填充式防護結構彈道極限方程的多指標尋優

賈光輝 歐陽智江 蔣 輝 李 軒

(北京航空航天大學 宇航學院，北京100191)

隨著我國載人航天工程的發展，急需開發適合于我國航天器防護的填充式防護結構[1].填充式防護結構是在傳統Whipple防護結構的緩沖板和后板之間增設了填充層織物，對二次碎片進行再次破碎和降速，以達到在有限空間內提高防護效果的目的[2].國外的填充式防護結構中，該填充層織物通常由Nextel陶瓷纖維和Kevlar高強度芳綸纖維組成[3].

在空間碎片超高速碰撞問題的研究中，彈道極限方程一直是最主要的研究內容之一，也是航天器空間碎片撞擊風險評估失效判斷的依據[4].當前描述彈道極限方程預測能力的指標主要包括總體預測率、安全預測率以及預測誤差平方和等.

目前國內針對填充式防護結構彈道極限方程的研究相對較少，主要借鑒國外方程的形式進行分析[5].由于國內很難獲得Nextel陶瓷纖維材料，導致我國開發的填充式防護結構在材料上和國外有很大的區別.目前國內一些研究機構主要以SiC和玄武巖等作為Nextel陶瓷纖維的替代材料[6].

此外，國內填充式防護結構的緩沖板和艙壁材料與國外也存在一定的差異，從而國外的彈道極限方程很難直接應用于國內填充式防護結構的風險評估.

為了獲得適用于國內填充式防護結構的彈道極限方程，可以考慮在國外方程的基礎上，采用國內的實驗數據進行修正，以期獲得預測指標最優的彈道極限方程.

1 NASA填充式彈道極限方程簡介

NASA工程師Christiansen等人于1995年提出了一種填充式防護結構彈道極限方程的通用形式[7]，該方程的具體形式如下:

低速段:當V≤2.7/(cosθ)0.5時

高速段:當V≥6.5/(cosθ)1/3時

式中，dc為臨界彈丸的直徑;V為彈丸的撞擊速度;θ為彈丸的撞擊角度;ρp為彈丸的密度;S為前后板間距;tw為后板厚度;ρw為后板密度;σw為后板的屈服強度;mb為前板與填充層織物總的面密度.

對于中速段內的彈道極限方程，即當2.7/(cosθ)0.5＜V＜6.5/(cos θ)1/3時，由高速段與低速段線性插值得到.

2001年，Christiansen在以上填充式防護結構彈道極限方程的基礎上，對其低速段和高速段的速度拐點、低速段的整體系數以及個別參數的指數進行修正，獲得了適用性更強的彈道極限方程[8].修正后的填充式防護結構彈道極限方程為

低速段:當V≤2.6/(cosθ)0.5時

高速段:當V≥6.5/(cosθ)3/4時，dc延用式(2).

對于中速段的彈道極限方程，即當2.6/(cosθ)0.5＜V＜6.5/(cos θ)3/4時，同樣由高速段與低速段線性插值獲得.

2 方程對國內實驗數據的預測

國內對填充式防護結構進行的超高速撞擊實驗相對比較少，相關的實驗中主要采用玄武巖或Kevlar作為填充織物，其中文獻[9]在Whipple防護結構的基礎上以11層Kevlar疊加作為單組填充，進行了12次超高速撞擊實驗，文獻[10]則以玄武巖纖維布作為填充織物進行了3次實驗.這些實驗都僅包含單組的填充織物，統稱為單填充組結構.

為更加清楚地展示國外的填充式彈道極限方程對國內超高速撞擊實驗數據的預測情況，圖1繪出了NASA填充式彈道極限方程式(2)及式(3)對以上調研的國內15個超高速撞擊實驗數據的預測分布.該圖稱為d/dc-V圖.

