變積分限Cauchy核與卷積核混合的完全奇異積分方程的求解

馮 志 新

（吉林師范大學 數學學院，吉林 四平136000）

0 引言與預備知識

Duduchava［1］首次提出了求解如下具有卷積核的積分方程中未知函數φ（t）∈Lp（－∞，＋∞）（0＜t＜＋∞）的問題：

其中：dj∈?；g（t），k0（t）∈Lp（－∞，＋∞）.路見可［2］給出了帶有常系數的卷積核與 Cauchy核混合的奇異積分方程，通過由Fourier變換將其轉化為Riemann邊值問題求解的方法，并在函數類｛0｝中討論了該方程在正則化情況下的一般解法.文獻［3－13］進一步研究了關于卷積核的奇異積分方程的求解問題.本文在上述研究的基礎上，考慮含卷積核與奇異核混合的變積分限的完全奇異積分方程的求解問題，先將所研究的積分方程正則化為等價的Fredholm方程，并給出了該類方程可解需添加的條件，再通過求解等價方程得到其在｛0｝類中一般解的數學表達式.

記函數類

其中Φ（x）＝V［φ（t）］，Φ（x）∈｛｛0｝｝.

所以Tφ＝－V－1［Φ（t）sgn t］，即V［Tφ］＝－sgn x·Φ（x）.

1 變積分限卷積核完全奇異積分方程的轉化

考慮積分方程：

其中：aj，bj，cj為已知常數，且bj≠0，j＝1，2；kj（t），g（t）（j＝1，2）∈｛0｝為已知函數.已知函數m（t，s）∈｛0｝×｛0｝為已知Fredholm核，要求未知函數f（t）∈｛0｝.

方程（1）為變積分限Cauchy核與卷積核混合的完全奇異積分方程，要將其轉化為函數類｛｛0｝｝中的完全奇異積分方程，可令

再由f±（t）定義，將式（2）改寫為

對式（4）兩端做Fourier變換V，由引理1，可得

其中：

易見，式（5）是在函數類｛｛0｝｝中關于F（x）的完全奇異積分方程.因而，在函數類｛0｝中求解積分方程（1），可轉化為在函數類｛｛0｝｝中求解完全奇異積分方程（5）.

故

假設在x＝0處有A（＋0）＝A（－0），則

若c1≠c2，則

因而，只要式（6）不成立，則A（＋0）≠A（－0），故x＝0是A（x）的第一類間斷點.不失一般性，假設上述特殊情況不成立.于是，方程（5）是以x＝0為節點的完全奇異積分方程.

2 積分方程（1）的一般解及可解條件

假設A（x）±D（x）≠0（－∞＜x＜＋∞），即

考慮奇異積分方程（5）的特征方程：

記Φ（z）＝T［F（t）］，由Plemelj公式，方程（7）可寫成以x＝0為節點的Riemann問題：

由于本文在函數類｛｛0｝｝中求解Riemann邊值問題（8），因此Φ（∞）＝0，于是∞點為問題（8）的特異節點.暫不考慮問題在x＝0處的性質.無窮直線上Riemann邊值問題（8）的指標κ按式κ＝－λ∞確定，并按如下方法選取待定整數λ∞：

1）若∞是特異節點，則選取整數α∞，使得λ∞＋α∞＝0；

2）若∞是普通節點且F（z）要求在∞處有界，則選取整數λ∞滿足0＜λ∞＋α∞＜1；

3）若∞是普通節點且F（z）要求在∞處允許具有不足一階的奇異性，則選取的整數λ∞滿足－1＜λ∞＋α∞＜0.

根據Cauchy型積分的定義與性質，Riemann邊值問題（8）的指標κ＝－λ∞，即κ＝α∞.

