軸向充磁圓筒型永磁直線電機磁場解析

黃克峰，李槐樹，周羽

(海軍工程大學電氣工程系，湖北武漢430033)

軸向充磁圓筒型永磁直線電機分析和設計的前提是對電機內的磁場分布進行準確計算.目前旋轉永磁電機內的磁場計算方法有解析公式法［1-8］、有限元數值計算法［9-11］.利用有限元法能夠考慮電機在實際運行中存在的磁路飽和、齒槽效應和繞組渦流等因素的影響.解析公式法具有物理概念清晰、計算量小、快捷等優點，便于直觀考察結構尺寸、材質等對電機磁場的影響，這樣能夠快速有效地對電機的結構進行優化設計.

對于永磁旋轉電機在結構上的傳統性利用解析法能夠準確進行計算，但是軸向充磁圓筒型永磁直線電機是一種新的電機類型，并在結構上具有特殊性，利用解析法不能對該類電機進行有效計算，本文將采用基本氣隙磁場法并利用許—克變換得出的隱函數公式進行準確計算.

1 無槽軸向充磁磁勢的解析模型

1.1 基本氣隙磁場的定義

基本氣隙磁場定義［12］如下:在圓筒型永磁直線電機磁場分布中最小氣隙δmin處的磁感應強度密度定義為1T時的氣隙磁場分布，即

式中:Fδmin為最小氣隙處的磁勢，Bδmin為最小氣隙處的磁場強度.

1.2 無槽軸向充磁磁勢的解析模型

為了建立圓筒型永磁直線電機拓撲結構的磁場分布，假設:1)電機軸是無限長，因此磁場分布是軸對稱并在x軸周期分布.2)電樞是無槽，鐵心磁導是無窮大.

無槽軸向充磁圓筒永磁直線同步電機(tubular including interior PM linearmotor，TIPMLM)結構如圖1所示.該電機的特點是采用軸向充磁的永磁體，磁體在x軸方向交替更換極性，與高磁導鐵心結合，形成若干個磁極，在圓柱氣隙空間產生磁場，從而產生軸向電磁推力.

永磁材料采用釹鐵硼稀土材料，其去磁曲線如圖2.圖1中，τp為極距，h為轉子側鐵心的長度，hm為永磁體充磁長度的一半.假定永磁體均勻磁化，其工作點為 P( Hm，Bm)，回復線與退磁曲線重合，回復磁導率為μ0μr.其中，Hm為永磁體工作點的磁場強度，Bm為永磁體工作點的磁通密度.

圖1 無槽軸向充磁圓筒永磁直線同步電機結構示意Fig.1 The structural diagrammatic sketch of slotted TIPMLM

由圖2(a)，得到

式中:Br為永磁材料的剩磁感應強度，μr為永磁材料相對磁導率，μ0為真空磁導率.

軸向充磁圓筒型永磁直線電機中的定子內表面磁勢分布可以有2種:1)如果將整個電機的磁勢分布認為是由極間線性變化到極面，到極面下保持不變可以得到梯形波磁勢如圖3(a);2)如果將極間部分認為是非線性變化，從而等效成極間漏磁可以得到的磁勢分布為方波磁勢如圖3(b).

由圖3可得出電機磁勢分布的數學模型:

式中:F1、F2分別為梯形波和方波的磁勢，Hm為永磁的磁化強度，hm為永磁體充磁長度的一半，τp為極距;Fm為方波磁勢的峰值，x為定子內側的位置.

圖2 永磁體的退磁曲線Fig.2 The demagnetizing curve with PM

圖3 無槽軸向充磁定子側磁勢分布Fig.3 The scatter with magnetic potential diagram of stator in TIPM LM

2 無槽軸向充磁氣隙磁場的解析計算

2.1 磁勢為梯形波分布氣隙磁場計算

由于電機不開槽，氣隙均勻可得

將式(5)代入式(2)得

式中:B1m為梯形波磁勢的磁場強度，δ為不開槽下電機的均勻氣隙.

將式(6)代入式(3)，可得出磁勢為梯形分布的氣隙磁場磁場強度分布:

2.2 磁勢為方波的氣隙磁場計算

在1.2節假設的基礎上增加2個假設:1)忽略導磁材料的磁壓降影響;2)永磁體漏磁部分以漏磁系數修正.

由圖2(a)可得:B=Bmr，則

式中:φr為永磁體的虛擬內稟磁通，φr=BrAm;φm為永磁體的輸出磁通，φm=BmAm;φmσ為永磁體的內部漏磁通，

永磁體輸出磁通與外磁路磁通相等，即

式中:φ為磁路中的主磁通，φσ為外磁路漏磁通.由于外磁路結構復雜，較難準確計算φσ，為簡便，本文用漏磁系數修正主磁通.即φm=σ0φ，其中σ0為漏磁系數.

