基于波面擬合的可壓縮剪切層氣動光學效應分析

史可天，馬漢東

（中國航天空氣動力技術研究院，北京 100074）

0 引 言

氣動光學是研究空氣動力流場對光波傳輸和光學成像影響的一門新型交叉學科。由于流場密度分布的時空不均勻性，平面光波通過湍流流場后，光瞳范圍內不同空間位置的波面相位產生超前或滯后，從而引起成像偏移、模糊和抖動，這種現象就稱為氣動光學效應［1－2］。開展氣動光學效應研究，探索氣動流場特性與光學畸變特性之間的關聯，一方面可以深入認識湍流流動機理，另一方面對提高光學成像探測系統的性能具有重要的意義［3］。

目前的氣動光學傳輸效應研究中，已經建立了相對完善的光學畸變數值模擬方法［4－7］，但是對于光學畸變特性的深入分析，還缺乏有效的分析手段，因此難以建立光學畸變與流場特性之間的定量關聯。

波面擬合是通過線性無關的基函數來擬合離散波差函數，其擬合系數可以較為明確地表達不同特性的畸變波面所產生的像差；通過對比分析各階擬合系數的量值分布規律，還可以獲取波面畸變的空間尺度特性［8］。目前，波面擬合方法多用于光學工程分析的鏡面面形數據處理，在光學系統、光學設計軟件和干涉檢查中得到廣泛應用［9－10］。

本文將波面擬合方法應用于可壓縮剪切層流場氣動光學效應研究，通過擬合系數定量地表達了不同波面畸變之間的差異，建立了一種光學畸變特性分析方法。對可壓縮剪切層流動發展不同階段造成的波面畸變特性進行了分析，討論了流場結構尺度與波面畸變尺度之間的關聯。

1 波面擬合方法

本文利用Zernike多項式對波面進行擬合，它在極坐標下的表達式為［11］：

其中，m、n為整數并且滿足m≤n且n－m為偶數。

Zernike多項式在表述像差方面具有獨特的優點，主要表現為：

（1）Zernike多項式是單位圓內的正交函數，即：

其中，m＝0時，σ＝1；m≠0時，σ＝0.5。通常的光學系統都具有圓形的光瞳，經過歸一化后正好是單位圓，Zernike函數系的正交性使不同階多項式的系數相互獨立。

（2）Zernike多項式與初級像差有著一定的對應關系，第1階反映波面整體相移，第2、3階反映x、y方向的波面傾斜，第4階反映離焦，第5、6階反映不同形式的像散，第7階至第10階反映不同形式的彗差［8］。

（3）Zernike多項式階數與波面畸變空間尺度有著一定的對應關系，多項式階數越高，表達的波面畸變空間尺度越小。

假設畸變波面有M個離散數據點，光瞳口徑歸一化后畸變波面可以用N階Zernike多項式表示為：

可以將上式寫成矩陣形式，得到

其中，Z是Zernike多項式在各離散點的取值組成的M×N階矩陣，a是Zernike多項式的各階系數ak組成的N維向量，W是畸變波面在離散點上的取值組成的M維向量。

通常情況下，離散點個數M大于未知系數個數N，因而方程不存在一般意義下的解，可以得到的是最小二乘解：

2 時間發展剪切層波面畸變分析

本節采用DNS方法進行了時間模式可壓縮剪切層數值模擬，以獲取流場的密度信息，剪切層對流馬赫數Mc＝0.58。流場計算域展向和流向取周期邊界條件，法向取無反射邊界條件。初始流場為平均流場加擾動場，流向平均速度取雙曲正切函數為初始平均速度剖面，平均法向和展向速度為零，平均溫度滿足Crocco－Busemann能量積分關系式，平均壓力沿法向無梯度，擾動場采用最不穩定擾動波。通過線性穩定性理論分析得出最不穩定波對應x、z方向的波數α和β，計算區域取為：0≤x≤2π／α，－15≤y≤15，0≤z≤2π／β。