當κ≥0時，Riemann邊值問題（8）在類R－1中的一般解為

其中：Qκ（z）為κ階的任意多項式（當κ≤0時，Qκ（z）＝0）；

當κ＜0時，Qκ（z）＝0，則Riemann邊值問題（8）在類R－1中的一般解為

由于此時z＝－i是奇異點，為消去在z＝－i處的奇異性，再添加相應的可解條件為

最后，由Φ＋（x）－Φ－（x）＝F（x）及Plemelj公式，可得

其中：

式（12）即為特征方程（7）的一般解（當κ＜0時，Qκ（z）＝0）.

下面對完全奇異積分方程（5）正則化，將式（5）改寫成：

當κ≥0時，式（14）的解為

其中：

易證，式（16）即為函數類｛｛0｝｝中的Fredholm積分方程.

當κ＜0時，需添加可解條件，即當

成立時，方程才可解.

因此，在暫不考慮節點x＝0處性態的條件下，求解完全奇異積分方程（5）可轉化為：當κ≥0時，與在函數類｛｛0｝｝中求解Fredholm積分方程（16）等價；當κ＜0時，與在函數類｛｛0｝｝中求解Fredholm積分方程（16）（此時Qκ（z）＝0）且滿足適當的可解條件等價.

對于Fredholm積分方程（16）（當κ＜0時，Qκ（z）＝0），由Fredholm積分定理及廣義預解核理論［10］，可知：

1）當κ≥0時，Fredholm積分方程（16）可解的充分必要條件為

2）當κ＜0且式（17）成立時，Fredholm積分方程（16）（此時Qκ（z）＝0）可解的充分必要條件為

其中γ（x，τ）為方程的廣義預解核.因此，方程（1）的解由

給出.

3 積分方程（1）在x＝0處的性態

上述討論都是假設暫不考慮F（x）或Φ（x）在x＝0處性態條件下進行的，下面考慮為保證F（x）或Φ（x）在x＝0處屬于函數類｛｛0｝｝所需的相應條件.

由于x＝0是Riemann邊值問題（8）的節點，則其也為變積分限的卷積核與Cauchy核混合的積分方程（1）的節點.由于要求未知函數F（x）∈｛｛0｝｝，在x＝0處必須有F＋（＋0）＝F＋（－0），從而Φ＋（＋0）＝Φ＋（－0）.易見，x＝0是 Riemann邊值問題（8）的節點.假設x＝0是 Riemann邊值問題（8）的普通節點.當s從x＝0沿實軸右側趨于0時，記x＝0為起始弧端點；當s從x＝0沿實軸左側趨于0時，記x＝0為終止弧端點.設γ＝α＋iβ，0≤α≤1，則

由于本文在函數類｛｛0｝｝中求解奇異積分方程（5），因此由開口弧段端點Cauchy型積分的性質知，對于以f（s）∈｛0｝（γ＝α＋iβ，0≤α≤1）為密度函數的Cauchy型積分F（x）＝T［f（t）］，在x＝0附近，有

于是在x＝0附近，有

其中Φ＊c（s）在x＝0附近解析且屬于函數類｛｛0｝｝.從而在x＝0附近，有

其中函數O＊（s）在x＝0附近全純，且屬于函數類｛｛0｝｝，當s→0時為0.

由式（23），（24），可得

由式（25），（26）及Φ＋（＋0）＝Φ＋（－0），有

可見，Fredholm積分方程（16）可解的必要條件即為積分方程（1）可解的必要條件.

假設x＝0是Riemann邊值問題（4）的特異節點，在端點x＝0處，設γ＝α＋iβ，α＝0，則γ＝iβ.此時，式（23），（24）仍成立，并且

綜上，可得本文的主要結果：

1）若κ≥0，則方程（1）可解的充要條件為式（18）成立，其解為式（22），其中F（x）由式（19）給出；

2）若κ＜0，則須添加可解條件（17），此時方程（1）可解的充要條件為式（20）成立，方程的唯一解為式（22），其中F（x）由式（21）給出.

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