圖1 NASA填充式彈道極限方程對國內數據的預測

從圖1發現，在15個數據點中，有11個后板失效的實驗數據，其中9個數據點處于d/dc=1上方，即實驗彈丸直徑比方程預測的臨界彈丸直徑大，方程預測其應為失效，剛好與實驗結果一致，說明方程成功預測了9個失效的實驗數據.同理，后板未失效的實驗數據有4個，其中3個處于d/dc=1下方，說明方程成功預測了3個未失效的實驗數據.因此，國外方程對國內15個實驗數據的總體預測率PTotal(PTotal=(9+3)/15)為80%，安全預測率PSafe(PSafe=1－(11－9)/15)為86.7%.可見，國外的填充式防護結構彈道極限方程式(2)及式(3)對國內的實驗數據具有一定的預測效果，只是預測率相對不高，需要進一步修正才能適用于我國的航天工程實際.

3 方程修正策略的探討

對比式(1)～式(3)發現，國外學者在修正方程時主要修正的是方程的整體系數以及個別參數的指數，因此，可以借鑒該方法對國外方程進行修正以獲得適用于國內的方程.

若方程對失效和未失效實驗數據的預測分布在d/dc-V圖中沒有明顯的分界，則表明方程所反映的物理規律與實際不符，需要對其指數進行修正，否則僅需對方程的系數進行修正.

由圖1可見，實驗數據主要集中在低速段和中速段.在低速段內，失效和未失效實驗數據之間有著明顯的分界，且d/dc=1的直線剛好將其分開，說明方程低速段對實驗數據的預測效果較好，僅需修正整體系數以提高預測精度.

在中速段內，有1個未失效數據點處于失效數據之間，而d/dc=1的直線也將失效數據點隔開了，說明方程在中速段的預測效果不佳.由于失效數據點相對比較集中，故可以認為方程在中速段內的形式所反映的物理規律與實際相符，僅需要修正其系數.根據方程定義已知，中速段是由低速段和高速段線性插值獲得，因此對中速段系數的修正可以轉化為對低速段和高速段系數的修正.

基于上述分析，引入整體系數K1和K2，則待修正的填充式彈道極限方程可表示為

低速段:當V≤2.6/(cosθ)0.5時

高速段:當V≥6.5/(cosθ)3/4時

對于中速段的彈道極限方程，即當2.6/(cosθ)0.5＜V＜6.5/(cos θ)3/4時，同樣由高速段與低速段線性插值獲得.

4 方程的修正

4.1 第1類指標的修正

總體預測率PTotal和安全預測率PSafe反映的是方程成功預測實驗數據的概率，可以統稱為方程的第1類指標.

為保證獲得最優的整體系數K1和K2，結合圖1的預測分布設定其變化區間為[0.5，1.5]，并采用窮舉法以0.01的步長進行搜索.

通過計算，最終PTotal隨K1和K2變化的等值線分布如圖2所示.由于實驗數據的有限性，導致以預測正確個數為基礎的PTotal隨K1和K2的變化呈現階躍的特征.

從圖2發現，PTotal較高的區域主要集中在圖中的下部靠中間位置，其最大值為93.3%.也就是說，為了獲得較高的PTotal，低速段系數K1取值應在1左右而高速段系數K2應比1小.

同理，圖3繪出了PSafe隨K1和K2變化的等值線分布情況，也呈現出階躍的特征.從圖中發現，左下角區域的PSafe取得較高值，其最大值高達100%，即實驗數據中所有失效的實驗點均被成功預測到.也就是說，為了獲得較高的PSafe，整體系數K1和K2都應取較小值.

為了使新方程的第1類指標較優，將圖2和圖3中PTotal和PSafe取得較大值的等值線匯總在圖4中.可見，同時滿足PTotal=93.3%，PSafe=100%的整體系數K1，K2的組合有很多對，而實際中最優的組合應該是唯一的，因此有必要在此基礎上采用其他指標尋找最優的K1，K2組合.

4.2 第2類指標的引入

較好的K1和K2除了能夠使方程成功預測更多的實驗數據外，還應使沒有被成功預測到的實驗數據點距離直線d/dc=1更近，即預測誤差更小.因此，本節將選用預測誤差平方和作為方程的第2類指標以尋求最為合理的K1和K2.

圖4 PTotal和PSafe聯合分布

文獻[11]給出了預測誤差平方和(即保守誤差)的定義:

式中，dci是由方程預測得到的第i個臨界彈丸直徑，dpi是實驗給出的第i個彈丸直徑，fi是方程預測第i個實驗數據的精確性(正確預測實驗結果時取0，反之取1).該指標的意義在于僅針對方程預測錯誤的實驗數據，而不考慮預測正確的情況.