由于湍流的多尺度特性，本文采用了高階緊致格式對控制方程進行空間離散，計算方法的基本思想是采用五階精度迎風緊致格式離散N－S方程中的對流項，采用六階精度對稱緊致格式離散N－S方程中的粘性項，采用三階Runge－Kutta方法離散時間導數項［12－13］。圖1給出流場轉捩過程中由瞬時壓力等值面表示的Λ渦結構向馬蹄渦結構的演化。

將流動發展不同時刻的法向入射波面（圖2）進行擬合分析，光瞳口徑為30mm。圖3給出低階擬合系數隨無量綱時間的變化規律。從中可以看出與流向（本文中為x方向）相關性強的波面擬合系數增長要早于與展向（y方向）相關的擬合系數；同時，與流向相關性強的波面擬合系數增長幅值要明顯大于與展向相關的擬合系數，這說明波面畸變以流向起伏為主。

圖1 瞬時壓力等值面Fig.1 Iso－surfaces of pressure

圖2 不同時刻的波面畸變Fig.2 Wavefront distortion at different time

圖3 不同時刻波面擬合低階系數Fig.3 Coefficients of low order Zernike polynomials

在波面擬合過程中，低階像差主要反映空間大尺度畸變，高階像差主要反映空間小尺度畸變。從流動發展不同階段波面擬合系數與像差階數的對應關系（圖4）可以看出，轉捩過程中的擬合系數以低階系數為主，高階擬合系數幾乎為零，這是因為轉捩過程中的波面畸變主要受到流場中大尺度結構演化的影響；而轉捩完成以后的高階擬合系數則具有一定的幅值，明顯大于轉捩過程中的情況，這是因為轉捩完成后流場中大尺度渦已經破碎成為小尺度結構，從而波面畸變具有波面起伏小幅值和空間變化頻率高的特點。

圖4 流動不同階段的波面擬合系數Fig.4 Coefficients of Zernike polynomials at different flow patterns

3 空間發展剪切層波面畸變分析

受到計算條件限制，DNS計算中所取的Re數較低，雖然小尺度量已趨向各向同性，但仍未達到充分發展湍流。本節采用大渦模擬方法進行空間模式可壓縮剪切層模擬，數值格式與上一小節相同，展向采用周期邊界條件，法向和計算域出口采用無反射邊界條件。初始流場取為平均流場加擾動場，流向平均速度取雙曲正切函數為初始平均速度剖面，平均法向和展向速度為零，平均溫度滿足Crocco－Busemann能量關系式，平均壓力沿法向無梯度，擾動場采用最不穩定擾動波。來流馬赫數高速Ma1＝2.0，低速Ma2＝0.5，來流溫度高速T1＝162.8K，低速T2＝279.0K，對流馬赫數Mc＝0.58。

圖5給出剪切層流場密度等值面，上游入口附近流場在最不穩定二維擾動下首先發生Kelvin－Helmholtz失穩，形成一系列大尺度的二維渦卷結構；隨著流動的發展，相鄰展向渦之間通過渦辮發生強烈的卷吸作用，導致了流動的展向失穩，二維基頻渦管逐漸彎曲斷裂，轉捩以后的流場渦結構以較為均勻分布的三維小尺度渦為主。

圖5 瞬時密度等值面Fig.5 Iso－surface of density

圖6給出光瞳中心位于不同流向發展階段時的波面光程差分布，光瞳口徑取為20mm，轉捩初期取在K－H失穩形成二維渦卷結構位置，轉捩中期取在渦卷結構發生二次失穩的位置。圖7為對應三個波面的擬合系數的幅值。為了便于比較，用波面畸變PV值對各階擬合系數進行了無量綱化。流場轉捩初期區域以二維渦卷為主要結構，因而波面畸變表現為流向的大尺度起伏，這時與展向畸變相關性強的波面擬合系數幾乎為零，并且相應Zernike低階項的擬合系數幅值明顯大于高階項系數。流動轉捩區域發生二次失穩，流場結構呈現三維多尺度特性，這時對應展向和流向的擬合系數已經不存在明顯的差異，雖然仍以低階像差為主，但是其幅值有所下降，高階像差所占的比例相對轉捩初期有明顯的增加，說明小尺度的波面畸變有所增長。對于完全湍流區域，流場大尺度結構已經逐步破碎成為小尺度結構，各階擬合系數幅值相當，只有個別低階擬合系數具有較大幅值，高階像差在波面畸變中占有的比重進一步增大。對比圖5中流場渦結構的演化特點，可以發現流場渦結構的空間分布及其尺度特性是影響波面畸變特性的重要因素。

