基于兩步線性回歸的狀態空間模型建立與驗證

史志偉，倪芳原，陳永亮

（南京航空航天大學 航空宇航學院，江蘇 南京 210016）

0 引 言

對于現代先進戰機來說，尋求準確實用的大迎角非定常氣動力模型，用于動力學仿真、穩定性分析和控制系統設計，成了眾多專家學者的研究目標。但是目前還未獲得能夠準確描述戰機上的非定常氣動力，并且可以很方便的應用于飛行仿真的數學模型。

大迎角非定常氣動力建模主要沿著兩個方向發展：其一是傳統的數學模型方法，如代數模型［1］、階躍響應模型、狀態空間模型［2－4］、微分方程模型［5］等；其二是現代建模方法，即利用新型邊沿學科研究成果來建立氣動力與飛行狀態之間的關系式，如神經網絡模型［6］、模糊邏輯模型等［7－8］。

傳統的數學模型方法則可看作是“白箱”問題，“白箱”問題是機理分析法建模，即根據物理背景和機理分析來建立氣動力與飛行狀態之間的數學關系式。早期的空氣動力學模型一般近似用某時刻運動變量及其時間導數的函數的泰勒展開，取其線性項來表示。這種近似適用于小迎角附著流的情形，但是如果擴展到大迎角時就不再適用了。在早期的空氣動力學模型的基礎上，Tobak M和他的同事應用階躍函數方法建立了積分形式的非定常非線性氣動力模型。雖然這種方法十分有效，但是飛行器運動的方程是微分形式的，很難把非定常非線性氣動力的積分模型與飛機運動的微分方程聯立起來，因此限制了積分模型的廣泛使用。Goman M等人在此基礎上，引入流場狀態的內部變量，把上面的常微分方程組改寫成輸入—狀態—輸出動態系統，建立了稱之為狀態空間表達的非定常數學模型［9－11］。其中內部狀態變量可以只是形式上的表達，而且可以有明確的物理意義。由于采用矩陣表示，當狀態變量、輸入變量或輸出變量的數目增加時，并不增加系統描述的復雜性。國內有研究表明狀態空間法的模型可以反映大迎角非線性非定常氣動特性，并且具備很好的仿真計算、預測能力。

模糊邏輯與神經網絡方法則是將氣動力的建立過程看作“黑箱”問題，“黑箱”模型本身作為系統的一種模型，不需要建立有明確表達式的數學模型。這樣建立的模型具有強大的自學習功能，能夠學習適應不確定性系統的動態特性，同時對于建模參數的數量也沒有限制。有研究表明，對于耦合運動的非定常氣動力這種具有多變量參數的函數，模糊邏輯原理是很適合于耦合運動的非定常氣動力建模。神經網絡在處理多變量、非線性、非定常氣動力問題時也是一種有效的方法。但是這兩個方法的缺點在于非定常氣動力的建模參數比較多，計算量較大，其建模精度還有待提高。

本文將在三角翼狀態空間模型的研究基礎上，完成某飛機模型的小振幅風洞動態實驗，計算該飛機模型的“同相”、“反相”導數，對狀態空間模型進行參數估計。通過對建模結果的分析，來討論此狀態空間模型的適用性。

1 數學模型的形式以及模型辨識過程及方法［9－11］

飛機模型在大迎角下的流動特性，很大程度上取決于渦流和渦破碎流，并在此過程中產生了很重要的時間遲滯效應［12］。氣動力系數在物理意義上，可以分解成由不同特征時間常數的勢流（包含附著流、非破碎渦流）與破碎渦流、完全失速流共同作用的形式。對于所有氣動載荷，這里給出一普遍的形式如下：

其中i＝（x，y，z，l，m，n）為氣動分量，ξ＝（α，β，p，q，，…）T為運動參數，τatt、τdyn、τFSF分別為勢流、渦破碎和完全失速流的流動調整過程時間常數。右端第二項也即渦破碎量可以寫成非線性常微分方程的形式，能夠以更靈活的形式來描述時間常數：

其中＝t＊V／c為無量綱時間常數，下文中均直接簡寫為t；kn（α）為m＋1個待估參數、為在渦流破碎過程中引起的準定常延遲，（，）實際即為Cidyn的靜態值ΔCi。

