含位置參數伽瑪分布的特征函數和參數估計

嚴 琴,李開燦 (湖北師范學院數學與統計學院, 湖北 黃石 435002)

含位置參數伽瑪分布的特征函數和參數估計

嚴 琴,李開燦 (湖北師范學院數學與統計學院, 湖北 黃石 435002)

研究了含位置參數的伽瑪分布的特征函數和參數估計，其中參數估計包括3個參數的矩估計以及當形狀參數和位置參數為已知時求得尺度參數的極大似然估計具有無偏性和有效性，同時還研究了兩伽瑪分布之間的Pearson-χ2距離和Kullback-Leibler距離。

伽瑪分布；Kullback-Leibler距離；Pearson-χ2距離；參數估計

1 含位置參數的伽瑪分布及其性質

(ert)(n-m)=rn-mert[(1-βt)-α](m)=βmα(α+1)…(α+m-1)(1-βt)-α-m

故：

推論1該伽瑪分布的期望和方差分別為EX=αβ+r,DX=αβ2。

證明對定理1中的結論，令n=1,n=2可得E(X)=αβ+r,DX=E(X2)-E2(X)=αβ2。

定理2若隨機變量ξ～G(α1，β，r),η～G(α2,β,r)均為伽瑪分布，則隨機變量ζ=ξ+η同樣服從伽瑪分布，且ζ～G(α1+α2,β,2r)。

證明設ξ,η和ζ的概率密度函數分別為pξ(x)，pη(y),pζ(z),當z≤2r時，pζ(z)=0，當z>2r時：

故ζ～G(α1+α2,β,2r)。

注：可加性是對于形狀參數的可加，對于位置參數只是近似的可加，而對于它是否也具有可加性有待于進一步的驗證。

2 特征函數和參數估計

定理3若ξ～G(α，β，r)，則ξ的特征函數為φ(t)=eitr(1-itβ)-α。

推論2若隨機變量ξ～G(α1,β,r1),η～G(α2,β,r2)均為伽瑪分布，則隨機變量ζ=ξ+η同樣服從伽瑪分布，且ζ～G(α1+α2,β,r1+r2)。

證明通過定理3可以得到ξ和η的特征函數分別為：

φξ(t)=eitr1(1-itβ)-α1φη(t)=eitr2(1-itβ)-α2

故ζ的特征函數為φζ(t)=φξ(t)·φη(t)=eit(r1+r2)(1-itβ)-α1+α2。由于隨機變量的分布函數由其特征函數唯一確定，故可以得到結論。

注：通過研究該伽瑪分布的特征函數，可以得到該伽瑪分布在尺度參數不變的條件下，對于形狀參數和位置參數都具有可加性。

定理4設ξ1,ξ2,…,ξn是總體G(α,β,r)的樣本，則參數α,β,r的矩估計為：

由定理4發現，含3個參數的伽瑪分布的矩估計比較復雜，對于其矩估計的性質有待于進一步研究。尺度參數在伽瑪分布中具有特殊重要的意義，因此重點分析尺度參數的極大似然估計。

證明設子樣ξ1,ξ2,…,ξn的聯合概率函數在ξi取已知觀測值xi,i=1,…,n時f(x1;β)f(x2;β)…f(xn;β)是β的函數，用L(β)=L(β;x1,x2,…,xn)表示子樣的似然函數：

3 伽瑪分布的Pearson-χ2距離和Kullback-Leibler距離

通常為了比較2個密度函數的差異性，利用Pearson-χ2距離和Kullback-Leibler距離等距離概念來刻畫，而文獻[1]研究了Pearson-χ2距離的一些性質，文獻[2]研究了幾個重要分布的Pearson-χ2距離，文獻[3]則研究了一些分布的Kullback-Leibler距離。在此筆者研究伽瑪分布的這2個距離。

定理6設f(x)是伽瑪分布G(α1,β1,r)的密度函數，g(x)是伽瑪分布G(α2,β2，r)的密度函數，且0<α1<2α2，2β1≠β2，則：

證明由距離公式的定義得：

其中:

定義3設隨機變量ξ,η分別具有密度函數f(x)，g(x)并設g(x)>0，則f(x),g(x)之間的Kullback-Leibler距離定義為:

定理7設f(x)是伽瑪分布G(α1,β1,0)的密度函數，g(x)是伽瑪分布G(α2,β2,0)的密度函數，且α1,α2>1，則f(x)到g(x)的Kullback-Leibler距離為：

證明由Kullback-Leibler距離定義得：

所以:

當α1,α2>1時，由引理1,可得:

[1]李開燦. Pearson-χ2距離的若干性質[J].數學的實踐與認識,2003,33(1):49-53.

[2] 陳光曙,朱成蓮.幾個重要分布的Pearson-χ2最大距離及其漸進性[J].江西師范大學學報(自然科學版),2005,29(5):417-419.

[3] 陳曉東.幾種常見分布的Kullback-Leibler距離[J].淮陰師范學院學報(自然科學版),2009, 8(4):279-283.

[4]Robert G O, Shau S K. Updating Schemes.Correlation St ructure, Blocking and Parameterization for the Gibbs Sampler [J]. J R Statist Soc B, 1997, 59:2912317.

[5]Liu S J,Wong W H, Kong A. Correlation St ructure and Convergence Rate of the Gibbs Sampler with Var i2 ous Scans [J]. J R Statist Soc B, 1995, 57:1572169.

[6] 魏宗舒.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社,2008.

2012-11-26

湖北教育廳科技重點項目(D20112503)。

嚴琴(1989-)，女，碩士，現主要從事統計學方面的教學與研究工作。

O212

A

1673-1409(2013)04-0007-03

[編輯] 洪云飛