通過計算，f隨K1和K2變化的等值線分布如圖5所示.可見，由于f表示的是距離大小，其等值線表現也較為光滑.從圖中發現，f較小值主要集中在中間區域，為獲得較優的f值，K1和K2應取1左右.

圖5 f隨K1和K2變化的等值線

綜合以上兩類指標，將PTotal，PSafe和f的較優值集中在圖6中，可見，在滿足第1類指標最優的K1，K2組合中有唯一的組合使f取得最小值(如圖中的五角星點)，此時K1，K2分別取1.01，0.86.

根據以上尋優結果，修正后的填充式彈道極限方程可表示為

低速段:當V≤2.6/(cosθ)0.5時

高速段:當V≥6.5/(cosθ)3/4時

圖6 PTotal，PSafe和f聯合分布

中速段則由高速段與低速段線性插值獲得.

4.3 方程修正前后對比

利用修正后的方程重新對以上調研的國內15個實驗數據進行預測，其預測分布如圖7所示.從圖中發現，除1個未失效的實驗數據沒有被成功預測到之外，其余數據均被成功預測.

方程修正前后的對比情況整理如表1，表中M'NotFailure表示方程正確預測的未失效個數;MNotFailure表示未失效實驗數據的總個數;M'Failure表示方程正確預測的失效個數;MFailure表示失效實驗數據的總個數.

圖7 新方程對國內數據的預測

由表1已知，修正后方程的PTotal達到93.3%，比修正前提高了13.3%;而PSafe則高達100%，比修正前也提高了13.3%.可見，修正后方程的預測效果明顯優于修正前，且最終的預測率指標比較高，可以滿足工程實際的需要.

表1 單填充組方程修正前后對比

5 修正結果的驗證

以上分析獲得的新彈道極限方程針對的是單填充組的填充式防護結構，而在工程實際中，有時為了提高填充式結構的防護性能，經常填充單組以上的填充織物或者采用不同材料搭配的填充方式.針對該情況，以上修正的方程是否依然適用，是否有必要重新進行修正，本節將進一步研究.

調研發現，文獻[9]中還將11層Kevlar分成兩組疊加(組間保持一定的間距)，作為雙組填充進行了10次超高速撞擊實驗，后又將其中第1組填充換為玄武巖纖維布進行了9次實驗.

采用與第4節類似的方法，基于新調研的19個雙填充組實驗數據重新對方程進行修正，其預測結果與采用單填充組修正方程的預測結果對比如表2所示.

表2 單填充組與雙填充組修正方程對比

由表2可見，單填充組修正方程對雙填充組實驗數據的PTotal不足60%，且PSafe不足90%，說明單填充組防護結構彈道極限方程不適用于雙填充組的結構.相對而言，雙填充組修正方程的PTotal達到84.2%，預測能力有了較大的提升，只是其PSafe依然不足90%，說明該修正方式存在一定的不足.

為此，將以上兩類雙填充組結構的實驗數據分開，分別采用第4節類似的方法對其方程系數進行修正，最終方程的預測結果與采用統一修正系數后的預測結果對比整理如表3所示.

表3 雙填充組方程分別修正前后對比

由表3可見，單一填充材料修正后方程的PTotal達到90%，PSafe高達100%，其預測能力較統一修正時有了很大的提升.對于兩種填充材料而言，統一修正與單獨修正后方程的PTotal和PSafe都分別一樣，說明單獨修正后只是降低了f值.因此，根據不同的填充材料分別修正方程的系數可獲得相應的最佳方程.

以上修正獲得的不同填充式防護結構彈道極限方程的最優系數表明，由于方程中沒有涉及填充組數目、填充物材料等相關參數，導致很難獲得針對每種填充式結構都適用的最佳方程，只能根據特定結構的實驗數據修正得到相應的最優方程系數.

對比單填充組、單一材料的雙填充組以及兩種材料的雙填充組結構修正后的最優系數K1，K2發現，在結構參數及填充材料面密度都分別相同的前提下，單填充組結構在低速段內的防護能力優于雙填充組結構，而高速段內則雙填充組結構較優.對雙填充組結構而言，兩種填充材料的防護能力在整個速度區間都優于單一填充材料.

