三維 Gel’fand－Dorfman雙代數分類

祁江艷，張 鈺，趙秀秀，張慶成

（東北師范大學 數學與統計學院，長春130024）

0 引言及預備知識

分類問題在代數學中應用廣泛，目前已有許多研究結果，如Jacobson［1］給出了低維Lie代數的分類；Osborn［2］命名了Novikov代數，應用于Poisson結構和Hamiltonian算子中；白承銘等［3］給出了低維Novikov代數的分類；文獻［4－5］給出了Novikov超代數的低維分類及一些重要性質.Gel’fand－Dorfman雙代數與Hamilton對聯系緊密，Gel’fand－Dorfman雙代數是由Lie代數和Novikov代數在滿足相容性條件下組成的，它符合某個Hamilton對［6］.在量子群理論中，二次和三次共型代數、頂點算子理論及計算機組合編碼中應用廣泛［7－11］.對于Gel’fand－Dorfman雙代數的結構，白承銘等［12］已經給出了二維Gel’fand－Dorfman雙代數的分類.由于三維Novikov代數的種類繁多、驗證情況復雜，目前尚未見三維Gel’fand－Dorfman雙代數的完全分類報道.本文給出它的完全分類.

本文所涉及的向量空間和代數均指在復數域?上.

定義1 設L是域?上的向量空間，且L中有一個雙線性運算L×L→L，（x，y）→［x，y］，如果滿足下列兩個條件：

則稱L為域?上的一個Lie代數.

定義2［2］A是域?上的向量空間，在A上定義雙線性積（x，y）→x?y，如果滿足下列3個條件：

則稱A是一個Novikov代數.

定義3［6］若（V，［·，·］）構成一個Lie代數，（V，o）構成一個 Novikov代數，如果Lie代數和Novikov代數滿足相容性條件：

則稱雙代數結構 （V，［·，·］，o）是 Gel’fand－Dorfman雙代數.

文獻［1］和文獻［3］分別給出了三維Lie代數和三維 Novikov代數的分類.設Li（i＝1，2，…，5）表示三維Lie代數的分類；Aj，Bk，Cl，Dm，E1（j＝1，2，…，13；k＝1，2，…，5；l＝1，2，…，19；m＝1，2，…，6）表示三維Novikov代數的分類.

1 主要結果

本文給出的三維Novikov代數的分類結果均是在去除同構情況下得到的.設e1，e2，e3為Lie代數的一組基.用o1，o2，o3，o4，o5，o6分別表示 Novikov代數對應于Lie代數基底的輪換：

定理1 由L1與任一Novikov代數組成的代數約定為第一類Gel’fand－Dorfman雙代數.

證明：因為L1中任意兩個基元素作用均為0，因此L1與任意一類Novikov代數都滿足式（1）.例如：當ω＝e1，μ＝e2，ν＝e3時，式（1）成立.

定理2 將（Li，A1）（i＝2，3，4，5）約定為第二類 Gel’fand－Dorfman雙代數.

證明：A1類Novikov代數中任意兩個基元素作用均為0，故Li與A1都滿足式（1），證畢.

定理3 （L2，A）類型Gel’fand－Dorfman雙代數G的分類結果如下：

證明：首先考慮基底之間的輪換，共有o1，o2，o3，o4，o5，o66種.然后對每種情況驗證是否滿足式（1）.若滿足式（1），則為Gel’fand－Dorfman雙代數；若不滿足式（1），則不是 Gel’fand－Dorfman雙代數.最后采用待定系數法并結合Lie代數的自同構驗證找出的Gel’fand－Dorfman雙代數的同構性.由于證明中演算過程過于繁多復雜，故本文只舉一個例子，其他情況類似.