圖6 不同流向位置的波面畸變Fig.6 Wavefront distortion at different positions

圖7 不同流向位置的波面擬合系數Fig.7 Coefficients of Zernike polynomials at different positions

4 結 論

應用波面擬合方法對可壓縮剪切層流場引起的氣動光學效應進行了分析，通過波面系數的幅值分布情況比較了流場轉捩初期、轉捩過程中和完全發展湍流三個階段的波面畸變特性。分析結果表明，通過波面擬合可以定量地表達波面畸變的空間尺度特性。流場轉捩初期的波面擬合系數中與流向相關的低階系數幅值要明顯大于另一個方向的系數，波面畸變以流向大尺度畸變為主，而在流場轉捩過程中以及完全發展湍流區，波面擬合系數中的高階系數幅值明顯增長，波面表現為三維多尺度起伏形態。流場結構的分布特點決定了波面畸變的尺度分布特性，是可壓縮剪切層流場氣動光學效應的重要影響因素。

［1］SUTTON G W.Aero－optical foundations and applications［J］.AIAAJ.，1985，23（10）：1525－1537.

［2］JUMPER E J，FITZGERALD E J.Recent advances in aero－optics［J］.ProgressinAerospaceSciences，2001，37（3）：299－339.

［3］殷興良.氣動光學原理［M］.中國宇航出版社，2003.

［4］陳澄，費錦東.側窗頭罩高速層流流場光學傳輸效應數值模擬［J］.紅外與激光工程，2005，34（5）：548－552.

［5］陳勇，郭隆德，張龍，等.帶凹窗斜劈高速湍流氣動光學效應研究［J］.空氣動力學學報，2010，28（6）：48－53.

［6］閆溟，史可天，馬漢東.針對氣動光學效應的RANS計算方法研究［J］.空氣動力學學報，2013，31（4）：462－465.

［7］潘宏祿，史可天，馬漢東.DNS／LES方法在剪切湍流模擬中的應用［J］.空氣動力學學報，2009，27（04）：444－450.

［8］田秀云，吳時彬，伍凡，等.環形大口徑平面鏡圓Zernike多項式擬合精度分析［J］.光學技術，2008，34（z1）：21－23.

［9］單寶忠，王淑巖，牛憨笨，等.Zernike多項式擬合方法及應用［J］.光學精密工程，2002，10（3）：318－323.

［10］NOLL R J.Zernike polynomials and atmospheric turbulence［J］.J.Opt.Soc.Am.，1976，66（3）：207－211.

［11］WANG J Y，SILVA D E.Wavefront interpretation with Zernike polynomials［J］.AppliedOptics，1980，19（9）：1510－1518.

［12］史可天，馬漢東.可壓縮混合層氣動光學效應研究［J］.計算物理，2010，27（1）：65－72.

［13］FU D X，MA Y W.A high order accurate difference scheme［J］.J.Comput.Phys.，1997，134（1）：1－15.

［14］張紅朝，趙玉新，楊濤.基于BOS的氣動光學畸變測量與波前重構［J］.空氣動力學學報，2010，28（5）：48－53.

［15］甘才俊，何楓，楊京龍，等.可壓縮混合層中的大尺度結構及其作用初探［J］.空氣動力學學報，2008，26（4）：498－503.

［16］易仕和，趙玉新，田立豐，等.超聲速混合層轉捩過程實驗研究的進展［J］.空氣動力學學報，2009，27（z1）：114－119.