因此，只要計算磁路中主磁通φ即可，φ與定子表面磁場分布有關.下面分段計算定子表面磁場強度:極間部分的磁場強度可用極間漏磁進行等效，運用許—克變換進行計算;極面部分的磁場強度，氣隙均勻可以用磁勢進行計算.

1)極間部分(圖1中的AB段)磁場強度計算.

計算AB段磁場強度時有2種方法，即用許—克變換得到的隱函數公式和近似計算的tan公式.

隱函數公式:

式中:αp為極弧系數，為定子側任意位置的基本氣隙磁場強度.

tan 公式［12］:

2)極面部分(圖1中的BC段)磁場強度計算BC段的磁場強度計算:

只要計算出電機在最小氣隙處的磁場強度就可以求出整個電機的磁場分布.tan公式法、梯形波磁勢法和隱函數法這3種方法計算結果如圖4.隱函數法和有限元法的對比如圖5，由圖5可以看出:1)隱函數法和有限元法得到的結果規律是基本一致;2)2種方法得到的結果在峰值上也一致，都是1.212 T，只是在永磁體和動子鐵心粘結處存在微小的差別.而從圖4可看出隱函數法和其他2種方法存在較大差別，這也說明了利用隱函數法計算氣隙磁場是有效的.

圖5 隱函數法與有限元法結果的對比Fig.5 Comparison of the implicit function with the FEM

3 開槽軸向充磁氣隙磁場的解析計算

3.1 開槽后相對氣隙磁場強度

電機開槽后氣隙磁場較為復雜，利用許—克變換可以很好地對這類問題進行計算(圖6).把齒部氣隙磁場強度值看作單位，利用許—克變換計算開槽后槽部相對齒部的相對氣隙磁場強度.在計算時先假設:1)定、動子只有一面開槽，另一面光滑;2)鐵心的磁導率為無窮大，其表面為等磁位面;3)槽深和槽節距都是無窮大.

圖6 開槽后的電機計算示意Fig.6 The calculated diagrammatic sketch of slotted TIPM LM

按照上述假設，矩形槽在z平面和w平面的情況如圖7 所示［13］.

圖7 單面開槽時氣隙磁場的變換Fig.7 The transform course with single slotted sided air-gap field

通過許—克變換可得到:

圖8 定子側開槽后與無槽時的相對值Fig.8 The relative value of slotted and slot

3.2 開槽后氣隙磁場強度

根據2.2節計算的不開槽氣隙磁場強度，可以得出開槽后的氣隙磁場強度:

1)極間部分(圖1中AB段):

根據定子所處的位置，利用公式:

2)極面部分(圖1中BC段):

根據定子所處的位置，利用公式:

計算得到開槽后的基本氣隙磁場強度如圖9，從圖9中可以得到:1)在氣隙最小處的基本氣隙磁場強度仍為1;2)在極面與槽口相對時，此處的基本氣隙磁場強度不再為1，而由于開槽的影響，大小隨著所對槽位置的變化而變化.

圖9 定子側開槽后的基本氣隙磁場強度Fig.9 The basic air-gap field with slotted TIPM LM

4 10極9槽電機解析計算

氣隙磁場的分布可以借助有限法(充分考慮磁飽和和電機的運行狀況)進行驗證.只要解析法計算得到的氣隙磁場強度和有限元法計算的結果吻合就可以驗證該方法的正確性.本文以10極9槽樣機為算例進行驗證分析.軸向充磁圓筒型永磁直線電機其主要結構尺寸參見表1.

表1 軸向充磁圓筒型永磁直線電機主要結構參數Table 1 The key size of TLIPM linear motor

不開槽的有限元法和隱函數法的對比如圖5;開槽后的有限元法和隱函數法結果如圖10、11.

圖10軸向充磁圓筒型永磁直線電機開槽磁場強度云圖Fig.10 The magnetic nephogram of slotted TPM LIM

圖11 許—克變換解析法和有限元法計算結果對比Fig.11 The results match the Schwarz-Christ of fel with the FEM

從圖11可得:1)2種方法計算結果的規律是一致的;2)隱函數法計算的氣隙磁場強度的峰值為1.3 T，有限元法結果為1.28 T，兩者的大小在誤差范圍內;3)圖11中有2處位置的結果存在較大偏差，這個偏差引起的原因是在該位置槽基本上與極間部分相對，這樣在電機運行中該處就存在聚磁效應，而運用隱函數法解析分析時該因素考慮不到.總體來說隱函數法和有限元法很吻合，存在的誤差在工程允許范圍內，也驗證了本文中的隱函數法解析分析的正確性.