以（L2，A2）為例.由文獻［1，3］知，

在（L2，A2，o1）中，當ω＝e3，μ＝e1，ν＝e2時，

所以它 不 是 Gel’fand－Dorfman 雙 代 數；在 （L2，A2，o2）中，當 ω，μ，ν 分 別 取ei，ej，ek所 有 排 列（共3×3×3＝27種情況）時，式（1）均成立，所以它是Gel’fand－Dorfman雙代數.同理可驗證其余4種情況，可知（L2，A2，o3）不是 Gel’fand－Dorfman雙代數，而（L2，A2，o4），（L2，A2，o5），（L2，A2，o6）均是Gel’fand－Dorfman雙代數.最后，利用Lie代數L2的自同構易證明：（L2，A2，o2）與（L2，A2，o3）同構；（L2，A2，o5）與（L2，A2，o6）同構；（L2，A2，o2）與（L2，A2，o5）不同構.所以（L2，A2，o2）與（L2，A2，o5）是Gel’fand－Dorfman雙代數.證畢.

同理可證下列定理.

定理4 （L2，C）類型Gel’fand－Dorfman雙代數G的分類結果如下：

注1 當l＝l1時，（L2，C13，o2）與（L2，C13，o4）同構.

定理5 （L2，D）類型Gel’fand－Dorfman雙代數G的分類結果如下：

1）（L2，D2，o2）；2）（L2，D3，o2）；3）（L2，D3，o4）.

定理6 （L3，A）類型Gel’fand－Dorfman雙代數G的分類結果如下：

注2 當l＝k＝1時，（L3，A11，o1）與（L3，A11，o3）同構.

定理7 （L3，B）類型Gel’fand－Dorfman雙代數G的分類結果如下：

1）（L3，B2，o1）；2）（L3，B3，o1）；3）（L3，B4，o1）；4）（L3，B5，o1）.

定理8 （L3，C）類型Gel’fand－Dorfman雙代數G的分類結果如下：

注3 當l＝l1，k＝k1時，（L3，C13，o1）與（L3，C13，o3）同構.

定理9 （L3，D）類型Gel’fand－Dorfman雙代數G的分類結果如下：

定理10 （L3，E）類型 Gel’fand－Dorfman雙代數G 的分類結果為（L3，E1，o2）.

定理11 （L4，A）類型Gel’fand－Dorfman雙代數G的分類結果如下：

注4 當β＝β2＝0，δ＝δ2＝1或β＝0，δδ2＝1，δ2≠1時，（L4，A2，o1）和（L4，A2，o3）同構；當δδ1＝1，l＝l1時，（L4，A7，o1）和（L4，A7，o3）同構；當β1＝0時，（L4，A7，o3）和（L4，A8，o1）同構；當δ＝δ1＝1時，（L4，A9，o1）和（L4，A9，o3）同構；當δ＝δ1＝1時，（L4，A10，o1）和（L4，A10，o3）同構；當l＝1，δ＝δ1≠1時，（L4，A11，o1）和（L4，A11，o11）同構；當δ＝δ2＝1，l＝l2時，（L4，A11，o1）和（L4，A11，o3）同構；當β1＝0時，（L4，A12，o1）和（L4，A12，o3）同構.

定理12 （L4，C）類型Gel’fand－Dorfman雙代數G的分類結果如下：

注5 當δ＝δ1＝1時，（L4，C6，o1）和（L4，C6，o3）同構；當δ＝δ1＝1時，（L4，C7，o1）和（L4，C7，o3）同構；當δ＝δ1＝1，l＝l1時，（L4，C9，o1）和（L4，C9，o3）同構；當l＝0，δ＝δ1≠1時，（L4，C10，o1）和（L4，C10，o11）同構；當δ＝δ2＝1，l＝l2時，（L4，C10，o1）和（L4，C10，o3）同構；當δ＝δ1＝1，l＝l1時，（L4，C12，o1）和（L4，C12，o3）同構；當l＝k＝l1，δ＝δ1≠1時，（L4，C13，o1）和（L4，C13，o11）同構；當β1＝0時，（L4，C14，o1）和（L4，C14，o3）同構；當β1＝0，l＝l1時，（L4，C15，o1）和（L4，C15，o3）同構；當β＝0時，（L4，C16，o1）和（L4，C16，o3）同構；當β＝0時，（L4，C17，o1）和（L4，C17，o3）同構.

定理13 （L4，D）類型Gel’fand－Dorfman雙代數G的分類結果如下：

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