磁性層頂底埋深的功率譜計算方法及影響因素

楊 強，王有學，王海燕，周海濱

（1.廣西隱伏金屬礦產勘查重點實驗室，廣西 桂林 541004；2.桂林理工大學 地球科學學院，廣西 桂林 541004；3.江西省核工業地質調查院，江蘇 南昌 330038）

0 前言

確定磁性異常體的頂、底界面埋深是磁力勘探及解釋的一個重要組成部分，目前主要采用特征點法、切線法、磁異常梯度的積分法、希爾伯特（Hilbert）變換法、矢量解釋法以及磁異常快速自動反演方法和功率譜法對磁異常資料進行定量解釋，進而求取磁源體參數。

功率譜法是確定磁性異常體的頂、底界面埋深時最常用的方法之一，該方法是由Spector和Grant［1］在頻率域求解磁性體界面的平均深度時提出來的，其實質是“等效論”原理在磁法方面的應用。在較難進行工作的地區（如無人區或凍土區等），磁性體的磁化率等參數不易取得［2－3］，如果采用功率譜法就可以方便快捷地得到一個新區域的基底起伏、區域磁性層的頂、底界面深度等地質信息，為后續的地質工作提供有價值的參考資料。

作者在本文主要介紹利用磁異常及其垂向導數數據進行功率譜計算的方法和近似公式，此外還探討了影響功率譜計算精度的一些因素。

1 基本原理

對于任意磁化的二度體（如圖1所示），其垂直磁化強度Za的振幅譜公式為：

I為磁化傾角；J0為磁化強度；a為厚板的半寬度；h1為磁性體頂面埋深；h2為底面埋深。對式（1）進行傅里葉變換，得到Za的理論譜及功率譜分別為式（2）與式（3）。

其中 ω是圓頻率。

圖1 二度磁性體模型Fig.1 The model of 2－D magnetic body

1.1 磁性體頂深的確定

令h2＝h1＋△h，則式（3）可寫成式（4）。

當｜ω△h｜≤1時，1－e－ω△h可以展開成級數，并取一級近似，可得式（5）。

對式（5）取對數，有：

lnP ＝ln｛［4πJ0△hsin（ωa）］2e－2ωh1｝并且令B ＝ln｛［4πJ0△hsin（ωa）］2｝，得：

從式（6）可以看出，在功率譜的低頻段，二度磁性體頂面的埋深近似地與功率譜的對數呈線性關系，因此在lnP～ω的曲線上，可以利用低頻段功率譜的斜率來確定二度磁性體頂面的埋深。

1.2 磁性體底深的確定

令e－wh1 ＝e－wh2＋w△h，帶入式（3），得式（7）。

對式（7）取對數，得：

將ew△h－1展開成級數

在底面埋深公式的推導過程中，為了得到近似解，因此在級數中取其中某一項代替ew△h－1。

一般計算磁性體底深時，利用對數功率譜的低頻段，近似的用級數中項ln［（w△h）3／6］來代替ln（ew△h－1）效果較好［4］。式（8）可以改寫為式（9）。

令B′＝B＝2ln［（△h）3／6］，則：

計算磁性體底面埋深的公式如式（10）所示。在計算過程中需要注意的是，當△h的絕對值較大或較小時，式（10）可能存在比較大的誤差（其相對誤差一般均＜30%）。由此可見，利用功率譜法計算的磁性體底面埋深只具有一定的參考價值。

1.3 磁異常及其各階垂向導數的功率譜計算埋深方法

聯立引力位和磁位的泊松公式，可以導出功率譜利用磁異常和其各階垂向導數異常數據計算磁性體頂、底界面埋深的公式，如式（11）、式（12）所示。

其中，上頂埋深為：

下底埋深為：

在式（11）和式（12）中，n≥0且n為整數，表示磁異常垂向導數的階數；lnPn（w）表示磁異常第n階垂向導數的功率譜［5］。

在此，使用磁異常的高階導數進行功率譜的計算，是因為磁異常高階導數比磁異常衰減的更快，所以在相同的區域內使用磁異常高階導數計算功率譜，可以得到更高的計算精度［6］。

2 理論模型驗證及討論

為了檢驗功率譜法計算磁性體頂、底界面埋深的準確性及精度，設計了一系列不同幾何參數的二度磁性體模型，并對其采用功率譜法計算模型的頂、底界面的深度，計算結果如表1所示。表1中分別給出了磁異常功率譜和利用垂向一階導功率譜所計算的深度。可以看出基本能給出理想的計算結果。其中，2L為二度磁性異常體的厚度，即2L＝h1－h2。

表1 不同a和L時磁性體頂底界面深度計算結果及誤差對比Tab.1 Depth of the top and bottom when aand Lcalculated in different depth comparison and its contrast of errors

