隨機SIQS傳染病系統的滅絕性和遍歷性

趙亞男，王 宇，夏 蘭，張曉穎

（1.長春大學 理學院，長春130022；2.長春汽車經濟技術開發區第四中學，長春130011；3.吉林交通職業技術學院 基礎部，長春130012）

0 引 言

流行病動力學通過疾病內在規律的分析預測疾病的發展趨勢，給出最優控制策略.當種群中存在傳染病時，經典的傳染病模型（SIS模型）引入隔離后，總種群（N）分為易感個體組成的子種群（S）、已染病但未隔離個體組成的子種群（I）和已染病并被隔離個體組成的子種群（Q）三類.設被隔離者恢復后也不具有免疫力，此時相應的傳染病模型稱為SIQS模型.具有隔離項的傳染病模型［1］為

其中：A，μ，β是正常數；γ，ε，δ和α是非負常數；A是單位時間內因出生和移民而進入易感染者S類的數量，簡稱輸入率；μ是死亡率系數；β是雙線性疾病發生率系數；γ和ε分別是從染病者類I和隔離者類Q到易感類的恢復系數；δ是隔離率系數；α是因病死亡率系數.系統（1）的基本再生數是R0＝Aβ／（μ（γ＋δ＋μ＋α））.

目前，研究隨機傳染病模型多數都引入參數擾動［2－4］，通過給出平衡點附近的漸近行為反映疾病的滅絕與流行.文獻［5］則通過對整個系統加入隨機擾動的方法研究隨機傳染病模型，并分析得到了即使確定性系統各變量是持久的，而隨機系統卻終將滅亡.

本文采用類似于文獻［5］的方法，通過對系統引入白噪聲干擾，得

其中：Bi（t）（t≥0）是獨立的標準Brown運動；表示白噪聲的強度；i＝1，2，3.系統（2）一般不存在無病平衡點和有病平衡點.本文主要探討隨機系統在相應確定性系統平衡點附近的動力學行為，在一定程度上反映疾病的流行與消失.當隨機系統的擴散項是非退化情形時，給出系統存在平穩分布，具有遍歷性.

設X（t）是El（l維Euclid空間）中的一個自治Markov過程，可表示為隨機微分方程

假設條件：

（H1）存在具有正則邊界Γ的有界區域U?El，具有如下性質：

1）在U及其一些鄰域內，擴散陣Λ（x）的最小特征值是非零的；

1 正解的存在性和唯一性

定理1 對于任意給定的初值Y（0）＝（S（0），I（0），Q（0））∈ ?3＋，系統（2）存在唯一的解Y（t）＝（S（t），I（t），Q（t）），t≥0，并且該解以概率1位于?3＋中.

證明：系統（2）的系數顯然滿足局部Lipschitz條件，從而系統（2）存在唯一的局部解Y（t）（t∈［0，τe）），其中τe是爆破時間［7］.設k0足夠大，使得Y（0）的每個分量都落在區間［1／k0，k0］中.設整數k≥k0，定義停時

由伊藤公式可得

其中

用與文獻［8］類似的方法可證結果成立.

2 系統（2）在無病平衡點P0附近的漸近行為

定理2 若R0≤1，且滿足假設條件（H2），則系統（2）滿足初值為Y（0）∈?3＋的解Y（t）具有性質：

其中：

證明：令x＝S－A／μ.定義V：?3＋→ ?＋，

其中

是正常數.利用伊藤公式，可得

其中

當滿足條件（H2）時，有r1，r2，r3＞0.將式（6）從0到t積分，并對等式兩邊取數學期望，可得

注1 定理2表明，當白噪聲的強度足夠小時，系統（2）的解會圍繞系統（1）的無病平衡點震動，且震動大小正比于的大小.即S受白噪聲影響越小，系統（2）的解越接近系統（1）的無病平衡點.

3 系統（2）的遍歷性

定理3 若R0＞1，且滿足條件（H2）及

則對任意的初值Y（0）∈?3＋，系統（2）存在不變分布μ（·），且是遍歷的.其中

這里r1，r2，r3如定理2中定義，c1，c2，c3如式（5）定義.

證明：定義V：?3＋→?＋，

利用伊藤公式，可得

其中

這里λ如式（8）定義.由于條件（7）成立，因此橢圓－r1（S－S＊）2－r2（I－I＊）2－r3（Q－Q＊）2＋λ＝0全部位于?3＋中.取U為包含橢圓的鄰域，使得?El＝?3＋，且當x∈?3＋＼U時，LV≤－K（K是一個正常數），表明假設條件（H1）中2）滿足.另一方面，存在使得對所有的（S，I，Q，）∈ˉU，ξ∈?3，有表明假設條件（H1）中1）滿足.因此，隨機系統（2）存在平穩分布μ（·），且是遍歷的.證畢.

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