5 結論

本文研究結果表明所提方法具有如下特點:

1)與有限元法相比，雖存在工程允許范圍內的誤差，但更為快捷方便、計算量小，非常有利于電機優化設計;

2)解析法能夠直觀的認識電機結構參數影響電機磁場強度的規律;

3)計算精度能滿足工程設計需要.

但仍然存在一些不足:該研究電機氣隙磁場的解析方法只能得到x關于氣隙磁場強度的函數，不能得到關于x的函數，這樣將不利于研究電機結構參數對氣隙磁場強度影響規律.因此很有必要對關于x的函數進行進一步研究.

［1］NICOLA B，SILVERIO B，DARIO D C.Tubular linear permanent magnet motors:an overall comparison ［J］.IEEE Transactions on Industry Applications， 2003， 39(2):466-475.

［2］WANG JB，DAVID H.Tubularmodular permanentmagnet machines equipped with quasi Halbach magnetized magnets part I:magnetic field distribution，EMF，and thrust force［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2005，41(9):2470-2478.

［3］WANG JB，DAVID H.Tubular modular permanent magnet machines equipped with quasi Halbach magnetized magnets part II:magnetic field distribution，EMF，and Thrust Force［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2005，41(9):2479-2489.

［4］WANG J B，DAVID H，LIN Z Y.Design optimization of short stroke single phase tubular permanent magnet motor for refrigeration applications［J］.IEEE Transactions on Industry Electronic，2010，57(1):327-334.

［5］WANG J B，WANG W Y，KAIS A.A linear permanent magnet motor for active vehicle suspension ［J］.IEEE Transactions on Vehicular Technology，2011，60(1):55-63.

［6］盧曉慧，梁加紅.表面式永磁電機氣隙磁場分析［J］.電機與控制學報，2011，15(7):14-20.LU Xiaohui，LIANG Jiahong.Air gapmagnetic field analysis of surface-mounted permanent magnet motors［J］.Electric Machines and Control，2011，15(7):14-20.

［7］陳陽生，林友仰.永磁電機氣隙磁密的分析計算［J］.中國電機工程學報，1994，14(5):17-26.CHEN Yangsheng，LIN Youyang.Calculation of air-gap flux density in permanent magnet machines［J］.Proceedings of the CSEE，1994，14(5):17-26.

［8］王興華，勵慶孚，王曙鴻.永磁無刷直流電機磁阻轉矩的解析計算方法［J］.中國電機工程學報，2002，22(10):104-108.WANG Xinghua，LI Qingfu，WANG Shuhong.Analytical calculation of cogging torque in brush less DC motor［J］.Proceeding of the CSEE，2002，22(10):104-108.

［9］路義萍，豐帆，孫明琦.同步電機定子與氣隙流場數值計算與分析［J］.電機與控制學報，2011，15(8):47-51.LU Yiping，FENG Fan，SUN Mingqi.Numerical calculation and analysis of fluid flow field of stator and air-gap of a synchronous machine［J］.Electric Machines and Control，2011，15(8):47-51.

［10］王詠菲.圓筒型永磁直線同步電機的電磁場分析與研究［D］.天津:天津大學，2008:18-26.WANG Yongfei.Magnetic field analysis on tubular permanent magnet linear synchronous motors［D］.Tianjin:Journal of Tianjin University，2008:18-26.

［11］陳衛寶，范承志，葉云岳.圓筒永磁直線電機齒槽力綜合優化［J］.哈爾濱工程大學學報，2011，32(7):944-947.CHEN Weibao，FAN Chengzhi，YE Yunyue.Comprehensive optimization of the cogging force of a tubular permanent magnet linear motor［J］.Journal of Harbin Engineering University，2011，32(7):944-947.

［12］黃克峰，李槐樹，金朝紅.低速大推力圓筒永磁直線電機磁場分析［J］.微特電機，2012，40(2):4-6.HUANG Kefeng，LI Huaishu，JIN Chaohong.Magnetic field analysis of low speed and high thrust tubular permanent magnet linear motor［J］.Small＆ Special Electrical Machines，2012，40(2):4-6.

［13］胡之光.電機電磁場的分析與計算［M］.北京:機械工業出版社，1984:37-42.HU Zhiguang.Calculation of flux density in machines［M］.Beijing:China Machine Press，1984:37-42.