綜合上述研究可知，式（1）、式（2）構成了非線性、非定常狀態空間氣動模型的基本形式。

以某三角翼模型縱向運動的法向力系數的線性模型為例，來介紹兩步回歸［13］參數辨識方法的一般過程：

對方程（3）進行線性化，可以導出如下形式：

由此可以得到，“同相”和“反相”導數它們兩者之間的關系如下：

線性回歸方程（5）可以看作是以“同相”動導數為自變量、“反相”導數為因變量的一個線性方程。由第一步線性回歸得到特征時間常數τ之后，式（4）就可以看作是不同迎角下、估計未知參數CNαatt、CN˙αatt、ΔCNα的線性回歸方程。通過第二步線性回歸可以得到待估參數勢流分量CNαatt、CN˙αatt和渦破碎流分量ΔCNα的值；至此，線性回歸方程（3）中的所有未知參數通過兩步回歸法都得到了其估計值。

圖1、圖2為單獨俯仰運動以及單獨偏航運動情況下，狀態空間模型的參數估計值以及縱向建模和航向建模線性（Cimod1）、非線性模型結果（Cimod3）與實驗數據（Ciexp）的對比。圖中Cist為系數Ci的靜態值，Ciatt為通過辨識得到的系數Cist的勢流部分值，Ciexp為系數Ci的動態實驗值，ΔCi為通過辨識得到的系數Cist的渦破碎流部分值，Cidyn為通過求解微分方程得到的系數Ci的渦破碎流部分值。

圖1 三角翼模型縱向建模線性、非線性模型結果與實驗數據比較（β＝0°，f＝0.5Hz）Fig.1 The delta wing：comparison of experimental and predicted aerodynamic responses of linear and non－linear pitching unsteady aerodynamic model

圖2 三角翼模型航向建模線性、非線性模型結果與實驗數據比較（α0＝30°，f＝0.5Hz）Fig.2 The delta wing：comparison of experimental and predicted aerodynamic responses of linear and non－linear yawing unsteady aerodynamic model

2 飛機模型狀態空間模型建立與研究

對于飛機模型的狀態空間模型建立，仍引用文獻［9］中的狀態空間模型方程。并設計風洞小振幅動態實驗，得到飛機模型作單自由度運動在不同中心迎角下的小振幅實驗數據。進而推導“同相”和“反相”導數的計算公式，得到飛機模型在不同迎角，不同頻率下的“同相”和“反相”導數值。這樣就可以用兩步回歸法來進行參數辨識，得到狀態空間模型中的所有未知參數，進而得到建模結果。

2.1 實驗研究

2.1.1 實驗設備

本文實驗在南京航空航天大學NH－2低速風洞中進行的，該風洞實驗段口徑為3m×2.5m矩形帶切角。圖3所示為模型支撐機構和本文實驗所用的模型。實驗時模型采用尾支撐，并保證模型重心、天平校心、模型旋轉中心三心重合。

2.1.2 數據采集和處理

風洞實驗得到飛機模型作單自由度運動在不同中心迎角下的小振幅實驗數據，模型運動規律為α＝α0－αmcos（2πft），模型運動頻率分別為（0.4，0.5，0.6，0.7）Hz。數據采集通過一桿式六分量應變天平來實現。由于測量數據是在模型作快速往返運動情況下采集得到的，大迎角氣流分離引起的流動不重復性，以及模型作高頻擺動時的慣性力和氣流分離后非定常渦流引起的結構振動的影響，造成測量數據離散性很大，乃至有用的信號淹沒在背景噪聲之中，而無法獲得準確的測量結果。因此，除了數據采集時采用10Hz低通濾波器外，另外設計了數字濾波軟件［14］，以減少實驗數據的觀測噪聲。

圖3 動態實驗臺實驗照片Fig.3 The photo of test apparatus and model

2.2 飛機模型動導數的計算［15］

在模型的參辨識中，第一步線性回歸需要在不同迎角下的“同相”和“反相”導數來辨識得到相關參數，通過實驗測得飛機模型的小振幅實驗數據，可計算得到在不同迎角，不同頻率下的“同相”和“反相”導數。