6 結論

本文基于國內填充式防護結構超高速撞擊的實驗數據，對NASA填充式防護結構的彈道極限方程進行修正，結果發現:

1)采用兩類指標聯合修正的方法可獲得適用于我國航天工程特定填充式結構的彈道極限方程;

2)針對不同類型的填充式防護結構，根據實驗數據分別修正可獲得專業性較好的彈道極限方程;

3)在填充材料面密度相同的前提下，雙填充組結構在高速段內的防護能力優于單填充組，而低速段內則單填充組結構較優.

4)下一步擬對本文涉及的3種填充式結構的特點進行研究，以確定預測效果較好的統一形式的方程.

本文主要針對填充式防護結構的彈道極限方程進行了多指標修正建模工作，對論文中所用實驗數據的作者和單位表示感謝.

References)

[1]韓增堯，龐寶君.空間碎片防護研究最新進展[C]//第六屆全國空間碎片學術交流會(上冊).成都:國家國防科技工業局系統工程一司，2011:329－342

Han Zengyao，Pang Baojun.Latest progress of space debris protection[C]//The 6th National Academic Exchange on Space Debris(first volume).Chengdu:First Division of Systems Engineering，National Defense Science and Technology Industrial Development Bureau，2011:329－342(in Chinese)

[2]Ryan S，Christiansen E L.Micrometeoroid and orbital debris(MMOD)shield ballistic limit analysis program[R].NASA/TM-2009-214789，2010

[3]Christiansen E L，Arnold J，Davis A，et al.Handbook for designing MMOD protection[R].NASA/TM-2009-214785，2009

[4]Christiansen E，Lambert M，Stokes H.IADC protection manual[M].Germany:Inter Agency Debris Committee，2002

[5]張偉，龐寶君.航天器空間碎片防護方案的評價方法[J].中國空間科學技術，1998，18(006):30－36

Zhang Wei，Pang Baojun.Evaluation methods of space debris prevention scheme for spacecrafts[J].Chinese Space Science and Technology，1998，18(006):30－36(in Chinese)

[6]王應德，閆軍，韓增堯，等.空間碎片防護用幾種纖維材料的性能對比與SiC纖維的防護性能初步實驗分析[C]//第六屆全國空間碎片學術交流會(上冊).成都:國家國防科技工業局系統工程一司，2011:357

Wang Yingde，Yan Jun，Han Zengyao，et al.Performance comparison of several fiber materials for space debris shields and preliminary experimental analysis of the protective properties about SiC fiber[C]//The 6th National Academic Exchange on Space Debris(first volume).Chengdu:First Division of Systems Engineering，National Defense Science and Technology Industrial Development Bureau，2011:357(in Chinese)

[7]Christiansen E L，Crews J L，Williamsen J E，et al.Enhanced meteoroid and orbital debris shielding[J].International Journal of Impact Engineering，1995，17(1):217－228

[8]Christiansen E L，Kerr J H.Ballistic limit equations for spacecraft shielding[J].International Journal of Impact Engineering，2001，26(1):93－104

[9]張寶璽.超高速撞擊玄武巖及Kevlar纖維布填充防護結構優化設計[D].哈爾濱:哈爾濱工業大學航天學院，2011

Zhang Baoxi.The optimal structural design of stuffed shields with basalt and Kevlar fiber clothes on hypervelocity impacting[D].Harbin:School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，2011(in Chinese)

[10]哈躍.玄武巖纖維材料及其填充防護結構超高速撞擊特性研究[D].哈爾濱:哈爾濱工業大學航天學院，2009

Ha Yue.Research on hypervelocity impact properties of woven of basalt fibric and its stuffed shielding structure[D].Harbin:School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，2009(in Chinese)

[11]徐小剛.航天器防護結構超高速撞擊彈道極限方程綜合建模方法研究[D].北京:北京航空航天大學宇航學院，2009

Xu Xiaogang.Ballistic limit equations integrated method of spacecraft shields under space debris hypervelocity impact[D].Beijing:School of Astronautics，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2009(in Chinese)