由表1可知，二度磁性異常體的寬度2a在計算頂、底界面埋深時沒有太大的影響，但二度磁性異常體的頂面埋深h1和底面埋深h2對計算結果具有顯著影響。當底面埋深h1較小時，計算出的底面埋深h2的精度比較好；而當計算頂面埋深h1時，在磁異常的厚度（2L）較大時精度稍差，其計算的誤差最大為20%左右，基本符合要求。

在此設計一個磁性體的組合模型，以檢驗功率譜法對區域磁測資料的應用效果。磁異常組合模型示意圖如圖2所示。

圖2是二度磁異常體組合模型的示意圖，模型由八個柱體組成，其中頂面和底面均為變化的，頂面埋深在10m～20m之間，底面埋深在30m～40m之間。模型四周的空白為背景區域，可以看作是沒有磁化或磁化率極低的圍巖部分。

為了充分利用磁測數據及避免邊界效應，通常采用“移動窗口”來計算整個區域，且每一“窗口”與下一個相鄰“窗口”有50%的疊加部分，然后計算模型頂、底界面深度。圖3為使用磁異常和其相應的垂向一階導數異常數據進行功率譜計算得出的理論曲線和實際曲線的對比，從圖3中可以看出，功率譜的計算結果誤差較小，符合實際要求。

圖2 磁性體組合模型的剖面示意圖Fig.2 The section schematic of the combined magnetic models

由圖3中的計算結果可以看出：在起伏界面的上凸點，導數譜的計算值比異常譜的計算值更接近一些，是因為對磁異常求取垂向導數后，得出的垂向導數異常分離了相鄰磁性體之間的疊加效應，受到旁側異常的影響較小；在界面下凹處，由于磁異常體的延伸較大，兩種算法的結果與理論模型都非常接近，因此在使用一階垂向導數數據計算磁性體界面埋深的結果中，其受到相鄰磁性體影響較小的優點并不突出。然而，在磁異常轉換為一階導數異常時，由于數據轉換處理必然會在原始數據中加入誤差，所以最好能同時將磁異常的譜和其導數異常譜進行對比分析并結合使用，以便獲得更加客觀和合理的解釋結果。

3 利用功率譜計算磁性體頂、底界面埋深的影響因素

通過分析功率譜法計算磁性體頂、底界面埋深的理論和近似公式［7］，在用模型驗證的基礎上，總結了在實際應用功率譜方法進行計算時需要注意以下幾個影響因素：

圖3 組合模型頂、底界面埋深計算結果剖面圖Fig.3 The computed depths of the top and the bottom for the combined models

（1）磁性體底面埋深是在低頻情況下求取的，但在計算時應盡量避免使用甚低頻的點，以免使求取的界面深度具有較大的誤差。

（2）利用功率譜求取界面深度時，“窗口”的選擇對計算結果有很大影響。因為計算中使用的頻譜的最低頻是由“窗口”的大小來決定的，“窗口”與最低頻呈反相關：“窗口”越小，最低頻率越大；反之“窗口”越大，最低頻率越小。磁性體底面底埋深是在低頻段進行計算的，所以“窗口”的大小必須包括地質體的最低頻譜［8－9］。

4 結論

作者在本文對功率譜利用磁異常及其垂向導數異常數據直接計算磁性體頂、底界面埋深方法，做了一定的介紹并分析了影響功率譜效果的因素。通過驗證，可以肯定功率譜具有一定的優越性，具有實用價值。但是磁性體定量解釋是一個復雜的問題，且磁異常功率譜在使用過程中人為選擇的頻譜和窗口有較大差異，磁異常的參量不同對功率譜的應用也會有一定的制約，需要在以后的研究中深入分析。

［1］SPECTOR A.GRANT F S.Statistical.models for interpreting aeromagnetic Data［J］. Geophysics，1970，35（2）：293－302.

［2］管志寧.地磁場與磁力勘探［M］.北京：地質出版社，2005.

［3］侯重初，李保國.直接計算磁性下界面深度的功率譜法［J］.物探化探計算技術，1985，7（2）：179－187.

［4］侯重初，李保國.計算磁性體上頂與下底深度的功率譜法［J］.物探化探計算技術，1985，7（4）：271－279.

［5］侯重初，李保國.利用位場及其高階導數的功率譜計算巖層的深度與厚度［J］.地球物理學報，1988，31（1）：90－98.

［6］侯重初，楊全成.用譜分析建立一個位場反演系統［J］.物探化探計算技術，1990，12（4）：295－303.

［7］穆石敏，葉水盛.功率譜法估算埋深中的若干問題［J］.長春地質學院學報，1982，2（2）：95－102.

［8］王西文.對數功率譜法計算磁性體頂底深的若干問題［J］.西安地質學院學報，1989，11（4）：90－99.

［9］戴偉銘.利用功率譜直接求埋深的影響因素［J］.吉林大學學報：自然科學版，2010，40（增刊）：17－20.