全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷客觀題及其解法分析

余勝春 (武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430081)

全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷客觀題及其解法分析

余勝春 (武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430081)

全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷客觀題所占的比例逐年增大。對(duì)全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷客觀題的常見(jiàn)形式和解法進(jìn)行了分類總結(jié)，并指出其解題關(guān)鍵，給出了相應(yīng)的范例。

數(shù)學(xué)；客觀題；解法

1 數(shù)學(xué)客觀題的分類

數(shù)學(xué)客觀題從題型上可分為填空題和選擇題2種。有些考試中還有一類“是非”判斷題，事實(shí)上，它是一種只提供2個(gè)備選項(xiàng)的選擇題。填空題是一類在某個(gè)正確、或可以通過(guò)補(bǔ)充使其正確的命題中空出一個(gè)關(guān)鍵性或結(jié)論性的空缺，讓其填充完整的題型；選擇題是一類已知一定的條件，并給出若干個(gè)(現(xiàn)在一般為4個(gè))備選項(xiàng)，讓其選擇其正確選項(xiàng)的題型。選擇題它又可分為單項(xiàng)選擇題和多項(xiàng)選擇題，一般情形下，若無(wú)特別說(shuō)明時(shí)為單項(xiàng)選擇題，即在所給的備選項(xiàng)中有且僅有一個(gè)正確選項(xiàng)。

數(shù)學(xué)客觀題從題義上可分為定性、定量及混合型3類：定性題要求從命題的條件出發(fā)，通過(guò)相關(guān)的定義、定理、性質(zhì)及概念之間的內(nèi)在聯(lián)系來(lái)確定所研究的對(duì)象是否具有某種性質(zhì)、關(guān)系或結(jié)論，其偏重于概念的辨析及其相互關(guān)系、定理性質(zhì)的推論以及對(duì)某些結(jié)論的歸納、猜測(cè)(此時(shí)無(wú)需論證)；定量題則要求從命題所給的條件出發(fā)，運(yùn)用與其相關(guān)的結(jié)論(或公式、定理、法則)通過(guò)推理、計(jì)算來(lái)確定某些數(shù)學(xué)元素的數(shù)量關(guān)系，其偏重于基本的計(jì)算技能和比較簡(jiǎn)單的推演；混合型客觀題則要求具有一定的綜合運(yùn)用各方面知識(shí)的能力。

2 數(shù)學(xué)客觀題解法及其舉例

客觀題主要考查對(duì)基本概念的掌握程度、解題能力、運(yùn)算技巧和熟練程度，一般可采用概念觀察法、推演歸納法、猜測(cè)驗(yàn)證法、推理計(jì)算法、特例賦值法、圖像分析法、反例排除法等方法來(lái)求解。

1)概念觀察法 當(dāng)客觀題題目?jī)?nèi)容涉及基本概念時(shí)，可考慮使用概念觀察法。

A、奇函數(shù) B、偶函數(shù) C、周期函數(shù) D、單調(diào)函數(shù)

解填m。該題考查函數(shù)的奇偶性、可導(dǎo)性及其之間的關(guān)系，可用概念觀察法。由于f(-x)=-f(x)，即f(x)為奇函數(shù)，且f′(-x0)=m≠0，即f(x)在x=-x0處可導(dǎo)，由奇函數(shù)的對(duì)稱性可知f(x)在其對(duì)稱點(diǎn)x=x0可導(dǎo)，且奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)一定為偶函數(shù)，故f′(x)=f′(-x0)=m。

2)推演歸納法 當(dāng)客觀題的命題結(jié)論涉及自然數(shù)時(shí)，可試用推演歸納法求解。

例3設(shè)f(x)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且f′(x)=[f(x)]2，則f(n)(x)=( )。

A、nfn+1(x) B、n!fn+1(x) C、(n+1)fn+1(x) D、(n+1)!fn+1(x)

解選B。因?yàn)閒′(x)=[f(x)]2，則f″(x)=2f(x)f′(x)=2![f(x)]3，f?(x)=3·2f2(x)f′(x)=3![f(x)]4，………，f(n)(x)=n!fn+1(x)。

3)猜測(cè)驗(yàn)證法 對(duì)于一些單項(xiàng)選擇題的結(jié)論可以逐一代入驗(yàn)證時(shí)，可以事先依據(jù)題設(shè)條件提出猜測(cè)結(jié)論，再進(jìn)行驗(yàn)證，可以達(dá)到事半功倍的效果。

A、0 B、1 C、2 D、-1

4)推理計(jì)算法 這是針對(duì)一類要求直接得到計(jì)算結(jié)果的客觀題的解題方法，無(wú)論它是填空題還是單項(xiàng)選擇題。

則：

5)特例賦值法 在客觀題的命題條件中涉及到抽象函數(shù)或較為復(fù)雜的函數(shù)的計(jì)算，但無(wú)法計(jì)算或計(jì)算十分困難時(shí)，可試用特例賦值法。

A、M=NB、M≥NC、M≤ND、M-1=N

6)圖形分析法 當(dāng)客觀題的命題條件中涉及到某些概念的幾何意義或幾何特性時(shí)，由于幾何圖形所具有的直觀性，更容易直觀揭示其內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系。

解填Δy0時(shí)，故有Δy

例10曲線f(x)=x(x-1)(2-x)與X軸所圍成的圖形的面積可表示為( )。

圖1 例9圖形 圖2 例10圖形

解選A。該題考查定積分的幾何意義。y=x(x-1)(2-x)與X軸所圍成的圖形見(jiàn)圖2陰影部分所示，由于在區(qū)間(0,1)內(nèi)f(x)<0，在區(qū)間(1,2)內(nèi)f(x)>0，由定積分的幾何意義知正確選項(xiàng)為A。

7)反例排除法 反例排除法僅適用單項(xiàng)選擇題，因?yàn)閱雾?xiàng)選擇題所給的選項(xiàng)中有且有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案。故當(dāng)很難在所給的選項(xiàng)中直接選定正確的答案時(shí)，可通過(guò)舉反例或確定除某個(gè)選項(xiàng)以外的所有選項(xiàng)均出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，則可以確定錯(cuò)誤選項(xiàng)以外的選項(xiàng)為正確選項(xiàng)。

A、條件收斂 B、絕對(duì)收斂 C、不可能發(fā)散 D、有可能發(fā)散

例12下列各式中不等于零的是( )。

3 結(jié) 語(yǔ)

數(shù)學(xué)題的解法，法無(wú)定法，客觀題也是如此。有些題目常常需要多種方法的綜合運(yùn)用才能奏效。只有多實(shí)踐、多總結(jié)，才能做到得心應(yīng)手。

[1]尹水仿，余勝春.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[2] 余勝春，張平芳.高等數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2012.

[3] 蔡子華.數(shù)學(xué)客觀題解[M].北京，科學(xué)出版社，2002.

2012-11-25

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61104127)。

余勝春(1963-)，男，副教授，現(xiàn)主要從事數(shù)學(xué)方面的教學(xué)與研究工作。

N4

A

1673-1409(2013)04-0106-03

[編輯] 洪云飛