Phys Rep,1992, (213): 271～310.

[6]Berman G P,Izraileva F M.The Fermi-Pasta-Ulam problem: Fifty years of progress[J].chaos, 2005, (15):1～18.

[7]Liu Ji-Bing, Xie Xiao-Tao,Wu Ying.Acoustic solitary wave and breather in molecular magnets via electromagnetically induced Transparency[J].EPL,2010 (89 ):1～6.