根據小擾動理論以及用實驗法提取動導數，我們將氣動力寫成（以俯仰力矩Cm為例）：

由于在風洞實驗中Δq＝Δ˙α，飛機模型運動規律滿足：Δα＝－αmcos（kt），由此得到：

對式（7）兩端同時乘以cos（kt）以后進行時間平均，得到：

這樣可以通過積分運算得到俯仰運動的“同相”導數。

同理，對式（7）兩端同時乘以sin（kt）以后進行時間平均，得到：

這樣可以通過積分運算得到俯仰運動的“反相”導數。

下圖為飛機模型在不同迎角、不同頻率下的“同相”和“反相”導數。

圖4 飛機模型“同相”導數數據Fig.4 In－phase aerodynamic derivatives of aircraft

圖5 飛機模型“反相”導數數據Fig.5 Out－of－phase aerodynamic derivatives of aircraft

2.3 飛機模型建模結果與分析

在得到飛機模型的“同相”和“反相”導數值之后，就可以用兩步回歸法來進行參數辨識，得到狀態空間模型中的所有未知參數，進而得到建模結果。

圖6為“同相”和“反相”導數的相互關系。利用相互關系，通過第一步線性回歸可得到相應的特征時間常數，再進行第二步線性回歸，辨識得到方程中勢流分量和渦破碎流分量的估計值。

圖6 用于第一步線性回歸的飛機模型“同相”導數和“反相”導數Fig.6 In－phase and out－of－phase aerodynamic derivatives of aircraft used for first step linear regression

通過兩步線性回歸法，辨識得到了狀態空間模型的方程中所有的待估參數值；由線性模型以及非線性模型可以直接求解微分方程，即可求出力矩系數的Cm的線性模型值以及非線性模型值，見圖7（β＝0°，f＝0.4Hz）。

圖7 縱向俯仰運動建模線性、非線性模型結果與實驗數據比較Fig.7 Comparison of experimental and predicted aerodynamic responses of linear and non－linear pitching unsteady aerodynamic model

由以上結果可以看到，線性、非線性模型結果與實驗數據相比，大體上的趨勢還是吻合的。這說明所采用的模型在一定程度上還是能描述飛機模型的氣動力的非線性特性和非定常遲滯效應。但是在數值上還存在偏差，分析誤差來源可能有：

（1）實驗飛機模型體積和質量比較大，在模型作快速往返運動時，結構振動和模型高頻運動時的慣性力等都會對實驗數據造成影響。這些影響可能會導致所計算得到的“同相”導數和“反相”導數值有一定的誤差，從而影響建模結果。這就要求在今后的實驗中要選擇體積較小和質量較輕的飛機模型。

（2）與三角翼模型的動導數相比較，飛機模型的動導數關于頻率的依賴性更加復雜。對于這兩個不同的飛機模型，這種差異也是合理的。中等迎角下三角翼前緣不再是附著流動，在機翼前緣產生分離。從前緣產生的分離剪切層，在機翼上表面兩側被卷起，形成一對反向旋轉的穩定的前緣渦。而對于具體的飛機模型，不僅在機頭處有前體渦，邊條翼也會產生渦，同時垂尾也會對全機的氣動力有影響。這些渦之間的相互作用，都會使得渦破碎點的位置有很大差異。從狀態空間模型的物理意義上來考慮，這些差異不僅會導致動導數的規律差異，同時可能對于狀態空間模型的具體表達形式，也會有影響。這表明目前所用的狀態空間模型對于三角翼這樣流動結構比較簡單的模型是適用的，但對于復雜構型的飛行器來說，狀態空間模型的表達形式還需要進一步研究。

3 結 論

通過研究可以看出，對于三角翼模型，反映大迎角非線性非定常氣動特性的狀態空間法模型根據實際的流動物理意義建立，形式也較為簡單，利用小振幅動導數實驗和線性的狀態空間法模型計算得到的非定常氣動載荷，就已經與實驗值非常接近了，驗證了模型的正確性。通過改進模型，利用非線性的狀態空間模型在大振幅的振蕩實驗中，模型計算的結果與實驗數據符合的更好，包含了更多非線性特性。

進一步考慮復雜構型的飛機模型的狀態空間模型，由目前所得結果可知，建模結果與實驗數據相比仍有誤差，還需進一步深入研究。

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