具非標準增長條件和正初始能量的非牛頓多方滲流方程解的爆破

劉 令，王國銘，謝嘉寧

（1.吉林建筑大學 基礎科學部，長春130118；2.吉林大學 數學學院，長春130012；3.東北財經大學 數學與數量經濟學院，遼寧 大連116025）

0 引 言

考慮如下初邊值問題：

為方便，引進如下符號：

這里

設Lr（·）（Ω）表示如下可測函數空間：

其范數為

易驗證Lr（·）（Ω）是Banach空間［4，6］.由范數定義有

根據文獻［4，6］可知

令B1＝max｛B，m1／p｝.定義

則

1 引 理

引理1 函數E（t）關于時間變量t是非增的.

證明：由問題（1）及式（8），對函數E（t）求導得

證明：由式（5），（8）有

其中α＝‖▽um‖.易驗證h（α）在區間（0，α1）上單調遞增，在區間（α1，＋∞）上單調遞減且h（α）→－∞，當α→＋∞時，h（α1）＝E1，其中E1，α1的定義如式（6），（7）.由于E（0）＜E1，故存在α2＞α1，使得h（α2）＝E（0）.令α0＝‖▽‖，由式（11）有h（α0）≤E（0）＝h（α2），進一步還可證明α0≥α2.

假設式（9）不成立，即存在t0＞0，使得‖▽um（·，t0）‖＜α2.由于‖▽um（·，t）‖關于時間t連續，故可選取t1＞0，使得‖▽um（·，t1）‖＞α1.進一步，根據函數h（α）的單調性，有

這與引理1矛盾.

定義 H（t）＝E1－E（t）.

引理3 對所有t＞0，均有

證明：由引理1，有H′（t）≥0，即 H（t）≥H（0）＞0，?t≥0.根據式（8），（11）有

2 主要結果

定理1 假設r（x）滿足式（2），（3），且如下條件成立：

則問題（1）的解在有限時刻爆破.

由式（8），（12），有

其中

由式（4），有

由Lr（·）＋m（Ω）?Lm＋1（Ω），有

又根據式（15）～（17），有

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